概率作業(yè)集完整

1、第一節(jié) 隨機(jī)事件一、用集合的形式表示下列隨機(jī)試驗的樣本空間與隨機(jī)事件A1.在平整的桌面上隨機(jī)拋骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，設(shè)事件A表示“骰子的點數(shù)是奇數(shù)”，則樣本空間 ，A。2.觀察某呼叫臺一個晝夜接到的呼叫次數(shù)，設(shè)事件A表示“一個晝夜接到的呼叫次數(shù)小于2次”，則樣本空間 ，A。3.對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中后便停止射擊，觀察射擊的次數(shù)，事件A表示“射擊次數(shù)不超過3次”，則樣本空間，A。二、設(shè)A，B，C為三個事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：（1）A，B，C都發(fā)生：（2）A，B，C都不發(fā)生：（3）A發(fā)生，B與C不發(fā)生：（4）A，B，C中至少有一個事件發(fā)生：（5）A，B，C中至少有兩個事件發(fā)生：（

2、6）A，B，C中恰有一個事件發(fā)生：三、若事件，滿足等式，問是否成立？若成立，請證明；若不成立，請舉反例說明。第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率（1）一、選擇題（1）設(shè)與是兩個對立事件，且，則下列正確的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）（2）設(shè)A, B為兩個互不相容的隨機(jī)事件，則下列正確的是（ ）。（A）與互不相容 （B）（C） （D）（3）設(shè)、是任意兩事件，則（ ）。（A）（B）（C） （D）二、已知，求，。三、設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且，求。第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率（2）1.一批產(chǎn)品由45件正品、5件次品組成，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，求其中恰有1件次品的概率。2. 某寢室住有6名學(xué)生，求至少有兩個同學(xué)的生

3、日恰好在同一個月的概率。3. 將一枚骰子重復(fù)擲n次，求擲出的最大點數(shù)為5點的概率。4. 從0到9這10個數(shù)字中不重復(fù)的任取4個數(shù)排成一行，求能排成一個四位奇數(shù)的概率。5. 將8名乒乓球選手分為A,B兩組，每組4人，求甲、乙兩位選手不在同一組的概率。6將5個相同的球放入位于一排的8個格子中，每格至多放一個球，求3個空格相連的概率。7. 10人中有一對夫婦，他們隨意的坐在一張圓桌旁，求該對夫婦正好坐在一起的概率。8兩艘輪船都要?？吭谕粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達(dá)，設(shè)兩艘輪船停靠泊位的時間分別為1和2，求有一艘輪船?？坎次粫r需要等待一段時間的概率。第三節(jié) 條件概率一、已知，求。二、有人來

4、訪，他坐火車、汽車和飛機(jī)的概率分別為0.4，0.5，0.1，若坐火車，遲到的概率是0.1，若坐汽車，遲到的概率是0.2，若坐飛機(jī)則不會遲到，求他遲到的概率。三、按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格，據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？四、某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02，一個次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率。第四節(jié) 獨立性一、選擇題：（1）設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ）。（A

5、）（B）（C）事件與事件相互獨立（D）事件與事件B互逆（2）設(shè)，則（ ）。（A）事件與互不相容（B）事件與互逆（C）事件與不相互獨立（D）事件與相互獨立二、已知，（1）若事件與互不相容，求；（2）若事件與相互獨立，求。三一射手對同一目標(biāo)進(jìn)行四次獨立的射擊，若至少射中一次的概率為，求此射手每次射擊的命中率。四、加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率。第一節(jié) 隨機(jī)變量 第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量一、填空題（1） 設(shè)隨機(jī)變量X只能取0，1，2，且X取這些值的概率依次為，則 。（2）一批

6、產(chǎn)品共100個，其中有10個次品，以表示任意取出的2個產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布律為 。（用一個表達(dá)式表示）(3) 某射手對一目標(biāo)射擊，直至擊中為止，如果每次射擊命中率為p（0P1） ，以表示射擊的次數(shù)，則的分布律為 。（用一個表達(dá)式表示）二、解答題1. 一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律。（列表格表示）2.某樓有供水龍頭5個，調(diào)查表明每一龍頭被打開的概率為，求恰有3個水龍頭同時被打開的概率。3.設(shè)某城市在一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為0.3的泊松分布,求該市在一周內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率是多少？4.

