第一章集合初步知識要點和復(fù)習自測題

1、第一章集合論知識要點與復(fù)習自測題一、集合概念和基本運算的知識要點：仔細體會并熟練掌握集合的概念（ 注意元素與集合的兩 種關(guān)系，集合與集合間的關(guān)系，并注意它們的區(qū)別 ），集合的基本運算（并、交、差、余、直積 和極限運算）以及運算律（注意體會元素不屬于并集，交集，上極限集和下極限集的特點 ）。復(fù)習自測：1、據(jù)理說明下面的集合關(guān)系是否成立？若不成立，請進一步討論它們成立的條件：設(shè)（1） ABUB 二A，（ 2） ABljB 二AUB，（ 3） AUB B = A，（4） AUB B 二 a B，（5）A UB 二 A B U A - B U B A，（6）A B 二 A A B 二 A - Bc，A

2、 二 A B U A - B .A，B是兩個集合,2、證明下面的幾個常用的集合分解:（1 ）若En （ n =1,2,）是一列集合，則E E E 2 E E 3 E _1 E 2 n =1En U Ek （并集的常用不交分解方法） I "丿丿(2)若En （ n =1,2川I）是一列單調(diào)遞增集合，貝U0EnnEn=E_jE2匕.E3 E2En En-1 - “* .（單調(diào)遞增集列并集的不交分解方法）（n =1,2川I）是一列集合，記FnEk，Gn =U Ek，Hk=1nEk，k rnIn Ek，k=1qQFn L ，且 U En n三qQGn L，且 U Enn#oOqQFn （并集

3、的遞增分解方法n TqQGn （并集的遞減分解方法 n 1oC），），HnL ，且PlEnHn （交集的遞增分解），n=1n#QOOOInL，且Cl EnIn （交集的遞減分解）.(3)n羊n羊En （ n =1,2川1）是一列單調(diào)遞減集合，則3in J：=1護丿5巳E2心E2E3En En ：1 - * （單調(diào)遞減集列中最大集的不交分解方法）（4）設(shè)En（ n =1,2川I）是一列單調(diào)遞減集合，則 f巴.UEnU En Em“丿l，m4丿0C|En 二n 43、設(shè)En（ n =1,2川I）是一列集合,（1）試寫出lim En，lim En的并交運算表示; nn_ic；若EnL，則（2）利用（

4、1）證明（單調(diào)集列的收斂定理）：若EnL ，則En?收斂，且lim EnE,nJ；收斂，且 lim En =En ；n呂qQqQ（3）記FnEk，GnEk，據(jù)理說明：limEn二limFn，皿巳二lim Gn （上極限集、下極限集與k 生k =an_ac單調(diào)集列的關(guān)系）、集類的知識要點：仔細體會環(huán)、代數(shù)、 匚環(huán)，二代數(shù)的含義（注意它們的區(qū)別），關(guān)注它們分別對集合的怎樣的運算是封閉的，并了解它們之間的關(guān)系（關(guān)系如下圖）ft/代數(shù):代數(shù)了解由一個非空集類A生成的環(huán)（記為T（A ）,代數(shù)（記為 RA ）, &環(huán)（記為T/A ）,二代數(shù)（記為 R A ）的含義，并了解它們之間的關(guān)系（關(guān)系如下圖

5、）T AAcc復(fù)習自測:1、設(shè)X =、，A - X的有限子集全體 ，B - X的至多可數(shù)子集全體，并規(guī)定空集一是有限集,據(jù)理說明:(1) A是環(huán)，但不一定是代數(shù)，并討論 A是代數(shù)的條件？(2) B是二環(huán)，但不一定是 匚代數(shù)，并討論 B是二代數(shù)的條件？2、設(shè)X 一_ , A = X的單點集全體，據(jù)理說明：(1) A不是環(huán)；(2) T A = X的有限子集全體；R A = X的有限子集全體 X的有限子集的余集全體； 二 X的至多可數(shù)子集全體；R；_ A = X的至多可數(shù)子集全體J X的至多可數(shù)子集的余集全體.三、集合對等的知識要點：仔細體會并熟練掌握映射的象集和原象集(也稱逆象集)的性質(zhì)； 仔細體

