彈性力學(xué)基本概念和考點(diǎn)匯總情況

1、基本概念： （ 1） 面力、體力與應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念及正負(fù)號(hào)規(guī)定（ 2） 切應(yīng)力互等定理：作用在兩個(gè)互相垂直的面上， 并且垂直于改兩面交線的切應(yīng)力是互等的 （大 小相等，正負(fù)號(hào)也相同） 。（ 3） 彈性力學(xué)的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性和小變形。（ 4） 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變；設(shè)有很薄的等厚度薄板， 只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時(shí)，體力也平行與板面并且不沿厚度方向變化。這時(shí)，z 0, zx 0, zy 0 ，由切應(yīng)力互等， z 0, xz 0, yz 0 ，這樣只剩下平行于xy 面的三個(gè)平面應(yīng)力分量， 即 x, y, xy yx ，所以這種問(wèn)題稱為

2、平面應(yīng)力問(wèn)題。設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體， 它的橫截面不沿長(zhǎng)度變化， 在柱面上受有平行于橫截面 且不沿長(zhǎng)度變化的面力或約束， 同時(shí)，體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化， 由 對(duì)稱性可知， zx 0, zy 0 ，根據(jù)切應(yīng)力互等， xz 0, yz 0 。由胡克定律， zx 0, zy 0，又由于z方向的位移w處處為零，即z 0。因此，只剩下平行 于 xy 面的三個(gè)應(yīng)變分量， 即 x, y, xy ，所以這種問(wèn)題習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問(wèn)題。5） 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；過(guò)一個(gè)點(diǎn)所有平面上應(yīng)力情況的集合，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。6） 圣維南原理；（提邊界條件）如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力主

3、失相同，主矩也相同） ，那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受到的影響可以忽略不計(jì)(7)軸對(duì)稱；在空間問(wèn)題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是 對(duì)稱于某一軸(通過(guò)該軸的任一平面都是對(duì)稱面)，則所有的應(yīng)力、變形和位移 也就對(duì)稱于這一軸。這種問(wèn)題稱為空間軸對(duì)稱問(wèn)題。一、平衡微分方程：x yxx yxyyx y(1) 平面問(wèn)題的平衡微分方程;x 0（記）y 0(2) 平面問(wèn)題的平衡微分方程(極坐標(biāo))；1、平衡方程僅反映物體內(nèi)部的平衡，當(dāng)應(yīng)力分量滿足平衡方程，則物體內(nèi)部是 平衡的。2、平衡方程也反映了應(yīng)力分量與體力(自重或慣性力)的關(guān)系。二、幾何方程；（1）平面問(wèn)題的

4、幾何方程；uxxy-（記） yv uxyx y(2)平面問(wèn)題的幾何方程(極坐標(biāo))u12u 1 v12v u v1 2 1、幾何方程反映了位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。2、當(dāng)位移完全確定時(shí)，應(yīng)變也確定；反之，當(dāng)應(yīng)變完全確定時(shí)，位移并不能確定。(剛體位移)三、物理方程；(1) 平面應(yīng)力的物理方程;1x Ex (記)xy1y E2 1xy(2)平面應(yīng)變的物理方程;丄G1x *1 2y h y 1xy(3) 極坐標(biāo)的物理方程(平面應(yīng)力)；)2(1 )E(4) 極坐標(biāo)的物理方程(平面應(yīng)變)；2(1 )E四、邊界條件;(1)幾何邊界條件;平面問(wèn)題:在 Su 上;(2) 應(yīng)力邊界條件;1平面問(wèn)題：yx1 xyx-(

5、記)fy(3) 接觸條件;光滑接觸:為接觸面的法線方向非光滑接觸:n為接觸面的法線方向UnUn(4)位移單值條件;(5)對(duì)稱性條件:在空間問(wèn)題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況,都是對(duì)稱于某一軸(通過(guò)該軸的任一平面都是對(duì)稱面)以及所受的外力作用，則所有的應(yīng)力、變形和位移也就對(duì)稱于這一軸。這種問(wèn)題稱為空間軸對(duì)稱問(wèn)題。、概念1 彈性力學(xué)，也稱彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支。2固體力學(xué)包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)、振動(dòng)理論、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)。3基本任務(wù)：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等。4研究對(duì)象是完全彈性體，包括桿

