惠州市2020屆高三第三次調(diào)研考試理科數(shù)學試題正式版(含參考答案)

1、惠州市2020屆高三第三次調(diào)研考試2020.1理科數(shù)學全卷?茜分150分，時間120分鐘.注意事項：1 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、座位號、學校、班級等考生信息填寫在答題卡上。2 .作答選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效。3 .非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上， 寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1.已知全集 U =R, A = x|2x<1,則 euA =

2、 （）.D. x|x 之 0A. X X >1 B. x|x >1C. x|x > 02.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z =一十i ,I2 2 J則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第）象限.B.C.三D.四202011.13.已知 a =log2020 -, b = l- , c=2020 ,則(冗 l九，)A. c <a <bB. a <c <bC. b < a <c D. a < b < c數(shù)學試題（理科）第1頁，共21頁4 .在直角坐標系xOy中，已知角8的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合, 3二)終邊洛在直線 y=3x上，則si

3、n（2日）=（5.在平行四邊形則 MP =(B.ABCD 中,)b310+a. a4一 5Ab &a+3b54C.T 4 -TAD = b, AM =4MCC. -"b510D.P為AD的中點,D.-瑪-里4 46 .設(shè) a w R ,則 “ a = J2” 是“直線 11 :x+2ay5 = 0與直線 121ax+4y+ 2 = 0 平行” 的（）條件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要7 .數(shù)列an : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,，稱為斐波那契數(shù)列，它是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故

4、又稱為“兔子數(shù)列”該數(shù)列從第3項開始，每項等于其前相鄰兩項之和,即an也=an由+an .記該數(shù)列an的前n項和為Sn,則下列結(jié)論正確的是（）.A .S2019 = a2020 * 2C.S2019 =a2020 1B . S2019 = a2021 + 2D .S2019 = a2021 一18 .易經(jīng)是中國傳統(tǒng)文化中的精髓之一。右圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“一”表示一根陰表示一根陰線）。從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為（）.1A. 一14B.5C.285D.14噂I岡丁9 .函數(shù) f x：)=1 x， ,1

5、eSinx的圖象的大致形狀是)10 .如圖，平面過正方體的頂點A,平面則m、n所成角的正弦值為A.21B. 一2C.).3D. 32數(shù)學試題(理科)第5頁，共21頁11 .已知F為拋物線的焦點，點A、B在該拋物線上且位于 x軸的兩側(cè),A. 212 .已知函數(shù)其中O為坐標原點B. 3滿足上有最小值,無最大值。的最小正周期為3;面積之和的最小值是().給出下述四個結(jié)論:上的零點個數(shù)最少為 1346個.()的值是則其中所有正確結(jié)論的編號是15.設(shè)數(shù)列 的前n項和為，若x16.已知雙曲線C1 :a2y2=1(a >0, b>0)的離心率e>2 ,左、右焦點分別為 F2 b其中F2也是

6、拋物線C2： y2=2px(p>0)的焦點，C1與C2在第一象限的公共點為3P.若直線PFi斜率為一，則雙曲線離心率 e的值是4三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明， 證明過程或演算步驟。 第1721題為必考題, 每個考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17 .（本小題滿分12分）在平面四邊形ABCD中,_ 兀_ 兀/ABC =；, NADC =：,(1)若 ABC的面積為氫3，求AC ;2(2)若 AD=273, /acb=/acd +,3求 tan/ACD .18 .（本小題滿分12分）如圖，等腰梯形 ABCD中，E為CD中點,以A

7、E為折痕把折起，使點D到達點P的位置 平面（1）證明:ji的余弦值.（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為 一，求二面角419 .（本小題滿分12分）為發(fā)揮體育核心素養(yǎng)的獨特育人價值，越來越多的中學將某些體育項目納入到學生的必修課程?；葜菔心持袑W計劃在高一年級開設(shè)游泳課程，為了解學生對游泳的興趣，某數(shù)學研究學習小組隨機從該校高一年級學生中抽取了100人進行調(diào)查。(1)已知在被抽取的學生中高一班學生有6名，其中3名對游泳感興趣，現(xiàn)在從這6名學生中隨機抽取 3人，求至少有2人對游泳感興趣的概率；(2)該研究性學習小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，對游泳感興趣的學生中有部分曾在市級或市級以上游泳比賽中獲獎，具體獲