6、會并熟練掌握集合對等的判別方法【定義法(一一映射法)、對等的性質(zhì)法、Bernstein定 理法】；仔細體會并熟練掌握判斷集合基數(shù)大小關(guān)系的方法【大小關(guān)系的定義法(即與子集對等 法)、單射或滿射法(也稱映射法)、并集法】.復(fù)習自測：1、 敘述(1)集合對等的定義；(2 )對等的基本性質(zhì)(自身性、對稱性、傳遞性和集族的不交并集性)；(3) Bernstein 定理.2、利用恰當?shù)姆椒ㄗC明：(1 )設(shè)A , B是兩個集合，若ABLlBA，則AL B ；注意：A 二 AB 一 A B , B 二 AB 一 B A，用性質(zhì)法.(2 )設(shè)A , B , C是三個集合，若 A B，且ALA-C，貝U bLB

7、-C .注意：B - B _ C 以及 B 二 A1：.B A I 和 B _ C 二 A1：.B A C 二 A _ C _ B A ,用 Bernstein 定理.四、可數(shù)集和不可數(shù)集的知識要點：仔細體會并掌握至多可數(shù)集的定義及性質(zhì)；熟練掌握判斷可數(shù)集或至多可數(shù)集的若干方法【定義法、排元素法、與已知至多可數(shù)集對等法、至多可數(shù)集 的性質(zhì)法】；熟記并會證明一些常見具體的可數(shù)集和至多可數(shù)集【如：自然數(shù)集，整數(shù)集，偶數(shù) 集，奇數(shù)集，有理數(shù)集，n維空間中的有理點集，整系數(shù)多項式全體，有理系數(shù)多項式全體，n維空間中互不相交的開區(qū)間(或開集)所成的集，區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點所成的集，n維空間中的點集

8、的孤立點所成的集等等】掌握不可數(shù)集的定義和性質(zhì)；熟記并證明一些常見的具有連續(xù)基數(shù) c的集合【如：1維空間 中的長度不為0的各種區(qū)間、非空開集、有內(nèi)點的集；n維空間中的體積不為0的各種區(qū)間、非 空開集、有內(nèi)點的集；0,1二R0,1廠-0,10,1 Hl; n維空間中的開集全體、閉集全體； 可數(shù)集的幕集等等】復(fù)習自測：1、設(shè)En ( n =1,2川I)為一列至多可數(shù)集，則nn(1 )訂Ek-巳 E2 HI En是至多可數(shù)集，且當E!,E2|,En中至少有一個為可數(shù)集時， Ek是可數(shù)集；qQ(2)據(jù)理說明話En =E1 E2 III En川不一定是可數(shù)集.注意：用(0,1嚴0,1? <0,1

9、III說明.實際上，只要集列 En ( n =1,2川1)中，有無窮多個是二元素以上的集，En都不是可數(shù)集.n仝2、 證明：Rn中互不相交的開集所成的集族一定是至多可數(shù)集；Rn中的開集全體所成的集族為不可數(shù)集，其基數(shù)c .3、證明：區(qū)間I R上的單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(也稱間斷點)所成的集必為至多可數(shù)集.4、證明：E Rn的孤立點全體所成的集必為至多可數(shù)集.5、 證明：0,1上的連續(xù)函數(shù)全體所成的集具有連續(xù)基數(shù)C .6、證明：2c，其中a為可數(shù)基數(shù)，c為連續(xù)基數(shù)(即可數(shù)集的幕集一定是具有連續(xù)基數(shù)的集)五、開集、閉集和Borel集的知識要點：掌握開集、閉集的定義與等價條件，并會用它們來判斷 一個點集