6、件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛5.彈性力學(xué)基本方法：差分法、變分法、有限元法、實(shí)驗(yàn)法6彈性力學(xué)研究問(wèn)題，在彈性體內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；7. 彈性力學(xué)中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。8幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。9. 物理方程反映的是應(yīng)力分量與形變分量之間的關(guān)系。10. 平衡微分方程反映的是應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。11當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)， 位移分量卻不能完全確定。12.邊界條件表示在邊界

7、上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界 條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13 圣維南原理主要內(nèi)容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。14. 圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇Я亢椭骶囟嫉扔诹愕拿媪?，與無(wú)面力狀態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。15. 求解平面問(wèn)題的兩種基本方法：

8、位移法、應(yīng)力法。16. 彈性力學(xué)的基本原理：解的唯一性原理、解的疊加原理、圣維南原理。會(huì)推導(dǎo)兩種平衡微分方程17. 逆解法步驟： 先假設(shè)一滿足相容方程(2-25)的應(yīng)力函數(shù)(2) 由式(2-24)，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(3) 在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件(2-15)或次要邊界上的積分邊界條件，分析這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的問(wèn)題。(或者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定系數(shù)18. 半逆解法步驟：對(duì)于給定的彈性力學(xué)問(wèn)題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點(diǎn)或已知的一些

9、簡(jiǎn)單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部 分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式按式(2-24)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù) f的一般形式(含待定函數(shù)項(xiàng))；(3) 將應(yīng)力函數(shù)f代入相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函數(shù)f的具體表達(dá) 形式；(4) 將應(yīng)力函數(shù)f代入式(2-24)，由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(5) 根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿足全5.平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件為填空(xlxym)sfx(S)(xy1ym)sfy(S)7圣維南原理的三個(gè)積分式h/2h/2 (x )xidy 1h/2-h/2 fx(y)dy 1算h/2h/2-h/2 (X )xi ydy 1h/2 fx(y)ydy 1理

10、h/2h/2 (xy )xidy 1h/2fy(y)dy 1h/2八解如果給出單位寬度上面力的主矢量和主矩，則三個(gè)積分邊界條件變?yōu)閔/2h/2(x)xidy 1Fnh/2h/2(x)xiydy 1Mh/2h/2(xy ) xidy 1Fs2 (x,y)2 (x, y) 2 (x, y)x2TxX,y2f y y，xyyxx y8. 艾里應(yīng)力函數(shù)計(jì)算、單項(xiàng)選擇題（按題意將正確答案的編號(hào)填在括弧中， 每小題2分，共10分）1、 彈性力學(xué)建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（C ）求 解這些微分方程，以求得具體問(wèn)題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。A 相容方程B 近似方法C 邊界條件D 附加假定2、 根據(jù)圣維

11、南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（B ） 的力系代替，則僅在近處應(yīng)力分布有改變，而在遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。A. 幾何上等效B .靜力上等效C.平衡D .任意3、彈性力學(xué)平面問(wèn)題的求解中，平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題的三類基本方程不完全相同，其比較關(guān)系為（B ）0A. 平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同B. 平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同C. 平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同D .平衡方程相同，物理方程、幾何方程不同在研究方法方面：材力考慮有限體AV的平衡，結(jié)果是近似的；彈力考慮微 分體dV的平，結(jié)果比較精確。4幣4幣4幣4、常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程形式為

12、字2 二 字0,x x y y23236、設(shè)有函數(shù)號(hào) 4占 3* 1 2占 ，4 h h5 h h（1）判斷該函數(shù)可否作為應(yīng)力函數(shù)？ （3分）(2)選擇該函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)時(shí),考察其在圖中所示的矩形板和坐標(biāo)系(見(jiàn)題九圖)中能解決什么問(wèn)題(I h ）。（ 15 分）解:4干(1)將代入相容方程-4x4幣孚 0，顯然滿足。因此，該函數(shù)可以作為應(yīng)yJO1h/2h/2/力函數(shù)。(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式:6qx 2y4qy33qyh3h334y3yhxyx yh34考察邊界條件:在主1要邊界q4y3鏗1hy y h2 2h3q4y3翌1hy y h22h36qxy2h2qh2y2x2y2y=h/2上，應(yīng)精確滿

