備戰(zhàn)2019中考初中數(shù)學專題復習八講：備戰(zhàn)2019中考初中數(shù)學專題復習：專題7動點問題探究一

1、專題7動點問題探究一【專題解析】動點問題研究的是在幾何圖形的運動中，一些圖形位置、數(shù)量關系的“變”與“不變”的問題.常用的數(shù)學思想是方程思想、數(shù)學建模思想、函數(shù)思想、轉化思想等；常用的數(shù)學方法有：分類討論法、數(shù)形結合法等.解答動點問題的題目要學會“動中找靜”，即把動點問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解決，尋找動點問題中的特殊情況.(1)等腰三角形的存在性問題如果問題中ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況.已知腰長，畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓；已知底邊，用刻度尺、圓規(guī)畫垂直平分線.解等腰三角形的存在性問題，有幾何法與代數(shù)法，把幾何法與代數(shù)法相結合，可以使得解題又快又好.幾何法一般分三步

2、：分類、畫圖、計算；代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長、分類列方程、解方程并檢驗.(2)直角三角形的存在性問題解決直角三角形的存在性問題，一般分三個步驟：第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根.一般情況下，按照直角三角形直角頂點或者斜邊分類，然后按照勾股定理或三角函數(shù)列方程；在平面直角坐標系中，常常利用兩點間的距離公式列方程；有時候根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡捷.(3)平行四邊形的存在性問題解決平行四邊形的存在性問題一般分三個步驟：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算.難點在于尋找分類標準.尋找恰當?shù)姆诸悩藴?，可以使得解的個數(shù)不重復不遺漏，也可以使計算又好

3、又快.如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3點：以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交產(chǎn)生三個頂點；如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或角分為兩種情況.靈活應用中心對稱的性質，可以使得解題簡便.【專題剖析】類型一：等腰三角形的存在性問題【例題】（2018重慶）（12.00分）拋物線y=x2x+與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）如圖1，連接CD，求線段CD的長；（2）如圖2，點P是直線AC上方拋物線上一點，PFx軸于點F，PF與線段AC交于點E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對

4、應線段是O1B1，當PE+EC的值最大時，求四邊形PO1B1C周長的最小值，并求出對應的點O1的坐標；（3）如圖3，點H是線段AB的中點，連接CH，將OBC沿直線CH翻折至O2B2C的位置，再將O2B2C繞點B2旋轉一周在旋轉過程中，點O2，C的對應點分別是點O3，C1，直線O3C1分別與直線AC，x軸交于點M，N那么，在O2B2C的整個旋轉過程中，是否存在恰當?shù)奈恢?，使AMN是以MN為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長；若不存在，請說明理由【分析】（1）分別表示C和D的坐標，利用勾股定理可得CD的長；（2）令y=0，可求得A（3，0），B（，0），利用待定系數(shù)法可

5、計算直線AC的解析式為：y=，設E（x，），P（x，x2x+），表示PE的長，利用勾股定理計算AC的長，發(fā)現(xiàn)CAO=30，得AE=2EF=，計算PE+EC，利用配方法可得當PE+EC的值最大時，x=2，此時P（2，），確定要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，將點P向右平移個單位長度得點P1（，），連接P1B1，則PO1=P1B1，再作點P1關于x軸的對稱點P2（，），可得結論；（3）先確定對折后O2C落在AC上，AMN是以MN為腰的等腰三角形存在四種情況：如圖4，AN=MN，證明C1ECB2O2M，可計算O2M的長；如圖5，AM=MN，此時M與C重合，O2M=O2C=；

6、如圖6，AM=MN，N和H、C1重合，可得結論；如圖7，AN=MN，過C1作C1EAC于E證明四邊形C1EO2B2是矩形，根據(jù)O2M=EO2+EM可得結論【解答】解：（1）如圖1，過點D作DKy軸于K，當x=0時，y=，C（0，），y=x2x+=（x+）2+，D（，），DK=，CK=，CD=；（4分）（2）在y=x2x+中，令y=0，則x2x+=0，解得：x1=3，x2=，A（3，0），B（，0），C（0，），易得直線AC的解析式為：y=，設E（x，），P（x，x2x+），PF=x2x+，EF=，RtACO中，AO=3，OC=，AC=2，CAO=30，AE=2EF=，PE+EC=（x2x+）（

7、x+）+（ACAE），=x+2（），=xx，=（x+2）2+，（5分）當PE+EC的值最大時，x=2，此時P（2，），（6分）PC=2，O1B1=OB=，要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，如圖2，將點P向右平移個單位長度得點P1（，），連接P1B1，則PO1=P1B1，再作點P1關于x軸的對稱點P2（，），則P1B1=P2B1，PO1+B1C=P2B1+B1C，連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1，B1（，0），將B1向左平移個單位長度即得點O1，此時PO1+B1C=P2C=，對應的點O1的坐標為（，0），（7分）四邊形PO1B1C周長的最小值

