向量組與線性方程組

1、一. 本章的基本要求與重點(diǎn)、難點(diǎn)熟練掌握向量的線性組合、線性表示，深刻理解向量組的線性相關(guān)性的概念，掌握向量組的線性相關(guān)性的判定方法、最大無(wú)關(guān)組及秩的性質(zhì). 熟練掌握齊次及非齊次線性方程組的求解方法. 理解基礎(chǔ)解系的概念. 牢記解的結(jié)構(gòu)及解的存在性判定定理.重點(diǎn)：線性相關(guān)性的判定; 方程組的求解.難點(diǎn)：線性相關(guān)性與向量空間的概念; 通解的建立過(guò)程.二. 本章重要定義、性質(zhì)、定理及注釋1. 向量間的線性關(guān)系（1）線性組合：對(duì)于給定的向量，如果存在一組數(shù)使關(guān)系式 成立，則稱向量是向量組的一個(gè)線性組合，或稱向量可由向量組線性表示. 由矩陣的運(yùn)算知：非齊次線性方程組是否有解，相當(dāng)于向量是否可由矩陣的列

2、向量組線性表示. 注意：任何一個(gè)維向量都可由維基本單位向量組（階單位矩陣的個(gè)行向量）線性表示，且：.（2）線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)：設(shè)是一組維向量，如果存在一組不全為零的數(shù)，使 成立，則稱向量組線性相關(guān)；如果上式僅當(dāng)時(shí)成立，則稱向量組線性無(wú)關(guān). 齊次線性方程組是否有非零解，相當(dāng)于的列向量組是否線性相關(guān).幾個(gè)常用結(jié)論： 單個(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)的； 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)； 基本單位向量組一定線性無(wú)關(guān)； 兩個(gè)向量組成的向量組線性相關(guān)的充要條件是：對(duì)應(yīng)元素成比例.2. 向量組的秩和矩陣的秩（1）極（最）大線性無(wú)關(guān)組：設(shè)是一個(gè)維向量組，如果向量組中有個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，且向量組中任何個(gè)向量線性相關(guān)，則這

3、個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量就稱為向量組的一個(gè)極（最）大線性無(wú)關(guān)組.相關(guān)結(jié)論：若是向量組的線性無(wú)關(guān)部分組，則它是極大線性無(wú)關(guān)組的充要條件是：向量組中每一個(gè)向量都可由線性表示.若向量組線性無(wú)關(guān)，則自身就是極大線性無(wú)關(guān)組. （2）向量組的等價(jià)性：設(shè)有向量組（A）：和向量組（B）：，如果向量組（A）的每個(gè)向量都可由向量組（B）線性表示，則稱向量組（A）可由向量組（B）線性表示.如果向量組（A）和向量組（B）可以相互線性表示，則稱向量組（A）和（B）等價(jià). 向量組的等價(jià)具有：反身性、對(duì)稱性、傳遞性. 幾個(gè)常用結(jié)論： 任一向量組和它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)； 向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)； 兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量

4、組所含的向量個(gè)數(shù)相同； 向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同. （3）向量組的秩：向量組的任一極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)稱為該向量組的秩.記為： 秩（），或.若向量組只含零向量，則規(guī)定它的秩為零. （4）矩陣的秩：設(shè)，則有矩陣的行向量組的秩和列向量組的秩相等. 矩陣的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣 ，或.幾個(gè)常用結(jié)論： 對(duì)于矩陣，有：當(dāng)時(shí)，的行向量組線性無(wú)關(guān)，此時(shí)稱行滿秩；當(dāng)時(shí)，的列向量組線性無(wú)關(guān)，此時(shí)稱列滿秩； 矩陣的初等行（列）變換不改變矩陣的秩，且不改變其列（行）向量間的線性關(guān)系； 求向量組的秩可轉(zhuǎn)化為求矩陣行（列）向量組的秩，可用初等變換求秩；3. 重要定理與公式定理1、向量組線性