10、是否開集和閉集；掌握開集、閉集的并交運算特征；掌握 Lindelof至多可數(shù)覆蓋定理及其簡單應(yīng)用【例如，證明Rn中的非空開集必可表示成至多可數(shù)個開區(qū)間的并集等】； 理解自密集和完全集的含義，稠密集和疏朗集的含義；掌握稠密集的等價定義，并會用等價定義證明或判斷一個集合的稠密性；掌握稠密集和疏朗集之間的一般關(guān)系和在一定條件下的等價關(guān)系，并熟習一些典型的稠密集【如：有理數(shù)集，有理點集，無理數(shù)集，無理點集】和疏朗集【如：有限點集，自然數(shù)集，整數(shù)集，n維空間上的整點集等】記住Rn中非空完全集的基數(shù)為連續(xù)基數(shù)這一結(jié)論自測題：1、據(jù)理說明：(1)有限個完全集的并集仍為完全集，但一列(可數(shù)個)完全集的并集不一

11、定是完全集；(2 )完全集的交集不一定是完全集.2、證明：(1) 疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集不一定是疏朗集；nc(2) E - R是疏朗的閉集u E是稠密的開集.3、據(jù)理說明：疏朗集一定無內(nèi)點，但無內(nèi)點的集不一定是疏朗集.六、理解Cantor三分集P的構(gòu)造思想；掌握Cantor三分集P的構(gòu)造過程以及它的兩種表示(如: :2k2k PFn 八(一 Fi(k)，P 珂0,1 _(_.)；掌握 Cantor三分集的幾個常用性質(zhì)如: Cantor n：1k =1 i 4kTi 仝三分集P是非空的自密閉集即非空的完全集；Cantor三分集P的勢為c(連續(xù)勢)；Cantor三分集 P是疏朗集

12、(從而它沒有內(nèi)點)；Cantor三分集P為零測集).自測題：1、利用Cantor三分集的特點據(jù)理說明：(1 )疏朗集不一定是至多可數(shù)集；(2 )在區(qū)間中去掉一個具有連續(xù)基數(shù)的集不一定會改變區(qū)間的長度.七、型集，G、型集，Borel集的知識要點：理解F型集，G：型集，Borel集的含義及生成特 點以及型集與G型集在余運算下的對偶關(guān)系，并會用 Baire綱定理【即F；型集中的每個閉集 均無內(nèi)點，則此F；二型集也無內(nèi)點】說明Q和Qn都是F；型集，但不是G：型集；R Q和Rn Q n 都是G、.型集，但不是F；型集.熟練掌握并熟記R1上的開集與R1上的開區(qū)間的關(guān)系，Rn上的開 集與Rn上的半開半閉區(qū)間

13、的關(guān)系【即開集的結(jié)構(gòu)定理】自測題：1、完整地敘述開集的結(jié)構(gòu)定理.2、據(jù)理說明：(1 )閉集既是 F遅集，也是G、.型集；開集既是G、.型集，也是Fc型集；(2) 至多可數(shù)個型集的并集仍為F7型集；至多可數(shù)個 G、.型集的交集仍為G,.型集；(3) Rn上的至多可數(shù)集必為 F；一型集，而其余集必為 G,.型集；(4) Rn上的有理點集必為 F二型集，但不是G、.型集；Rn上的無理點集必為 G、型集，但不是F二型集；(5) 開集、閉集、 F；_型集、G、.型集都是Borel集.3、證明：(1) 任何F；型集即可表示成一列單調(diào)遞增的閉集的并集，也可表示成一列單調(diào)遞減的Ft型集的并集；(2) 任何G、