8、為+3；（8分）（3）O2M的長度為或或2+或2（12分）理由是：如圖3，H是AB的中點，OH=，OC=，CH=BC=2，HCO=BCO=30，ACO=60，將CO沿CH對折后落在直線AC上，即O2在AC上，B2CA=CAB=30，B2CAB，B2（2，），如圖4，AN=MN，MAN=AMN=30=O2B2O3，由旋轉得：CB2C1=O2B2O3=30，B2C=B2C1，B2CC1=B2C1C=75，過C1作C1EB2C于E，B2C=B2C1=2，=B2O2，B2E=，O2MB2=B2MO3=75=B2CC1，B2O2M=C1EC=90，C1ECB2O2M，O2M=CE=B2CB2E=2；如圖

9、5，AM=MN，此時M與C重合，O2M=O2C=，如圖6，AM=MN，B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，CAO=AHM=MHO2=30，O2M=AO2=；如圖7，AN=MN，過C1作C1EAC于E，NMA=NAM=30，O3C1B2=30=O3MA，C1B2AC，C1B2O2=AO2B2=90，C1EC=90，四邊形C1EO2B2是矩形，EO2=C1B2=2，EM=，O2M=EO2+EM=2+，綜上所述，O2M的長是或或2+或2【方法總結】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、軸對稱變換、勾股定理、等腰三角形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建軸對稱解

10、決最值問題，對于第3問等腰三角形的判定要注意利用數(shù)形結合的思想，屬于中考壓軸題類型二：直角三角形的存在性問題【例題】（2018山東煙臺）（14分）如圖1，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（4，0），B（1，0）兩點，過點B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點C，D（1）求直線和拋物線的表達式；（2）動點P從點O出發(fā)，在x軸的負半軸上以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間為t秒，當t為何值時，PDC為直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的t的值；（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，在直線EF上是否存在

11、點N，使DM+MN的值最??？若存在，求出其最小值及點M，N的坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）先求得點D的坐標，過點D分別作DEx軸、DFy軸，分P1DP1C、P2DDC、P3CDC三種情況，利用相似三角形的性質逐一求解可得；（3）通過作對稱點，將折線轉化成兩點間距離，應用兩點之間線段最短【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得，解得：，拋物線解析式為：y=，過點B的直線y=kx+，代入（1，0），得：k=，BD解析式為y=；（2）由得交點坐標為D（5，4），如圖1，過D作DEx軸于點E，作DFy軸于點F，當P1DP1C時，

12、P1DC為直角三角形，則DEP1P1OC，=，即=，解得t=，當P2DDC于點D時，P2DC為直角三角形由P2DBDEB得=，即=，解得：t=；當P3CDC時，DFCCOP3，=，即=，解得：t=，t的值為、（3）由已知直線EF解析式為：y=x，在拋物線上取點D的對稱點D，過點D作DNEF于點N，交拋物線對稱軸于點M過點N作NHDD于點H，此時，DM+MN=DN最小則EOFNHD設點N坐標為（a，），=，即=，解得：a=2，則N點坐標為（2，2），求得直線ND的解析式為y=x+1，當x=時，y=，M點坐標為（，），此時，DM+MN的值最小為=2【方法總結】本題是二次函數(shù)和幾何問題綜合題，應用了

13、二次函數(shù)性質以及轉化的數(shù)學思想、分類討論思想解題時注意數(shù)形結合類型三：平行四邊形的存在性問題【例題】（2018年山東省威海市）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸交于點A（4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，4），線段BC的中垂線與對稱軸l交于點D，與x軸交于點F，與BC交于點E，對稱軸l與x軸交于點H（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求點D的坐標；（3）點P為x軸上一點，P與直線BC相切于點Q，與直線DE相切于點R求點P的坐標；（4）點M為x軸上方拋物線上的點，在對稱軸l上是否存在一點N，使得以點D，P，MN為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，則直接寫出N點坐標；若不存在，

14、請說明理由【分析】（1）利用待定系數(shù)法問題可解；（2）依據(jù)垂直平分線性質，利用勾股定理構造方程；（3）由題意畫示意圖可以發(fā)現(xiàn)由兩種可能性，確定方案后利用銳角三角函數(shù)定義構造方程，求出半徑及點P坐標；（4）通過分類討論畫出可能圖形，注意利用平行四邊形的性質，同一對角線上的兩個端點到另一對角線距離相等 【解答】解：（1）拋物線過點A（4，0），B（2，0）設拋物線表達式為：y=a（x+4）（x2）把C（0，4）帶入得4=a（0+4）（02）a=拋物線表達式為：y=（x+4）（x2）=x2x+4（2）由（1）拋物線對稱軸為直線x=1線段BC的中垂線與對稱軸l交于點D點D在對稱軸上設點D坐標為（1，m

