中考綜合復(fù)習(xí)專題講座（等積變換）

1、等 積 變 換天門市石河中學(xué)天門市石河中學(xué) 談平忠談平忠等積變換的基本原理：等底等高等底等高的兩個三角形面積相等。不等底但等高不等底但等高的兩個三角形面積的比等于底邊的比等底但不等高等底但不等高的兩個三角形面積的比等于高的比等積變換的基本圖形等積變換的基本圖形一一. .用等積變換作圖用等積變換作圖v根據(jù)等積關(guān)系，可以使某些作圖題較快地得到解答。例1.用三種方法把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形。 v例例2.如圖如圖 ABC，過，過A點(diǎn)的中線能把三角形點(diǎn)的中線能把三角形分成面積相同的兩部分。你能過分成面積相同的兩部分。你能過AB邊上一點(diǎn)邊上一點(diǎn)E作一條直線作一條直線EF，使它也將這個三角形

2、分成，使它也將這個三角形分成兩個面積相等的部分嗎？兩個面積相等的部分嗎？A AB BC CE E過梯形中位線中點(diǎn)且與上下底相交的任意直線（西城（西城08一模）如圖，梯形紙片一模）如圖，梯形紙片ABCD中，中，ADBC且且ABDC.設(shè)設(shè)AD=a,BC=b.過過AD中點(diǎn)中點(diǎn)和和BC的中點(diǎn)的直線可將梯形紙片的中點(diǎn)的直線可將梯形紙片ABCD面積面積分成面積相等的兩部分分成面積相等的兩部分.請你再設(shè)計一種方法請你再設(shè)計一種方法: 只須用剪子剪一次將梯形紙片只須用剪子剪一次將梯形紙片ABCD分割成分割成面積相等的二部分，畫出設(shè)計的圖形并簡要面積相等的二部分，畫出設(shè)計的圖形并簡要說明你的分割方法說明你的分割

3、方法.ABCD 例例3.有一塊形狀如圖的耕地，兄弟二人要把它分有一塊形狀如圖的耕地，兄弟二人要把它分成兩等份，請你設(shè)計一種方案把它分成所需要的成兩等份，請你設(shè)計一種方案把它分成所需要的份數(shù)如果只允許引一條直線，你能辦到嗎？份數(shù)如果只允許引一條直線，你能辦到嗎？ A B C D例4有一塊形狀如圖的耕地，兄弟四人要把它分成四等份，請你設(shè)計一種方案把它分成所需要的份數(shù)ABCDEEFMHPABCDG二二. .用等積變換比大小用等積變換比大小v比較兩個圖形的面積大小，常常以求一個圖形的面積占另一個圖形面積的幾分之幾的形式出現(xiàn)。v例1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)。求AEF是

4、平行四邊形的幾分之幾？所有空白部分占整個平行四所有空白部分占整個平行四邊形面積的分?jǐn)?shù)求出來了邊形面積的分?jǐn)?shù)求出來了, ,于是陰影部分于是陰影部分AEFAEF的面積的面積所占的分?jǐn)?shù)便是所占的分?jǐn)?shù)便是例例2.如圖任意如圖任意ABCD.求四邊形求四邊形EFGH與與ABCD面積之比面積之比.v連結(jié)E、D和B、D， 用等積變換求圖形的面積，是常用的技巧之一。它能使分散的圖形集中，使生疏、麻煩的題目轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的題目。 三三. .用等積變換求面積用等積變換求面積例1如圖這是個直角梯形。求陰影部分的面積 這道題可以直接解答，也可以把兩這道題可以直接解答，也可以把兩個陰影部分集中，連結(jié)個陰影部分集中，連結(jié)