13、足應(yīng)力邊界條件xyy h26qx h2h34在次要邊界h/2h/2y h20y h2應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:ody ：誓那dy 0 (奇函數(shù))3h/2h/2 4qy33qyx ydy ydy 0h/2 x x 0h/2 h33hh/2h/2xyx0dy在次要邊界x= l上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2x ,dyh/26ql（8分）彈性力學(xué)平面問(wèn)題包括哪兩類問(wèn)題？分別對(duì)應(yīng)哪類彈性體？?jī)深惼矫鎲?wèn)題各有哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問(wèn)題包括平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題兩類，兩類問(wèn)題分別對(duì)應(yīng)的彈 性體和特征分別為：y4qy33qy dy 0（奇函數(shù)）h/2h/2

14、x lh3h33hh/2xxiydyh/26ql2y4qy33qyqlh/2h/2h3h3ydy3h2h/2h/2xy xidyh/2h/26ql h22yql對(duì)于如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系，結(jié)合邊界上面力與應(yīng)力的關(guān)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā) 生上述應(yīng)力時(shí)，由主邊界和次邊界上的應(yīng)力邊界條件可知，左邊、下邊無(wú)面力； 而上邊界上受有向下的均布?jí)毫?；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力 偶和鉛直面力。所以，能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載 q的問(wèn)題2009 2010 學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A ）卷一.名詞解釋（共10分，每小題5分）1. 彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而

15、發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定為：正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù)。4.彈性力學(xué)中，正面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸正向的面，負(fù)面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向的面。平面應(yīng)力問(wèn)題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量x, y , xy存在，且僅為x,y的函數(shù)。平面應(yīng)變問(wèn)題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為長(zhǎng)截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy

16、平面，外力沿z軸無(wú)變化，只有平面應(yīng)變分量x, y , xy存在，且僅為x,y的函數(shù)。2. （8分）常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問(wèn)題可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程： 40（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件，s s ）：l x myx sfxs-在s s上mylxy sf y（3 ）若為多連體，還須滿足位移單值條件。問(wèn)答題（36）1. （ 12分）試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。（板厚 1）Mi圖5-1解：在主要邊界yh 2上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件:qx I ， yx y h 20 ；y

17、y h 20， yx y h 2Q1在次要邊界x 0上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚1時(shí)，x x odyh.2h；2Fn，h2 x xoydy M， h2 xy xodyfs在次要邊界x l上，有位移邊界條件：u X l 0，v x l 0。這兩個(gè)位移邊界條件可以改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替：x x odyh 2h 2 xy x 0dyFnFsqilqi_2x x o ydyFslql2 qlh6 T32. （10分）試考察應(yīng)力函數(shù)cxy , c 0,能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫(huà)出圖5-2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主 矢和主矩

18、。444解：（1）相容條件：將3cxy代入相容方程422240，顯然滿足。xx yy22（2） 應(yīng)力分量表達(dá)式：x 一r 6cxy， y 0， xy 3cyy（3）邊界條件：在主要邊界y 上，即上下邊，面力為 yy h2 3chx，2 （ 14分）設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎柱，密度為 y h；23c2xy y h 24 ch在次要邊界x 0,x l上，面力的主失和主矩為h 2h 2x x dy0h 2h 2x xydy 0h 2h 2 2c 3h2xy x 0dyh23cy dyh34h 2h 2h 2xx ldyh26clydy 0h 2h 22clh3h 2xx i ydyh26c|ydy2h 2

19、h 2少c 3h 2xyx0dvh23cy dyh4彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界x 0, x l上面力的主失量和主矩如解圖所示。，在一邊側(cè)面上受均布剪力q,如圖5-3所示，試求應(yīng)力分量。（提示：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡(jiǎn)單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無(wú)擠壓，即可設(shè)應(yīng)力 分量X 0 )解：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡(jiǎn)單的胡克定律,故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無(wú)擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量X 0,(1)假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式。2有y力公式此時(shí)，體力分量為2x 0, fyg。將x 0代入應(yīng)0