15、）過點C做CGl于G，連DC，DB來DC=DB在RtDCG和RtDBH中DC2=12+（4m）2，DB2=m2+（2+1）212+（4m）2=m2+（2+1）2解得：m=1點D坐標為（1，1）（3）點B坐標為（2，0），C點坐標為（0，4）BC=EF為BC中垂線BE=在RtBEF和RtBOC中，cosCBF=BF=5，EF=，OF=3設P的半徑為r，P與直線BC和EF都相切如圖：當圓心P1在直線BC左側時，連P1Q1，P1R1，則P1Q1=P1R1=r1P1Q1E=P1R1E=R1EQ1=90四邊形P1Q1ER1是正方形ER1=P1Q1=r1在RtBEF和RtFR1P1中tan1=r1=sin

16、1=FP1=，OP1=點P1坐標為（，0）同理，當圓心P2在直線BC右側時，可求r2=，OP2=7P2坐標為（7，0）點P坐標為（，0）或（7，0）（4）存在當點P坐標為（，0）時，若DN和MP為平行四邊形對邊，則有DN=MP當x=時，y=DN=MP=點N坐標為（1，）若MN、DP為平行四邊形對邊時，M、P點到ND距離相等則點M橫坐標為則M縱坐標為由平行四邊形中心對稱性可知，點M到N的垂直距離等于點P到點D的垂直距離當點N在D點上方時，點N縱坐標為此時點N坐標為（1，）當點N在x軸下方時，點N坐標為（1，）當點P坐標為（7，0）時，所求N點不存在故答案為：（1，）、（1，）、（1，）【方法總結

17、】本題綜合考查二次函數(shù)、圓和平行四邊形存在性的判定等相關知識，應用了數(shù)形結合思想和分類討論的數(shù)學思想【真題訓練】1. （2018山東棗莊）（10分）如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c（a0）的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC（1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式；（2）判斷ABC的形狀，并說明理由；（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標；（4）如圖2，若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NMAC，交AB于點M，當AMN面積最大時，求此時點N的坐標2.（20

18、18瀘州）如圖11，已知二次函數(shù)y=ax2（2a）x+3的圖象經(jīng)過點A（4，0），與y軸交于點B在x軸上有一動點C（m，0）（0m4），過點C作x軸的垂線交直線AB于點E，交該二次函數(shù)圖象于點D（1）求a的值和直線AB的解析式；（2）過點D作DFAB于點F，設ACE，DEF的面積分別為S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）點H是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限的動點，點G是線段AB上的動點，當四邊形DEGH是平行四邊形，且DEGH周長取最大值時，求點G的坐標3.（2018內蒙古通遼）如圖，拋物線y=ax2+bx5與坐標軸交于A（1，0），B（5，0），C（0，5）三點，頂點為D（1）請直接寫

19、出拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）連接BC與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點（點P不與B、C兩點重合），過點P作PFDE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m是否存在點P，使四邊形PEDF為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由過點F作FHBC于點H，求PFH周長的最大值4.（2018內江）如圖，已知拋物線y=ax2+bx3與x軸交于點A（3，0）和點B（1，0），交y軸于點C，過點C作CDx軸，交拋物線于點D（1）求拋物線的解析式；（2）若直線y=m（3m0）與線段AD、BD分別交于G、H兩點，過G點作EGx軸于點E，過點H作HFx軸于點F，求矩形GEFH的

20、最大面積；（3）若直線y=kx+1將四邊形ABCD分成左、右兩個部分，面積分別為S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值【參考答案】1. （2018山東棗莊）（10分）如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c（a0）的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC（1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式；（2）判斷ABC的形狀，并說明理由；（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標；（4）如圖2，若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NMAC，交AB于點M，當AMN面積最大時，求此

21、時點N的坐標【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標，然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得ABC是直角三角形（3）分別以A、C兩點為圓心，AC長為半徑畫弧，與x軸交于三個點，由AC的垂直平分線與x軸交于一個點，即可求得點N的坐標；（4）設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，過M點作MDx軸于點D，根據(jù)三角形相似對應邊成比例求得MD=（n+2），然后根據(jù)SAMN=SABNSBMN得出關于n的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得即可【解答】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x

