解析幾何中的定值和定點(diǎn)問(wèn)題

1、解析幾何中的定值定點(diǎn)問(wèn)題（一）一、定點(diǎn)問(wèn)題【例1】已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切求橢圓C的方程；設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；在的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)解：由題意知，所以，即，又因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為，令，得，將代入整理，得 由得代入整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)1】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線與

2、軌跡交于不同的兩點(diǎn)和求軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過(guò)定點(diǎn)解：點(diǎn)到，的距離之和是，的軌跡是長(zhǎng)軸為，焦點(diǎn)在軸上焦中為的橢圓，其方程為 將，代入曲線的方程，整理得 ，因?yàn)橹本€與曲線交于不同的兩點(diǎn)和，所以 設(shè)，則， 且，顯然，曲線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，所以，由，得將、代入上式，整理得所以，即或經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件，當(dāng)時(shí)，直線的方程為顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與題意不符當(dāng)時(shí)，直線的方程為顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)，且不過(guò)點(diǎn)綜上，與的關(guān)系是：，且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M

3、、，其中m>0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）?！窘馕觥?本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組

4、，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）?！踞槍?duì)性練習(xí)3】已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，短軸長(zhǎng)為（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)解: （）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半

5、軸長(zhǎng)為，半焦距為，則 解得 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分（）由方程組 消去，得 6分由題意， 整理得： 7分設(shè)，則， 8分由已知， 且橢圓的右頂點(diǎn)為， 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均滿足 11分當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過(guò)定點(diǎn)，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過(guò)定點(diǎn)， 二、定值問(wèn)題【例2】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是6.()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；()若為焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：()設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為，

6、由已知得. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 離心率 (),設(shè)由得化簡(jiǎn)得，即故存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為 【例3】已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，P(2，0)為定點(diǎn)()若點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；()若動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)P，且圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B是圓M與軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由解：() 設(shè)拋物線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由已知，即，故拋物線C的方程是 ()設(shè)圓心()，點(diǎn)A，B. 因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)P(2，0)，則可設(shè)圓M的方程為. 令，得.則，. 所以. ，設(shè)拋物線C的方程為，因?yàn)閳A心M在拋物

7、線C上，則. 所以. 由此可得，當(dāng)時(shí)，為定值故存在一條拋物線，使|AB|為定值4. 解析幾何中的定值定點(diǎn)問(wèn)題（二）1、已知橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。解法一：（）設(shè)橢圓的方程為。1分，。4分橢圓的方程為。5分（）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分,若，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則。9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)

8、由得10，即與重合，這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分解法二：（）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。解法三：（）由得即。記，則。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分2、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為 （）求橢圓的方程；

9、（）過(guò)點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得：。2分橢圓E的方程為。3分（）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則：。5分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則由得7分所以9分對(duì)于任意的值，為定值，所以，得，所以；11分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線由得綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為13分法二：假設(shè)存在點(diǎn)，又設(shè)則：=.5分當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得7分9分設(shè)則11分當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線，由得：綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為。13分3、已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)

10、頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)。 （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍； （）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解法一： （I）設(shè)橢圓方程為，由題意知故橢圓方程為 （）由（I）得，所以，設(shè)的方程為（）代入，得 設(shè)則,由，當(dāng)時(shí)，有成立。（）在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。依題意知，直線BC的方程為， 令，則的方程為、在直線上，在軸上存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線。解法二：（）由（I）得，所以。設(shè)的方程為 代入，得設(shè)則 當(dāng)時(shí)，有成立。 （）在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。 設(shè)存在使得、三點(diǎn)共線，則， ， 即 ，存在，使得三點(diǎn)共線。4、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G