5、相關(guān)的充分必要條件為：向量組中至少有一向量可由其余的個(gè)向量線性表示. 定理2、若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，則可由向量組線性表示，且表示法唯一. 定理3、若線性相關(guān)，則線性相關(guān). 定理4、若線性無(wú)關(guān)，則無(wú)論如何擴(kuò)充向量組各向量的分量，所得的向量組仍線性無(wú)關(guān). 定理5、若向量組中向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)，則向量組線性相關(guān).定理6、個(gè)維向量線性無(wú)關(guān)的充分必要條件為：由向量組構(gòu)成的矩陣的行列式不等于零.定理7、矩陣的秩等于矩陣行（列）向量組的秩.定理8、向量組的任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組與向量組本身是等價(jià)的.定理9、兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等.定理10、兩個(gè)等價(jià)的向量組具有相同的秩.定理11、設(shè)有

6、兩個(gè)向量組；，若向量組可由向量組線性表示，線性無(wú)關(guān)，則. 定理12 、若維向量是一組兩兩正交的非零向量，則線性無(wú)關(guān). 4. 線性方程組解的判定（1）齊次線性方程組：該方程組一定有解（至少有零解）， 當(dāng) 時(shí)，有唯一解（只有零解）；當(dāng) 時(shí)，有非零解，且有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.（2）非齊次線性方程組：當(dāng) 時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng) 時(shí)，方程組有解. 并當(dāng)時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解；5. 兩類方程組解的關(guān)系：有唯一解 只有零解；有無(wú)窮多解有非零解；6. 線性方程組解的性質(zhì)（1）如果是的解，則也是的解；（2）如果是的解，則對(duì)于任意常數(shù)，也是的解；由（1）、（2）知：的所有解向量組成的維向量集合構(gòu)成一個(gè)向量空間

7、，稱為方程組的解空間，記為.（3）如果是的一個(gè)解，是的一個(gè)解，則是的解；（4）如果是的兩個(gè)解，則是的解；（5）如果是的個(gè)解，常數(shù)，滿足：，則仍是的解；7. 線性方程組解的結(jié)構(gòu)（1）齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：若是的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，而的任何一個(gè)解均可表示為的線性組合，則稱為的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 即：方程組的基礎(chǔ)解系就是方程組的解空間的基. 方程組解空間的基就稱為方程組的基礎(chǔ)解系. 若，則的基礎(chǔ)解系包含個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即：方程組解空間的維數(shù)為：.若為的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的通解為：， 其中：為任意常數(shù).注：的基礎(chǔ)解系的求法，通過(guò)例題說(shuō)明. （2）非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：非齊次線性方程組有解時(shí)，其任意一個(gè)解

8、，均可表示為的一個(gè)特解與的某個(gè)解之和. 當(dāng)非齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，它的通解可表示為：. 其中為的一個(gè)特解，為任意常數(shù)，為的一個(gè)基礎(chǔ)解系.三. 題型分析題型1 向量組線性相關(guān)性的判定解題思路(1) 利用定義判別: 這是判別向量組線性相關(guān)性的基本方法, 既適用于分量沒(méi)有具體給出的抽象向量組, 又適用于分量已具體給出的向量組.(2) 利用矩陣的秩判別: 設(shè)有個(gè)維列向量,記, 則可用矩陣的秩判別向量組的線性相關(guān)性. 當(dāng)時(shí), 向量組線性無(wú)關(guān); 當(dāng)時(shí),向量組線性相關(guān).(3) 利用行列式判別: 設(shè)有個(gè)維列向量, 記, 為方陣, 則可用的行列式值判別向量組的線性相關(guān)性. 當(dāng)時(shí), 向量組線性無(wú)關(guān); 當(dāng)時(shí)