20、對(duì)x積分，得yy(a)yf xf1 x。(b)其中f x ，X都是X的待定函數(shù)。由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式(b )代入相容方程4d4 f1 xd4f x y dx4dx4這是y的一次方程，相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的根(全部豎柱內(nèi)的 d4f x dx4足)，可見(jiàn)它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零。yd4f1 x0，廠dx值都應(yīng)該滿0,兩個(gè)方程要求f x Ax3 Bx2Cx， f1 x Dx3 Ex2(c)的表達(dá)式f x中的常數(shù)項(xiàng)，f1 x中的一次和常數(shù)項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在A 32y Ax BxCxDx3（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。2x2yxfx0，2y2 yfy 6Axyx2 By6Dx2xyx

21、y3 Ax2（5）考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)xy x b2xy x b2 q 中成為y的一次和常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。得應(yīng)力函數(shù)2Ex(d)(e)2Egy，(f)2BxC.(g)先來(lái)考慮左右兩邊xb 2的主要邊界條件:將應(yīng)力分量式（e）和（g）代入，這些邊界條件要求:XX b 20，自然滿足；xy X b 23 2Ab2 Bb C 0( h )4xy x b2；Ab2 Bb C q(i)由（h） （ i） 得2b(j)考察次要邊界y件為b 2b 2xdx6Dx 2Exdxb 2yy 0b 2b 2xyydxb 223 Ax2b 20b2b由（h）（ j）（k）得Db30，得D 02

22、Ab3C dxbC0（k）4A_q2 ,Cqb24將所得A、B、C、D、E代入式（e） （ f） （ g ）得應(yīng)力分量為:0的邊界條件，應(yīng)用圣維南原理，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條b 2b 2672xybxy_q_b2x2b2 yy0dx b26Dx 2Edx 2Eb 0 ；得 E 0填空題（每個(gè)1分，共10 X1=10分）。1 彈性力學(xué)的研究方法是在彈性區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)方面建立三套方程，即方程、方程以及方程；在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件，即邊界條件和邊界條件。2 彈性力學(xué)基本假定包括假定、假定、假定、假定和假定。1 平衡微分幾何 物理應(yīng)力位移2.連續(xù) 均勻各向同性完全彈性小

23、變形一、單項(xiàng)選擇題（每個(gè) 2分，共5 X2=10分）。1. 關(guān)于彈性力學(xué)的正確認(rèn)識(shí)是A_。A. 彈性力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的作用日益重要。B. 彈性力學(xué)從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學(xué)不同，不需要對(duì)問(wèn)題作假設(shè)。C. 任何彈性變形材料都是彈性力學(xué)的研究對(duì)象。D. 彈性力學(xué)理論像材料力學(xué)一樣，可以沒(méi)有困難的應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)分析。2. 所謂“完全彈性體”是指B。A. 材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律。B. 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時(shí)間歷史無(wú)關(guān)。C. 本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系。D. 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系。3. 所謂“應(yīng)力狀態(tài)”是指 _B_。A. 斜截面應(yīng)力矢量與橫截面應(yīng)力矢量不同。B. 一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力隨著截面方位變化而改變。C. 3個(gè)主應(yīng)力作用平面相互垂直。D. 不同截面的應(yīng)力不同，因此應(yīng)力矢量是不可確定的。4 彈性力學(xué)的基本未知量沒(méi)有C 。A. 應(yīng)變分量。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 應(yīng)力分量。5 下列關(guān)于圣維南原理的正確敘述是DA. 邊界等效力系替換不影響彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分布。B. 等效力系替換將不影響彈性體的變形。C. 圣維南原理說(shuō)明彈性體的作用載荷可以任意平移。D. 等效力系替換主要影響載荷作用區(qū)附近的應(yīng)力分布，對(duì)于遠(yuǎn)離邊界的彈性體內(nèi)部的影響 比較小。、計(jì)算題（共15分）如圖所示的三角形截面水壩，其左側(cè)作用著比