5、ACAC，因為，因為ABAB平行于平行于DCDC，所以，所以DAEDAE的面積的面積= =CAECAE的面積，兩個陰影部分的面積就換的面積，兩個陰影部分的面積就換成一個成一個 CAB CAB的面積了。的面積了。例例2如圖，已知，正方形如圖，已知，正方形ABCD的邊長是的邊長是a，正，正方形方形CEFG 的邊長為的邊長為b，且點(diǎn)，且點(diǎn)B、C、E在一條在一條直線上直線上.連結(jié)連結(jié)AG、GE、AE，求，求AGES G F E C B A Dv例例3.如圖，在四邊形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)。如果四邊形ABCD的面積是20，那么BNDM的面積是多少？MDNCBA兩個白色的四邊形兩個白色

6、的四邊形ANCQANCQ、BPDMBPDM的面積的面積相等，故有相等，故有y=xy=x例5四邊形ABCD,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知ABD+BDC=90度,求ABCD的面積 如下圖,以BD的垂直平分線為對稱軸L,做ABD關(guān)于L的對稱圖形BD.連接C 如圖,在三角形ABD中,當(dāng)AB和CD的長度相等時,請求出“?”所示的角是多少度,給出過程 因為AB=CD,于是可以將三角形ABC的邊BA邊與CD對齊,如圖 圖中有ECA=110度,所以CED=110度.易證CDA=40度.四四. . 用等積變換證題用等積變換證題v如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC的邊上任意一點(diǎn)，DE

7、AB，DFAC，CG是AB邊上的高。證明：CG=DEDF。已知：如圖，以矩形已知：如圖，以矩形ABCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A為頂點(diǎn)，為頂點(diǎn)，以以AD為角平分線作兩射線，分別與為角平分線作兩射線，分別與BC與與CD的的延長線交于點(diǎn)延長線交于點(diǎn)E和和F，連結(jié)，連結(jié)EF。求證：求證：.ABCDAEFSS矩矩形形 F B C A D E又如四中這次提招中有這么一道題, ABC,D為BC中點(diǎn)過點(diǎn)D向AB,AC作垂線.BE=2,CF=1,EF/BC.求EFv連A,D.由等積關(guān)系易知DF=2DEv設(shè)DE=x,則DF=2xv由勾股定理易得vX=1v從而得到EF的v平方為5,算出EF.已知矩形已知矩形ABCD和點(diǎn)和點(diǎn)P

8、，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圖在圖1中的位置時，則中的位置時，則有結(jié)論：有結(jié)論： 。 理由：過點(diǎn)理由：過點(diǎn)P作作EF垂直垂直BC，分別交，分別交AD、BC于于E、FPBCPACPCDSSS當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P分別在圖分別在圖2、圖、圖3中的位置時，上面三中的位置時，上面三個三角形的面積又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫個三角形的面積又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對上述兩種情況的猜想，并選擇其中一出你對上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明種情況的猜想給予證明（麗水（麗水08）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（2，4），直線），直線X=2與與X軸相交于點(diǎn)軸相交于點(diǎn)B

9、，連結(jié)，連結(jié)OA，拋物線，拋物線Y=X2從點(diǎn)從點(diǎn)O沿沿OA方向平移，與直線方向平移，與直線X=2交于交于P點(diǎn)，頂點(diǎn)點(diǎn)，頂點(diǎn)M到點(diǎn)到點(diǎn)A時停止移時停止移動動 （1）求線段）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；所在直線的函數(shù)解析式；v（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)）設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為m,v 用用m的代數(shù)式表示點(diǎn)的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；v 當(dāng)當(dāng)m為何值時，線段為何值時，線段PB最短；最短；v（3）當(dāng)線段）當(dāng)線段PB最短時，相應(yīng)的拋物線最短時，相應(yīng)的拋物線v上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)Q，使，使 PMA 的面積與的面積與vQMA的面積相等，若存在，請求出的面積相等，若存在，請求出v點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由五五. .用等積變換來分割拼圖用等積變換來分割拼圖v直角三角形通過怎樣的剪切可以拼成一個與之面積相等的矩形 ？任意的三角形呢？v