14、.型集即可表示成一列單調(diào)遞減的開集的交集，也可表示成一列單調(diào)遞增的G、.型集的交集.八、點與點集，點集與點集間距離的知識要點：理解點與點集，點集與點集之間的距離的含義；掌握點集間距離可達性的條件以及不交閉集可用不交開集分離的性質(zhì)的含義；掌握函數(shù) f(x)=d(x,E)在Rn上的一致連續(xù)性及其簡單的應(yīng)用【如：證明x Rn|d(x,E)二是開集；證明集合間距離的可達性定理；證明任何閉集都是 G .型集，從而開集也都是型集等】.自測題：1、據(jù)理說明下面的結(jié)論是否成立：(1 )設(shè) Rn，E Rn，則存在 E，使得 d x,E 二 d x, y。；(2) 設(shè)Rn， E Rn為閉集，則存在y。 E，使得d

15、 x, E = d x, y0 ；(3) 設(shè)xRn，E Rn為閉集，且E-：，則存在% E，使得d x,E =d x, y。(4) 設(shè)E1,E2 Rn都是閉集，則存在心E1，y°E2，使得d巳乓 =d x。；(5) 設(shè)E1,E2 Rn都是閉集，且它們至少有一個有界，則存在 X。，E1，y。- E2，使得d HE?二 d x°,y。；(6) 設(shè)E1, E2 R都是閉集，則存在兩個不相交的開集G1， G?，使得Ej G1， E? G?；(7) 設(shè)E1,E2 Rn都是閉集，且它們不相交，則存在兩個不相交的開集 G1，G2，使得E1 G，E2 G?.2、 設(shè) E1,E? Rn，證明

16、：d E1, E2 i； = inf d x,E?.3、 設(shè) X Rn，E Rn，記 f(x) =d x,E，則 f(x)在 Rn 上一致連續(xù).九、集合示性函數(shù)(特征函數(shù))的知識要點：了解集合的特征函數(shù)(示性函數(shù))的定義以及特 征函數(shù)與集合的關(guān)系.自測題：1、設(shè)X =：.，證明下面的關(guān)系：(1) A 二 B 二 X = A(x)豈 B(x);(2) 設(shè) A,BX，則ab(x)二a(x)b(x) - AB(x)=max1 a(x),b(x”;若 A f B 二,貝V A B(X)二 A(X) B(x)；(3) 設(shè) A, B二X，則AB(x)二A(x)B(x)二 minf a(x), b(x)?;

17、(4) 設(shè) A, BX，則Ab(x)二A(x)1；：b(x)；A B X， a b(x)-A(x) - B(X).2、設(shè)X = ._ ,證明下面的關(guān)系:(1):(X)二 max En(x),En叮n 1.(2)莎冃円叫En(X),EnX ( n =1,2川I)EnL ，則函數(shù)列若 EnUX ( n= 1,2,川)，則在(X)二 miEn(X)；n 1 n_lim En(xHlimEn(x)；n n -收斂，則函數(shù)列En(X)L ,且EnL ，則函數(shù)列紜&)，且En(x) ( n =1,2川|)也收斂，且lim En (x) - limEn(X)；nn:(x) =Hm En (x)； 片

18、nnn 1叫(X) =lim En (x).-Ennnn 土十、實函數(shù)逆象集的知識要點：熟習函數(shù)逆象集的記號fP He x|f(x)PE f(x) P)表示E中使函數(shù)值屬于逆象集】；熟習逆象集保持集合的關(guān)系和運算的性質(zhì)； 象集的性質(zhì)導(dǎo)出逆象集的相應(yīng)的集合分解.自測題：利用逆象集的性質(zhì)證明下面的集合等式：1、設(shè)【例如，設(shè)f : E > R , P R ,P的x所成的集一稱為P的能熟練地通過R中的數(shù)集的分解，利用逆(1)(2)f : E > R，記 P =(0,=)，貝U(0, n)L ， ， ：)L , E |x 0 ： f(x) : n LI , n-OOQOP (0, n (0, n)=n ±n ±E” f(x) J-n1,;)-,:nm nP I E X f (x)0 E x 0 ： f (x)豈 n E x 0 ： f (x) ： nn 1n 1Ue .|x f(x)(E中使函數(shù)值大于零的點所成集的遞增分解0 =In =111> n(3)oo IT，j%