高二圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與例題

1、一、橢圓1、橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。2、橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對(duì)稱性：橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；四個(gè)頂點(diǎn)：，線段、分別叫做橢圓的長軸

2、和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。3、點(diǎn)與橢圓的關(guān)系點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)二、雙曲線1、雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線。注意： 式中是差的絕對(duì)值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支；時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）； 當(dāng)時(shí)，表示兩條射線； 當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形； 兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢圓雙曲線定義方程焦點(diǎn)注意：要分清焦點(diǎn)的位置，由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦

3、點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上2、雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對(duì)稱性：坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。兩個(gè)頂點(diǎn)：實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。 漸近線：，圍成的矩形的兩條對(duì)角線，稱為雙曲線的漸近線。雙曲線漸近線為。等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直（3）離心率為。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為：，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)

4、在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。三、拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是 ；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說明：（1）焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。

5、（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無對(duì)稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。四、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與

6、橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。五、弦長公式直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則它的弦長注:實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因?yàn)?，運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)直線斜率不存在是,則.六、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。高二圓錐曲線例題分析例1、是橢圓的

7、左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是解：. 例2、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求例3 設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)A、B，AB中點(diǎn)M（1，2），求直線AB方程；解：方法一：顯然AB斜率存在設(shè)AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0當(dāng)>0時(shí)，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則k=1，滿足>0直線AB：y=x+1法二：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)x1x2 AB

8、：y=x+1代入得：>0評(píng)注：法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件>0是否成立。例4. 橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，e=，過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，|PQ|=，且OPOQ，求此橢圓的方程.解:設(shè)橢圓方程為+=1,(a>b>0)PQx軸時(shí)，F(xiàn)(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OPOQ，|OF|=|FP|,即c=ac=a2-c2,e2+e-1=0,e=與題設(shè)e=不符,所以PQ不垂直x軸.PQy=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),e=,a2=c2,b2=c2,

9、所以橢圓方程可化為:3x2+12y2-4c2=0,將PQ方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,x1+x2=,x1x2=由|PQ|=得·=OPOQ,·= -1即x1x2+y1y2=0,(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0把，代入，解得k2=，把代入解得c2=3a2=4,b2=1，則所求橢圓方程為+y2=1.例5. 雙曲線3x2-y2=1上是否存在關(guān)于直線y=2x對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B?若存在，試求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：設(shè)AB：y=-x+m,代入雙曲線方程得11x2+4mx-4(m2+1)=0,這里=(4m

10、)2-4×11-4(m2+1)=16(2m2+11)0恒成立，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x1+x2=-，x0=-,y0=-x0+m=,若A、B關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，則M必在直線y=2x上，=-得m=1，由雙曲線的對(duì)稱性知，直線y=-x與雙曲線的交點(diǎn)的A、B必關(guān)于直線y=2x對(duì)稱.存在A、B且求得A(，-)，B(-，)例6、求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值解：方法一：方法二：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，則距離為當(dāng)時(shí)，例7、設(shè)，求的最大值和最小值分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓

11、的位置關(guān)系求得最值解：由，得可見它表示一個(gè)橢圓，其中心在點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過（0，0）點(diǎn)和（3，0）點(diǎn)設(shè)，則它表示一個(gè)圓，其圓心為（1，0）半徑為在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當(dāng)圓過（0，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即，此時(shí)；當(dāng)圓過（3，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即，的最小值為0，最大值為15例8、已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、綜上所述，點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值例9、設(shè)橢圓ax2

12、by21與直線xy10相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，若|AB|2，OC的斜率為，求橢圓的方程解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐標(biāo)是方程組的解由axby1，axby1，兩式相減，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，因?yàn)?，所以，即，所以ba.再由方程組消去y得(ab)x22bxb10，由|AB|2，得(x1x2)24x1x24，即()24·4.由解得a，b，故所求的橢圓的方程為1.例10、給定拋物線C：y24x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求·的值；(2)設(shè)，當(dāng)OAB的面積S2， 時(shí)，

13、求的取值范圍解：(1)根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)直線l的方程為xmy1，將其與C的方程聯(lián)立，消去x可得y24my40.設(shè)A，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(y1>0>y2)，則y1y24.因?yàn)閥4x1，y4x2，所以x1x2yy1，故·x1x2y1y23.(2)因?yàn)椋?1x1，y1)(x21，y2)，即又y4x1，y4x2，由消去y1，y2后，得到x12x2，將其代入，注意到>0，解得x2.從而可得y2，y12，故OAB的面積S|OF|·|y1y2|，因2恒成立，所以只要解即可，解之得.例11、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|8，動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，定點(diǎn)為M(4,0)，直線PM交曲線C于另外一點(diǎn)Q.(1)求曲線C的方程；(2)