四川省射洪縣射洪中學(xué)高二數(shù)學(xué)《2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)》教學(xué)過(guò)程一

1、四川省射洪縣射洪中學(xué)高二數(shù)學(xué)2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)教學(xué)過(guò)程一教學(xué)過(guò)程（1）復(fù)習(xí)與引入過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)得到橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過(guò)對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對(duì)這種研究方法的進(jìn)一步地培養(yǎng)由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實(shí)數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；由方程的性質(zhì)得到雙曲線的對(duì)稱(chēng)性；由圓錐曲線頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)軸、虛軸的概念；應(yīng)用信息技術(shù)的幾何畫(huà)板探究雙曲線的漸近線問(wèn)題；類(lèi)比橢圓通過(guò)的思考問(wèn)題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率板書(shū)§222雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）新課講授過(guò)程（i）通過(guò)復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)

2、，對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來(lái)研究雙曲線的幾何性質(zhì)提問(wèn)：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來(lái)研究？通過(guò)對(duì)雙曲線的范圍、對(duì)稱(chēng)性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置要從范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、漸近線及其他特征性質(zhì)來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì) （ii）雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 范圍：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，進(jìn)一步得：，或這說(shuō)明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；對(duì)稱(chēng)性：由以代，以代和代，且以代這三個(gè)方面來(lái)研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒(méi)有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心；頂點(diǎn)：圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)因此雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)，由于雙

3、曲線的對(duì)稱(chēng)軸有實(shí)虛之分，焦點(diǎn)所在的對(duì)稱(chēng)軸叫做實(shí)軸，焦點(diǎn)不在的對(duì)稱(chēng)軸叫做虛軸；漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；離心率： 雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率（）（iii）例題講解與引申、擴(kuò)展例3 求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程分析：由雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在軸上的漸近線是擴(kuò)展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率解法剖析：雙曲線的漸近線方程為焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為，點(diǎn)在雙曲線上，無(wú)解；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為，點(diǎn)在雙曲線上，

4、因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率這個(gè)要進(jìn)行分類(lèi)討論，但只有一種情形有解，事實(shí)上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為例4 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長(zhǎng)度量精確到）解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，算出的值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：注意建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則；關(guān)于的近似值，原則上在沒(méi)有注意精確度時(shí)，看題中其他量給定的有效數(shù)字來(lái)決定引申：如圖所示，在處堆放著剛購(gòu)買(mǎi)的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場(chǎng)中去鋪墊，已知，能否在足球場(chǎng)上畫(huà)一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路？說(shuō)明理由解題剖析：設(shè)為“等距離”線上任意一點(diǎn)，則，即（定值），“等距離”線是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為理由略例5 如圖，設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡方程分析：若設(shè)點(diǎn)，則，到直線：的距離，則容易得點(diǎn)的軌跡方程引申：用幾何畫(huà)板探究點(diǎn)的軌跡：雙曲線若點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡方程