22、軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），解得拋物線表達式：y=x2+x+4；（2）ABC是直角三角形令y=0，則x2+x+4=0，解得x1=8，x2=2，點B的坐標為（2，0），由已知可得，在RtABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在RtAOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又BC=OB+OC=2+8=10，在ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2ABC是直角三角形（3）A（0，4），C（8，0），AC=4，以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（8，0），以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（84，0）或（8+4，

23、0）作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時N的坐標為（3，0），綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為（8，0）、（84，0）、（3，0）、（8+4，0）（4）如圖，設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，過M點作MDx軸于點D，MDOA，BMDBAO，=，MNAC=，=，OA=4，BC=10，BN=n+2MD=（n+2），SAMN=SABNSBMN=BNOABNMD=（n+2）4（n+2）2=（n3）2+5，當n=3時，AMN面積最大是5，N點坐標為（3，0）當AMN面積最大時，N點坐標為（3，0）【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，解（1）的關

24、鍵是待定系數(shù)法求解析式，解（2）的關鍵是勾股定理和逆定理，解（3）的關鍵是等腰三角形的性質，解（4）的關鍵是三角形相似的判定和性質以及函數(shù)的最值等2.（2018瀘州）如圖11，已知二次函數(shù)y=ax2（2a）x+3的圖象經(jīng)過點A（4，0），與y軸交于點B在x軸上有一動點C（m，0）（0m4），過點C作x軸的垂線交直線AB于點E，交該二次函數(shù)圖象于點D（1）求a的值和直線AB的解析式；（2）過點D作DFAB于點F，設ACE，DEF的面積分別為S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）點H是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限的動點，點G是線段AB上的動點，當四邊形DEGH是平行四邊形，且DEGH周長取最

25、大值時，求點G的坐標【分析】（1）把點A坐標代入y=ax2（2a）x+3可求a，應用待定系數(shù)法可求直線AB的解析式；（2）用m表示DE、AC，易證DEFAEC，S1=4S2，得到DE與AE的數(shù)量關系可以構造方程；（3）用n表示GH，由平行四邊形性質DE=GH，可得m，n之間數(shù)量關系，利用相似用GM表示EG，表示DEGH周長，利用函數(shù)性質求出周長最大時的m值，可得n值，進而求G點坐標【解答】解：（1）把點A（4，0）代入，得0=a42（2a）4+3解得a=函數(shù)解析式為：y=設直線AB解析式為y=kx+b把A（4，0），B（0，3）代入解得直線AB解析式為：y=（2）由已知，點D坐標為（m，）點E

26、坐標為（m，）AC=4mDE=（）（）=BCy軸AE=DFA=DCA=90，F(xiàn)BD=CEADEFAECS1=4S2AE=2DE解得m1=，m2=4（舍去）故m值為（3）如圖，過點G做GMDC于點M由（2）DE=同理HG=四邊形DEGH是平行四邊形=整理得：（nm）=0mnm+n=4，即n=4mMG=nm=42m由已知EMGBOAEG=DEGH周長L=2+=a=0m=時，L最大n=4=G點坐標為（，），此時點E坐標為（，）當點G、E位置對調時，依然滿足條件點G坐標為（，）或（，）【點評】本題以二次函數(shù)圖象為背景，綜合考查三角形相似、平行四邊形性質、二次函數(shù)最值討論以轉化的數(shù)學思想3.（2018內

27、蒙古通遼）如圖，拋物線y=ax2+bx5與坐標軸交于A（1，0），B（5，0），C（0，5）三點，頂點為D（1）請直接寫出拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）連接BC與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點（點P不與B、C兩點重合），過點P作PFDE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m是否存在點P，使四邊形PEDF為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由過點F作FHBC于點H，求PFH周長的最大值【分析】（1）應用待定系數(shù)法；（2）求出直線BC解析式，表示PF當PF=DE時，平行四邊形存在利用PFHBCO，應用相似三角形性質表示PFH周長，應用函數(shù)性質討論最值【解答】解：（1）把A（1，0），B（5，0）代入拋物線y=ax2+bx5解得y=x24x5頂點坐標為D（2，9）（2）存在設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b（k0）把B（5，0），C（0，5）代入得BC解析式為y=x5當x=m時，y=m5P（m，m5）當x=2時，y=25=3E（23）PFDEy軸點F的橫坐標為m當x=m時，y=m24m5F（m，m24m5）PF=（m5）（m24m5）=m2+5mE（2，3），D（2，9）DE=3（9）=6如圖，連接DFPFDE當PF=DE時，四邊形PEDF為平行四邊形即m2+5m=6解得m1=3，m2=2（舍去）當m=3時，y=35=2此時