9、,向量組線性相關(guān). (4) 轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的解向量進(jìn)行判別: 若為的解向量, 且向量的個(gè)數(shù)大于基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù), 則此向量組線性相關(guān).設(shè),（1）問(wèn)為何值時(shí), 線性無(wú)關(guān)？（2）為何值時(shí), 線性相關(guān)？（3）當(dāng) 線性相關(guān)時(shí), 將 表示為 的線性組合. 解（法一）設(shè)有使 即 ： ，該方程組的系數(shù)行列式（1）即：時(shí)，方程組有非零解， 故 線性相關(guān).（2） 即：時(shí)，方程組只有零解， 故 線性無(wú)關(guān).（3） 時(shí)，設(shè) 即有： （法二）記時(shí)，線性相關(guān).時(shí)，線性無(wú)關(guān). 其它同法一.（法三），時(shí)，線性相關(guān)，時(shí)，線性無(wú)關(guān).其它同法一.設(shè)向量組 線性相關(guān), 線性無(wú)關(guān), 問(wèn)：（1）能否由 線性表出？證明結(jié)論.

10、（2）能否由 線性表出？證明結(jié)論. 解（1）能由 線性表出證一因線性相關(guān), 所以存在不全為零的數(shù), 使若 , 則 不全為零, 由 知 線性相關(guān), 于是 線性相關(guān), 這與已知矛盾,故 . 這樣, 就有。證二由 線性無(wú)關(guān)知, 必有 線性無(wú)關(guān), 又 線性相關(guān), 所以 為 的極大無(wú)關(guān)組, 故 能由 線性表出. （2）不能由 線性表出證（反證）能由 線性表出, 即有,由（1）又有, 將之代入上式得即 能由 線性表出, 所以 線性相關(guān), 這與已知矛盾. 故 不能由 線性表出. 試證：向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是向量組線性無(wú)關(guān). 證法一必要性：設(shè)有數(shù), 使則有.由線性無(wú)關(guān)知, 僅有即僅有, 于是線性無(wú)關(guān). 充

11、分性：設(shè)有數(shù)使 則有因線性無(wú)關(guān), 所以僅有即得, 故線性無(wú)關(guān).例3.2.5 已知, , , , , （1）為何值時(shí), 不能表成的線性組合？ （2）為何值時(shí), 有的唯一線性表達(dá)式？并寫出該表達(dá)式？ 解 設(shè), 則能否表成的線性組合, 轉(zhuǎn)化為上述方程組是否有解的問(wèn)題, 由所以當(dāng)時(shí), 不能表成的線性組合. 當(dāng)時(shí), 表式唯一, 且題型3 求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組與秩解題思路: 初等行變換法： 將向量組中的各向量作為矩陣的各列; 對(duì)進(jìn)行初等行變換, 注意僅作初等行變換; 化為行階梯形, 在每一階梯中取一列為代表, 則所得向量組即為原向量組的極大線性無(wú)關(guān)組. 用初等行變換法求極大線性無(wú)關(guān)組是最基本的方法.判

12、別向量組的線性相關(guān)性, 求一個(gè)極大無(wú)關(guān)組和向量組的秩, 并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示：, , , , .解作因而秩向量個(gè)數(shù)5, 故線性相關(guān), 又所以為的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組, 且有,.例求矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組:，所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無(wú)關(guān)組題型4 線性方程組求解解題思路:初等行變換法對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換, 將其化為行階梯形矩陣, 然后根據(jù)方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩的情況判斷方程組是否有解? 以及有解時(shí)求出方程組的通解; 如果所求線性方程組含有待定參數(shù), 還要進(jìn)一步討論參數(shù)方程組解的情況.初等行變換法是求解線性方程組的最一般方法, 而克萊姆法則只在特殊情況下才使用.例求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:(1) (2)解(1)所以原方程組等價(jià)于取得取得因此基礎(chǔ)解系為(2) 所以原方程組等價(jià)于取得取得因此基礎(chǔ)解系為例4.2求方程組的一般解：解（1）對(duì)增廣陣作初