8、獎人數(shù)如下表所示。若從高一班和高一班獲獎學生中隨機各抽取2人進行跟蹤調(diào)查，記選中的 4人中市級以上游泳比賽獲獎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望。班級一一一一一一一一一一市級比賽獲獎人數(shù)2233443342市級以上比賽獲獎人數(shù)221023321220 .(本小題滿分12分)2在平面直角坐標系 xOy中，已知過點的直線l與橢圓C : + y2 = 1交于不同4的兩點，其中(1)若 ，求的面積；(2)在x軸上是否存在定點 T,使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰 三角形。21 .(本題滿分12分)已知實數(shù)a#0,設(shè)函數(shù)f(x)=eaxax.(1)求函數(shù)f(x )的單調(diào)區(qū)間；1,一 a

9、 2(2)當a>萬時，若對任意的xw I,"),均有f (x宜萬2+1),求a的取值范圍。注：e =2.7182811MH為自然對數(shù)的底數(shù)。(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計分。答題時請寫清題號并將相應(yīng)信息點涂黑。22 .(本小題滿分10分)選彳4 4一4:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系 xOy中，以坐標原點 。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的極坐標方程為 P=2cose,若極坐標系內(nèi)異于 O的三點A(P1,5),%>0 )都在曲線M上.數(shù)學試題（理科）第7頁，共21頁（1）求證：J3 pl =

10、p2 + p3 ；(2)若過B, C兩點的直線參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求四邊形OBAC的面積.23 .(本小題滿分10分)選彳4-5：不等式選講已知函數(shù)f (x) = |x+2+x4 .(1)求不等式f(x)£3x的解集；(2)若f (x戶k x-1對任意xWR恒成立，求k的取值范圍.惠州市2020屆高三第三次調(diào)研考試理科數(shù)學參考答案及評分細則、選擇題題號123456789101112答案DBDACADDADBC-_ 一 一 x 一 一一一 一 - .一 1.【解析】A =x 2 <1 =x x <0 , Cu A=x x 20,故選 D.2.【解析】z =(1 +Y3i

11、)2 =_1+四,所以z對應(yīng)的點在第二象限，故選 B.22221門)202°-3.【解析】a =log 2020 一 <log20201 =0 , b = 1 ；0 (01 ), c = 2020 7t >1，所以 a<b<c冗Id故選D.2 .14.【解析】因為角 。終邊洛在直線y =3x上，所以tan =3, cos 8 = ,10一. 3二,o ,4所以 sin(- -20) = -cos20 = 一(2cos 日 -1)= 一.故選 A.255.【解析】如圖所示，MP =1b-4(a+25-4 bAP->aM=2>aD-5aC=1aD-4(

12、AB+aD) a b .故選 c.5106 .【解析】依題意，知 a = ,且 亙w,解得a= 士衣.故選A. 42a 2a 27 .【解析】Sn 二4 a2a3 IHan- a?)-a3)-a4)包- as)川 2 - an .1)= anH2 a2 an -2 1 ,所以 S2019 = a2021 1,故選 D.8 .【解析】P = C3C3 + 1 =9 故選D.C；14,22 )'ex1)口，中 pm 2人9解析】f(x)=.1 sinx= esin x是偶函數(shù)，排除C、D,又，f()目I 1+exJ e+1/故選A.10.【解析】如圖：面，可知是正三角形,m、n所成角為60

13、°.則m、n所成角的正弦值為故選D.11.【解析】設(shè)直線AB的方程為:直線AB與x軸的交點為根據(jù)韋達定理有結(jié)合點A、B位于x軸的兩側(cè),當且僅當-選B.12.【解析】確。誤。不妨令即函數(shù)的周期區(qū)間.不妨令點-時，取區(qū)間中點為-,滿足條件，但A在x軸上方，則號,，又面積之和的最小值是根據(jù)正弦曲線的對稱性知-，即的長度恰好為673個周期，當上零點個數(shù)至少為故正確的是二、填空題：本題共 4小題，每小題13、6一,不妨取此時上的最大值，不滿足條件，故-，兩式相減得時，即時,5,共20分，其中第15題第一空2分,3.故在開區(qū)間第二空3分。16、4 .715、1（2 分）；121 （3 分）第8頁

14、，共21頁14、 3數(shù)學試題（理科）13 .【解析】 n =2,22 <20; n =4,24 <20; n =6,26 >20.故答案為 6.所以14 .【解析】令X = 0ai a III，% - -3.15 .【解析】由 時,即有可得16 .【解析】因為F2是雙曲線的右焦點且是拋物線的焦點,所以衛(wèi)二c2解得p=2c ,所以拋物線的方程為：y2 = 4cx ；由 kPF1,l 34= tan/PFF2 =一，二 cos/PFF2 =，45如圖過P作拋物線準線的垂線，垂足為M ,設(shè) P(x0y0)，則 PM = PF2 = x0 R = x0 c， PF1 =2PM= 5(

