導(dǎo)學(xué)案025平面向量的概念及線性運(yùn)算

1、平面向量的概念及線性運(yùn)算考綱要求1. 了解向量的實(shí)際背景.2. 理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3. 理解向量的幾何表示.4. 掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5. 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6. 了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義 考情分析1. 平面向量的線性運(yùn)算是考查重點(diǎn).2. 共線向量定理的理解和應(yīng)用是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).3. 題型以選擇題、填空題為主，常與解析幾何相聯(lián)系.教學(xué)過(guò)程基礎(chǔ)梳理1 .向量的有關(guān)概念(1) 向量：既有又有 的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2) 零向量：長(zhǎng)度等于 的向量，其方向是任意的.(3) 單位向量：長(zhǎng)度等于

2、 的向量.(4) 平行向量：方向 或 的非零向量，又叫共線向量,規(guī)定：0與任一向量共線.(5) 相等向量：長(zhǎng)度相等且 相同的向量.(6) 相反向量：長(zhǎng)度相等且 相反的向量.2. 向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn) 算三角形法則平行四邊形F段法則交換律： a+ b b+ a.(2)結(jié)合律：(a + b) + c a + (b + c)減法求a與b的相反向 量一b的和的運(yùn)算 叫做a與b的差zAu三角形法則a b a + ( b)3. 向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： I 入

3、a|= | 入 |a|; 當(dāng)入0時(shí)，入a與a的方向;當(dāng)入V 0時(shí)，入a與a的方向 ;當(dāng)入=0時(shí)，入a= 0.運(yùn)算律：設(shè)入，卩是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則入(卩a)(入卩)a :(入+卩)a X a+卩a； 入(a + b) X a+入b.4. 共線向量定理向量a(a工0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)X,使得 雙基自測(cè)1. 下列給出的命題正確的是()A. 零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B. 平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè)C. a與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量D. 相等的向量必是共線向量2. 如右圖所示，向量a b等于（）A. 4e1 2e2B. 2e1 4e2C. e1 3e2:

4、丨D. 3e1 e23. （教材習(xí)題改編）設(shè)a, b為不共線向量，A吐a+ 2b, BO4a b, CD= 5a 3b,則下列關(guān)系式中正確的是（）A . AD= BCB. AD= 2BCC . AD=-BCD. AD=-2BC4. 化簡(jiǎn)：AB+ DA+ CD=.5. 已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量 a+入b與一（b 3a）共線，則入=典例分析考點(diǎn)一、平面向量的基本概念例1給出下列命題： 兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； 若A，B，C, D是不共線的四點(diǎn)，貝U AB= DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充 要條件； 若a與b同向，且|a|>|b| ，貝U a>b； 入，卩

5、為實(shí)數(shù)，若入a=y b,則a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4變式1.設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a =|a|a0 ；若a與a0平行，則a= |a|a0 ；若a與a0平行且|a| = 1,則a= a0. 上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 3方法總結(jié)涉及平面向量有關(guān)概念的命題的真假判斷，準(zhǔn)確把握概念是關(guān)鍵；掌握向量與數(shù)的區(qū)別，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法考點(diǎn)二、平面向量的線性運(yùn)算例2（2011 四川高考）如圖，正六邊形ABCDEI中,BA+ CM EF=（）D EhA. 0B. BE i C . ADD. CF變式

6、1本例條件不變，求AC AF.變式2. （2012 杭州五校聯(lián)考）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC夕卜，BC2 = 16, IAB + AC匸 |AB AC|,貝U |AM| =（）A . 8B. 4C . 2D. 1方法覆結(jié)11進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，充分利用 相等向量、相反向量、三角形的中位線定理、相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)， 把未知向量用已知向量表示出來(lái).2. 向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算， 實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并 同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中同樣適用. 運(yùn)用上述法則可簡(jiǎn) 化運(yùn)算考點(diǎn)三、共線向量例3（2012 南

7、昌模擬）已知向量a，b不共線，c = ka+ b（k R）, d = a b.如果c / d,那么（）A. k= 1且c與d同向B. k = 1且c與d反向C. k= 1且c與d同向 D . k= 1且c與d反向變式3 . （2012 南通月考）設(shè)e1， e2是兩個(gè)不共線向量，已知 AB=2e 1 8e2，CB= e1 + 3e2， CD= 2e1 e2.（1）求證：A、B、D三點(diǎn)共線；（2）若BF= 3e1 ke2，且B、D F三點(diǎn)共線，求k的值.方法總結(jié)1. 向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)入使 b=X a.要注意通常 只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法

8、和方程思想的運(yùn) 用.2. 證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn) 共線.m廊別易錯(cuò)矯正忽略0的特殊性導(dǎo)致的錯(cuò)誤考題范例（2012 臨沂模擬）下列命題正確的是（）A.向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) 入，使b=X a；B .在厶 ABC中, AB+ BC+ CA= 0;C. 不等式|a| |b| < |a + b| < |a| + |b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立；D. 向量a、b不共線，則向量a+ b與向量a b必不共線 失誤展板錯(cuò)解一：a、b共線，必然是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 入，使b=X a,故選A

9、. 錯(cuò)解二：首尾相連，始終如一在 ABC中，AB BC CA圍成 了一個(gè)封閉圖形，故AB+ BC CA0,故選B.錯(cuò)解三：當(dāng)a與b同向時(shí)，式子中第一個(gè)等號(hào)不成立；當(dāng) a與b反向時(shí)，式子中 第二個(gè)等號(hào)不成立，當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)， 兩個(gè)等號(hào)都不成立，故兩個(gè)等號(hào)不可 能同時(shí)成立，故選C.錯(cuò)因：錯(cuò)解一，忽視了 a0這一條件錯(cuò)解二，忽視了 0與0的區(qū)別，AB+ BC + CA= 0;錯(cuò)解三，忽視了零向量的特殊性，當(dāng) a= 0或b = 0時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí) 成立.正確解答向量a與b不共線， a， b，a+ b與a b均不為零向量. 若a+ b與a b平行，則存在實(shí)數(shù) 入，使a+ b=X (a b)， 即(入

10、一1)a (1 + 入)b，入一 1 0，入無(wú)解，故假設(shè)不成立，即a+ b與a b不平行，1+入0故選D.禽嶽樟一!一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量 終點(diǎn)的向量.兩個(gè)防范(1)向量共線的充要條件中要注意“ a0”，否則入可能不存在，也可能有無(wú)數(shù) 個(gè).證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的 區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量 平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合.本節(jié)檢測(cè)uuuuuuruuu uuu1. (2012 濰坊模擬)在四邊形ABCD中 AB DC，且| AB |

11、| BC |，那么四 邊形ABC助()A.平行四邊形B菱形C.長(zhǎng)方形D.正方形uuu uuu uuu2 .設(shè)P是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC + BA 2 BP，則 ( )A.uuuPA +uuuPB = 0B.uuupc +uuuPA = 0uuuuuuuuuuuuuuuC.PB +PC=0D.PA +PB +PC = 0uuu uuu uuu3. （2012 揭陽(yáng)模擬）已知點(diǎn)0為厶ABC外接圓的圓心，且OA + OB + CO = 0, 則厶ABC的內(nèi)角A等于（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4.uuu uuuruuu 1 uuuCD =- CA3入CB，則入的值為（)11BEC.已知向量ab，其中-|a| +|b|0 , 2B.0,1(0,2D.0,2uuu+A.5A.C.23a、b均為非零向量，則|p|的取值范圍是（）6.已知平面上不共線的四點(diǎn)O, A,B,uuu uuu uuuC,若OA -3ob + 2OC = 0,uuu| AB |貝