7、已知在5重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2，求概率PX=4。第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、單項選擇題（1）下列函數(shù)中，可作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)是（）。 (A) (B) (C) (D) 二、解答題1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為, 試求:（1）系數(shù)A；（2）。2.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為: 0 1 2 3 （1）求的分布函數(shù)；（2）求概率。第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量一、單項選擇題1. 設(shè)和分別為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度，則必有（）。(A)單調(diào)不減 (B) （C） (D)2. 設(shè)是隨機(jī)事件，則“”是“是不可能事件”的（ ）。(A) 必要非充分條件 (B) 充分非必要條件 (C) 充要條

8、件 (D)無關(guān)條件二、填空題1. 隨機(jī)變量的概率密度為，若，則 。2. 已知，則 。3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 ，記Y表示對X的三次獨立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則= 。三、解答題1. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求（1）常數(shù)；（2）的分布函數(shù)。2.設(shè)某河流每年的最高洪水水位(m)具有概率密度，現(xiàn)要修能夠防御百年一遇的洪水（即遇到的概率不超過0.01）的河堤，問河堤至少要修多高？3. 設(shè)在(0，5)內(nèi)服從均勻分布, 求方程有實根的概率。4. 某種型號的電子管壽命X (以小時計)具有以下概率密度 ， 現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立）, 任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時

9、的概率是多少？5.將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，液體的溫度X（以記）是一個隨機(jī)變量，,求液體的溫度X保持在的概率。（，其中表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)）第五節(jié) 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為求的分布律。2. 設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度函數(shù)。3. 設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度函數(shù)。4. 設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度函數(shù)。第一節(jié) 二維隨機(jī)變量1.設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為求（1）常數(shù)a；（2）。2. 一箱子裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別為80件，10件，10件.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，記求隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律.3. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，（1）求常數(shù)A,B,C的值；

10、（2）求的聯(lián)合概率密度函數(shù)。4設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（1）求常數(shù)；（2）求。5設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（1）求常數(shù)；（2）求的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）。第二節(jié) 邊緣分布1.完成下列表格：YX0.10.10.30.20.312設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為，求的邊緣分布函數(shù)。3二維隨機(jī)變量在以原點為圓心的單位圓上服從均勻分布，試求的聯(lián)合概率密度函數(shù)和邊緣概率密度函數(shù)。4.二維隨機(jī)變量的概率密度為，求的邊緣概率密度函數(shù)。5.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，求的邊緣概率密度函數(shù)。第三節(jié) 條件分布 第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨立性1二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為 0100.30.210.40.1試求在的條件下的

11、條件分布律。2.設(shè)和相互獨立且有相同的分布(如右圖所示)，則下列正確的是（ ）。（A） （B）（C） （D）3設(shè)和是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，在（0,1）內(nèi)服從均勻分布，的概率密度為，（1）求的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（2）設(shè)關(guān)于的二次方程為，求此方程有實根的概率。4隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，（1）求條件概率密度；(2）說明與的獨立性。5隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，（1）求條件概率密度函數(shù)；(2）求條件概率。第五節(jié) 兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1設(shè)的聯(lián)合分布律為：X 01200.250.10.310.150.150.05求：（1）的分布律； （2）的分布律。2設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求的概率密度。3

12、. 設(shè)和相互獨立，其概率密度分別為，求的概率密度。4. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求的概率密度。第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望1設(shè)的分布律為：求（1）；（2）。2設(shè)的聯(lián)合分布律為：已知，求常數(shù)a,b之值。3. 設(shè)的概率密度為 其中，又已知，求，的值。4. 設(shè)的分布函數(shù)為，其中，求。5.設(shè)服從在上的均勻分布，其中為軸，軸及直線所圍成的區(qū)域，求。6. 國際市場每年對我國某種商品的需求量是一個隨機(jī)變量，它在2000,4000(單位：噸)上服從均勻分布，若每售出一噸，可得外匯3萬美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費1萬美元，問應(yīng)組織多少貨源，才能使期望收益最大。第二節(jié) 方差一、單項選擇題（1）對于任意兩個隨機(jī)變量和

13、，若，則（ ）。(A) (B) (C) 和獨立 (D) 和不獨立（2）設(shè)X，且，則=（ ）。 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0（3）設(shè)相互獨立且，則服從下列哪個分布（ ）。(A) (B) （C） (D) 二、填空題（1）已知，則 。（2）設(shè)，則 。（3）設(shè)，且與相互獨立，則 。（4）設(shè)的概率密度為，則 。（5）設(shè)隨機(jī)變量 相互獨立，其中,服從參數(shù)為=3的泊松分布，記，則 = 。（6）設(shè)，且，則 。（7）設(shè)，且，則 , 。（8）設(shè)，則由切比雪夫不等式知 。三、解答題1. 在每次試驗中，事件發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計：在1000次試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)在400600之