15、% +c) .cos MPF1 4數(shù)學試題（理科）第13頁，共21頁由 PF1 -PF2 =2a,可得 5(X0 +c)-(x)+c) = aM 2n x° =8ac4在 PFF2 中，PF2=x0+c=8a, PF1 = PF2+2a =10a , F1F2 =2c,由余弦定理得 PF22 = pf； F1F22 -2PF1 F1F2 cos PF1F2即(8a)2 =(10a)2 +(2c)2 -2 10a 2c 4 ,化簡得 5e2 40e+45 = 05二 e=4± J7,又 e >2,二 e=4 + J7.故答案為 4 +J7 .三、解答題：共70分，解答應(yīng)

16、寫出文字說明， 證明過程或演算步驟。 第1721題為必考題,每個考生都必須作答。第 22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。17 .（本小題滿分12分）【解析】（1）在&ABC中，因為BC=2,冗/ABC =-， 311 SABC AB BCsin ABC 23 八 r 3 3所以AB=,解得AB =3. 2分22在MBC中， 由 余 弦 定 理 得222AC2 = AB2+BC2 -2AB，BCcos/ABC = 7 ,4 分因為AC>0,所以ac =77. 5分 冗冗(2)設(shè)/ACD =ct ,則/ACB =/ACD +=a+.6 分33-AD 2、3在RtAACD中，因為

17、AD=2j3,所以AC= .7sin ： sin ： .冗在 MBC 中，/BAC =冗一/ACB /ABC 也， 3由正弦定理得BCsin BACACsin ABC2.3.z冗 sin(-)2n所以 2 sin(a )= sint ,所以3,32（萬cos： -1sin： ) =sin：, 210分即 73cos" =2sin " , 11分12所以 tan« =,即 tan/ACD = * 2218.（本小題滿分12分）【解析】（1）證明：連接BD,設(shè)AE的中點為O,-，四邊形 ABCE 為平行四邊形，1 分,為等邊三角形，2分又， 平面POB, 平面POB3

18、分【注】無寫出此步驟不得分。平面POB 4分【注】無證明此得分點不給分。以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立如圖空間直角坐標系,貝U0,1 ,_0, , 一 ,- 0, 一 ,- 一 7分設(shè)平面 PCE 的一個法向量為y, ，則，即-,8分令 ，得 一9 分又 平面PAE,1,為平面PAE的一個法向量 10分設(shè)二面角為,貝U - 11分易知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為 12分【解法二】幾何法在平面POB內(nèi)作平面ABCE ,垂足為Q,則Q在直線OB上，徐、直線PB與平面ABCE夾角為 又 ，/ V、Q兩點重合，即 平面ABCE, 6分J【注】無證明此得分點不給分。F三三過點

19、C作CHXAE交于點H,連結(jié)PH,則二面角A-PE-C與二面角H-PE-C互為補角。又因為CHXPO,所以CH,面PAE,過H作HFLPE交于點F,連結(jié)CF,由三垂線定理知 CFXPE所以/ CFH為二面角 H-PE-C的平面角。 7分在 RtACHE 中，Z CEH=60 ° , CE=1 ,所以 HE=-, CE=, 8 分在 RtAHFE 中，/FEH=60° , HE=-,所以 HF= 9分在RtACHF中，由勾股定理知 CF=一 10分故 cos/CFH= = 11分所以二面角的余弦值為 一 12分19.（本小題滿分12分）【解析】（1）【解法一】記事件 從6名學

20、生抽取的3人中恰好有i人有興趣，1,2,；則與互故所求概率為至少人感興趣 2分 3分-；4 分【解法二】記事件 從6名學生抽取的3人中恰好有i人有興趣，1,2,；則與互斥 1分故所求概率為 至少人感興趣2分 3分-；4分(2)由題意知，隨機變量的所有可能取值有 0, 1, 2, 3； 5分 -6 分 7分 8分分數(shù)學試題(理科)第15頁，共21頁0123p則的分布列為:【注】無列表此得分點不得分。10分數(shù)學期望為1220.（本小題滿分12分）【解析】（1 ）當代入橢圓方程可得點坐標為若 點坐標為聯(lián)立x+4y-4=022x 4y = 4若點坐標為,由對稱性知上可知，當y2的面積也是6分5數(shù)學試題

