信息技術(shù)在幾何概型中的有效運(yùn)用

1、信息技術(shù)在幾何概型中的有效運(yùn)用【摘要】 信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了深刻的影響；高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提倡，教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整合.幾何概型是新課標(biāo)新增加的概率內(nèi)容，本文利用幾何畫(huà)板引導(dǎo)學(xué)生探索幾何概率模型中事件的臨界狀態(tài)，展示了信息技術(shù)和臨界思想在幾何概型教學(xué)中的運(yùn)用.通過(guò)借助現(xiàn)代教育技術(shù)工具對(duì)事件的臨界狀態(tài)進(jìn)行分析，使學(xué)生能更快更直觀準(zhǔn)確的找出滿足事件的相關(guān)區(qū)域，進(jìn)而利用教材給出的關(guān)于幾何概型的計(jì)算方法，算出事件的概率；在加強(qiáng)學(xué)生解決相關(guān)問(wèn)題能力鍛煉的同時(shí)，滲透了信息技術(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的整合.【關(guān)鍵詞】 信息技術(shù)；幾何概型；區(qū)域；臨界思想.數(shù)學(xué)邏輯性強(qiáng)，是一門(mén)高度抽象的學(xué)科.

2、高中數(shù)學(xué)之所以比較難學(xué)，通常由于數(shù)學(xué)概念和定理當(dāng)中的數(shù)學(xué)符號(hào)比較抽象.由于學(xué)生學(xué)習(xí)受自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思維水平等因素的影響，在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往需要借助一些相對(duì)直觀的對(duì)象來(lái)掌握知識(shí)；現(xiàn)代信息技術(shù)能夠發(fā)揮其直觀、形象的特點(diǎn)，因此，將信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)進(jìn)行整合能展示出變化的過(guò)程與結(jié)果，讓學(xué)生直觀的觀察在改變過(guò)程中的變與不變的地方，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)為學(xué)生由形象思維升華到抽象思維打下基礎(chǔ)，能更有效的建構(gòu)自己的知識(shí)體系.用幾何概型概率公式計(jì)算概率問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，并對(duì)幾何區(qū)域進(jìn)行相應(yīng)的幾何度量.對(duì)于一些簡(jiǎn)單的、幾何區(qū)域明確的幾何概型問(wèn)題，學(xué)生比較容易接受，如教材中的轉(zhuǎn)盤(pán)問(wèn)題，

3、撒黃豆問(wèn)題（如下圖）這些問(wèn)題的幾何區(qū)域明確，區(qū)域的幾何度量也明確，學(xué)生只需要加以簡(jiǎn)單的運(yùn)算，即可利用公式算出所求事件的概率.但對(duì)于很多幾何概型的問(wèn)題，很多時(shí)候較難發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的構(gòu)成區(qū)域，需要我們自己去找出相應(yīng)的幾何區(qū)域，然后再選擇合適的幾何度量去對(duì)區(qū)域進(jìn)行度量；因此如何準(zhǔn)確的找出事件的幾何區(qū)域是解決幾何概型的重要突破口，這也是教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，下面筆者結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)，利用幾何畫(huà)板，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖象直觀的尋找滿足事件要求的幾何區(qū)域，幫助學(xué)生突破了這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，突破相關(guān)事件的臨界狀態(tài)，較快、較準(zhǔn)確的找出解題的規(guī)律.1 臨界思想臨界思想，是一種很常見(jiàn)的思想方法，無(wú)論是在理論研究還是在解決某

4、些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，都發(fā)揮著重要的作用.在處理很多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常都是先考慮等于某一特定值下的情況，或者說(shuō)是先尋找相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，因?yàn)橥谶@一相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)兩端，通常會(huì)出現(xiàn)狀態(tài)的分化，因此在考慮許多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以先突破這一臨界狀態(tài)，然后再根據(jù)這一臨界狀態(tài)去進(jìn)一步的解決相關(guān)的問(wèn)題，例如在處理線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，就經(jīng)常利用臨界思想來(lái)確定問(wèn)題的可行域.2 借助幾何畫(huà)板突破事件的臨界狀態(tài)下面，筆者將通過(guò)幾類問(wèn)題的例析，展示信息技術(shù)和臨界思想在處理幾何概型中的微妙之處.2.1 臨界狀態(tài)-點(diǎn)例1 （電話線問(wèn)題）：一條長(zhǎng)50米的電話線架于兩電線桿之間，其中一個(gè)桿子上裝有變壓器.在暴風(fēng)雨天氣中，電話線遭到雷擊的

5、點(diǎn)是隨機(jī)的.試求雷擊點(diǎn)距離變壓器不小于20米情況發(fā)生的概率？解析 如上圖將50米長(zhǎng)的電話線看成線段AB，那么雷擊的點(diǎn)可能為線段AB上的任何點(diǎn)，此時(shí)只需要找出剛好距離A點(diǎn)20米的臨界點(diǎn)-點(diǎn)C，在點(diǎn)C的兩端剛好出現(xiàn)兩種狀態(tài)，當(dāng)雷擊的點(diǎn)落在線段AC之間時(shí)，則雷擊點(diǎn)距離變壓器小于20米，當(dāng)雷擊的點(diǎn)落在線段CB之間時(shí)，則雷擊點(diǎn)距離變壓器不小于20米.因此，雷擊點(diǎn)距離變壓器不小于20米情況發(fā)生的概率為：.例2 在一個(gè)面積為的的邊上任取一點(diǎn)，求的面積大于的概率？ 解析 因?yàn)闉檫吷先我稽c(diǎn)，即取在邊上任一點(diǎn)的可能性是相等的，但邊上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，因此問(wèn)題屬于幾何概型的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于找出滿足事件的幾何