14、間的概率.2. 已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為又已知，求。3. 設(shè)的概率密度為, 求，。第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、單項選擇題（1）設(shè)與的相關(guān)系數(shù)，則（ ）。 (A) 與相互獨立 (B) 與不一定相關(guān) (C) 與必不相關(guān) (D) 與必相關(guān)（2）設(shè)與的期望和方差存在，且，則下列說法不正確的是（ ）。 (A) (B) (C) 與不相關(guān) (D) 與獨立（3）設(shè)是隨機(jī)變量，則“與不相關(guān)”是“與相互獨立”的（ ）。(A) 必要非充分條件 (B) 充分非必要條件 （C）充要條件 (D) 無關(guān)條件二、解答題1. 已知隨機(jī)變量與都服從二項分布(20，0.1)，并且與的相關(guān)系數(shù)=0.5，試求的方差及與的協(xié)方差。2.

15、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為：=，求： 常數(shù)； 及。第四節(jié) 矩 協(xié)方差矩陣 第五節(jié) 二維正態(tài)分布1.設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求階原點矩和三階中心矩。2. 已知隨機(jī)變量,且與的相關(guān)系數(shù)為.（1）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 ；（2）求隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)。第一節(jié) 大數(shù)定律 第二節(jié) 中心極限定理1. 設(shè)供電網(wǎng)有盞電燈，夜晚每盞電燈開燈的概率均為，并且彼此開閉與否相互獨立，試用切比雪夫不等式和中心極限定理分別估算夜晚同時開燈數(shù)在到之間的概率。2. 利用中心極限定理確定當(dāng)投擲一枚均勻硬幣時，需投擲多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在0.4到0.6之間的概率不小于90%。3. 一食品店有三種

16、蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機(jī)的，因而售出一只蛋糕的價格是一個隨機(jī)變量，它取1元, 1.2元, 1.5元各值的概率分別為0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，求收入至少為400元的概率。4. 由100個相互獨立起作用的部件組成的一個系統(tǒng)在運(yùn)行過程中，每個部件能正常工作的概率都為90% ，為了使整個系統(tǒng)能正常運(yùn)行，至少必須有85%的部件在正常工作，求整個系統(tǒng)能正常運(yùn)行的概率。第六章 樣本及抽樣分布一、填空題 （1）設(shè)為總體的一個樣本，且服從分布，則 。（2）設(shè)為總體的一個樣本，則 。（3）已知是取自的樣本，則 。二、設(shè)，是來自正態(tài)總體 的樣本,試求樣本方差的數(shù)學(xué)期望及方差。第一節(jié)

17、點估計 第二節(jié) 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)一、設(shè)總體X具有分布律 ： X123其中為未知參數(shù)，已知取得了樣本值 試求的矩估計值和極大似然估計值。二、設(shè)總體服從正態(tài)分布，是從此總體中抽取的一個樣本試驗證下面三個估計量： （1）， （2）， （3）都是的無偏估計，并指出哪一個估計量最有效。三、 設(shè)總體的概率密度為 ，是來自總體的樣本，分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量。第三節(jié) 區(qū)間估計 第四節(jié) 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1.某批鋼球的重量從中抽取了一個容量為的樣本且測得（單位:），試在置信度下，求出的置信區(qū)間.2. 設(shè)有一組來自正態(tài)總體的樣本觀測值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.48

18、8，0.510，0.510，0.515，0.512， 已知，求的置信區(qū)間； 未知，求的置信區(qū)間。（設(shè)置信度為0.95）3. 某廠生產(chǎn)一批金屬材料，其抗彎強(qiáng)度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從這批金屬材料中抽取11個測試件，測得它們的抗彎強(qiáng)度為（單位：）：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7求：抗彎強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.90的置信區(qū)間.第六節(jié) 單側(cè)置信區(qū)間1.從汽車輪胎廠生產(chǎn)的某種輪胎中抽取10個樣品進(jìn)行磨損試驗， 直至輪胎磨損到破壞為止，測得它們的行駛路程（）如下：41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400