21、（理科）第17頁，共21頁(2)【解法一】顯然直線l的斜率不為0,設(shè)直線1：數(shù)學試題(理科)第23頁，共21頁聯(lián)立,消去x整理得因為直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形,所以10分11故x軸上存在定點,使得直線 TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.12分【解法二】顯然直線1的斜率存在且不為 0,設(shè)直線1: y=k(x-4)y = k(x 7)2 222聯(lián)立 < 09 ，消去 y 整理得(1+4k )x -32k x+64k 4 = 0x2 4y2 -4 -01由 =(32k2)2 -4(1 +4k2)(64k2 -4) >0 ,得 k2 < ,12_ 2

22、2nt.32 k64k -4則 x1+x2=3, x1x2=g12 1 4k212 1 4k2因為直線 TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形10分則kTAkTB 二y1.y2 = k(- -4) k8 - 4)x1 -tx2 -tx1 -tx2 -tI, 2X1X2 -(t 4)(X1 X2) 8t 二 k(Xi -t)(X2 -t)即 2X1X2 -(t +4)(X1 +x2) +8t =0 ,2_2_2128k -8 (t 4)32k 8t 32tk14k2- 1 4k21 4k211 分故X軸上存在定點，使得直線 TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.12分21.(本題滿

23、分12分)【解析】(1)【解法一】由f (x)=a eaxa=a(eax1)=0,解得x = 0. 1若a :0,則當xw (0,也)時，f'(x) a0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,收)；當xW(q,0)時，f'(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(*,0) . 2分若a <0,則當xw (0,+無)時，f'(x)>0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,依)；當xW(-«,0)時，f'(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-°°,0) . 3分綜上所述，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)，單調(diào)遞減區(qū)間為

24、(8,0). 4分【解法二】令 g(t) =S t,其中 t =ax.g'(t) =S 1.令 g'(t) = 0,得 t =0.當tW (q,0)時，g'<0,二g(t)在(-8,0)上單調(diào)遞減；當不(0,+ 叼時，g'(t)>0,二g在(0,+R)上單調(diào)遞增.1分又丫當a A0時，t=ax在R上單調(diào)遞增；當 a <0 時t = ax 在減。 2分由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，a >0時，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, 十比)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,0)；a<0時，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,收)，單調(diào)遞減區(qū)間為(3,0) . 3分

25、綜上所述，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,收)，單調(diào)遞減區(qū)間為(00,0) . 4分。 f (x) > a(x2 +1),即 eax ) 旦(x+1)2 (*) .22a1令 x =0,得1 ) ,則一<a w 2. 522分當x = -1時，不等式(*)顯然成立，當xq1,2)時，兩邊取 對數(shù)，即ax> 2ln(x+1) + ln| 恒 成立. 6分令函數(shù) F(x) =2ln(x+1)-ax +ln-,即 F(x)< 0 在(1,收)內(nèi) 恒 成2立.7分22 - a(x 1)2由 F (x) =-a =-=0 ,得 x = 1 a 1.x 1x 1a.2故當 x W(1

26、,1)時，F(xiàn) (x)>0, F(x)單調(diào)遞增； a2.a減. 8分因此22aa.F (x) w F ( T) =2ln 2+a+ln = a2 Tn . 9 分aa22當 x = (- -1+°°)時 ， F (x) <0, F(x) 單 調(diào) 遞a , , 1令函數(shù) g(a) =a -2 一In ,其中 一 <a w 2 , 22則 g (a) =1 -= ag(a)單調(diào)遞減;一， 1 一，故當aW(鼻,1)時,當 a w (1,2時,g '(a) >0 ,g(a)單調(diào)遞增.10一 13一又 g(-) =ln 4- <0 , g(2)2

27、2一，111故當一<aw 2時，g(a)< 0恒成立，因此F(x)< 0恒成立,2綜上知：當，對任意的xW1,收)，均有f (x)之g(x2+1)成立12222.(本小題滿分10分)【解析】(1)【解法1】由弓=2cos平P2 = 2cos I 6P3 = 2cos I -36則；2 , % = 2cosj 2cos.飛29【解法2】M的直角坐標萬程為(x1J +y2=1,如圖所示,假設(shè)直線 oa、ob、oc 的方程為 y=kx, y=k?x, y = k3x, kqJ3,J3),由點到直線距離公式可知MFkk2 1在直角角形 OMF中，由勾股定理可知口已;2MF由直線方程可知k=tan平，k2 =tan + I, I 6Jk3 = tan 9-I 6 J所以.兀tan g + tan 6小兀1 -tanP tan 6&g