6、區(qū)域，即指滿足的面積大于的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域，這時(shí)可以先突破問(wèn)題的臨界狀態(tài)-即找出的面積等于的點(diǎn), 如下圖，結(jié)合幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示：根據(jù)三角形的知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn), 當(dāng)點(diǎn)剛好取到邊上的中點(diǎn)時(shí),的面積恰好等于,而在點(diǎn)的兩端,剛好出現(xiàn)兩種分化狀態(tài),當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),的面積小于,當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),的面積大于,于是,我們通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題臨界狀態(tài)的分析,得到滿足的面積大于的幾何區(qū)域?yàn)榫€段,因此的面積大于的概率為: .2.2 臨界狀態(tài)線例3 在一個(gè)面積為的內(nèi)任投一點(diǎn)，求的面積小于的概率？ 解析 為內(nèi)的任一點(diǎn)，內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，且落在任一點(diǎn)是隨機(jī)的；解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于找出滿足的面積小于的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域，這時(shí)我們

7、可以先突破問(wèn)題的臨界狀態(tài)即找出的面積恰好等于的點(diǎn), 如下圖，結(jié)合幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示：根據(jù)三角形中位線的性質(zhì), 引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn), 當(dāng)點(diǎn)落在的中位線上時(shí)，的面積等于，此時(shí)臨界狀態(tài)剛好是一條線段，在線段的上下兩端剛好出現(xiàn)了分化，當(dāng)點(diǎn)落在中位線上方區(qū)域內(nèi)時(shí)，的面積大于；當(dāng)點(diǎn)落在中位線下方區(qū)域梯形內(nèi)時(shí)，的面積小于.于是，我們得到滿足題目要求的幾何區(qū)域?yàn)樘菪蔚膬?nèi)部，因?yàn)椋?，所以的面積小于的概率為：.2.3 臨界狀態(tài)面例4 向體積為的三棱錐內(nèi)任投一點(diǎn)，求三棱錐的體積小于的概率？解析 因?yàn)闉槿忮F內(nèi)的任一點(diǎn)，而三棱錐內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，且落在任一點(diǎn)是隨機(jī)的；解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于找出滿足三棱錐的體積小于的點(diǎn)

8、所構(gòu)成的區(qū)域.這時(shí)我們可以先突破問(wèn)題的臨界狀態(tài)即找出三棱錐的體積等于的點(diǎn), 如下圖，結(jié)合幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示：分別取、和的中點(diǎn)、和,引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn), 當(dāng)點(diǎn)落在面上時(shí)，根據(jù)立體幾何的知識(shí)三棱錐的體積恰好等于，此時(shí)問(wèn)題的臨界狀態(tài)剛好是一個(gè)面，在面的上下兩端剛好出現(xiàn)了分化，當(dāng)點(diǎn)落在面上方區(qū)域三棱錐內(nèi)時(shí)，三棱錐的體積大于；當(dāng)點(diǎn)落在面下方區(qū)域三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)，三棱錐的體積小于；于是，我們得到滿足題目要求的幾何區(qū)域?yàn)槿馀_(tái)的內(nèi)部，因?yàn)?，所以，所以三棱錐的體積小于的概率為：.例5 已知正方體的棱長(zhǎng)為1, 在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn), 求使四棱錐的體積小于的概率？解析 因?yàn)辄c(diǎn)為正方體內(nèi)隨機(jī)一點(diǎn)，而正方體內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn).假設(shè)

9、點(diǎn)到面的距離為, 則由棱錐的體積計(jì)算公式得，由條件可知，要找出使四棱錐的體積小于的幾何區(qū)域，這時(shí)可以先突破一個(gè)臨界狀態(tài)，即先找出使得四棱錐的體積等于的點(diǎn)所構(gòu)成的集合，如下圖，結(jié)合幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示：引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)為正方體的中截面時(shí)，點(diǎn)到面的距離剛好等于正方體棱長(zhǎng)的一半，即，此時(shí)，而在中截面的上下兩端剛好出現(xiàn)兩種分化狀態(tài)，當(dāng)點(diǎn)落在中截面的上方區(qū)域長(zhǎng)方體內(nèi)時(shí)，四棱錐的體積大于；當(dāng)點(diǎn)落在中截面的上方區(qū)域長(zhǎng)方體內(nèi)時(shí)，四棱錐的體積小于.因此，四棱錐的體積小于的概率為：.通過(guò)以上幾種類型的例析，我們展示了信息技術(shù)和臨界思想在解決部分幾何概型問(wèn)題中的重要作用，結(jié)合幾何畫(huà)板使學(xué)生能較直觀形象地分析問(wèn)題并突破問(wèn)題的臨界狀態(tài)，然后通過(guò)臨界狀態(tài)周圍的分化情況來(lái)確定相關(guān)事件的幾何區(qū)域.幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，化難為簡(jiǎn)，獲得解題規(guī)律.既充分體現(xiàn)了現(xiàn)代信息技術(shù)與幾何概型問(wèn)題的有機(jī)整合，又顯示出臨界思想的魅力與數(shù)學(xué)美.【參考文獻(xiàn)】1人民教育出版社數(shù)學(xué)室編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修3 M .北京：人民教育出