微積分：4-2 微積分基本公式

1、14.2 微積分基本公式微積分基本公式 問題的提出問題的提出積分上限函數(shù)及其導數(shù)積分上限函數(shù)及其導數(shù)牛頓牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) (v(t)和和s(t)的關(guān)系的關(guān)系)fundamental formula of calculus 第第4 4章章 定積分與不定積分定積分與不定積分2 通過定積分的物理意義通過定積分的物理意義,例例變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21d)(TTttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs (v(t)和和s(t)的關(guān)系的關(guān)系)設(shè)某物體作直線運動設(shè)某物體作直線運動, 已知速度已知速度v = v

2、(t), 0)( tv且且求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.是時間間隔是時間間隔T1,T2上上t 的一個連續(xù)函數(shù)的一個連續(xù)函數(shù),).()(d)(1221TsTsttvTT )()(tvts 一、問題的提出一、問題的提出其中其中分的有效、簡便的方法分的有效、簡便的方法.找到一個計算定積找到一個計算定積 4.2 微積分基本公式微積分基本公式所以所以為了敘述上的方便為了敘述上的方便, 引入原函數(shù)的概念引入原函數(shù)的概念.3定義定義4.2例例)(sin x原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義或或)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 如果在區(qū)間如果在區(qū)間I上上,則稱則稱F(x)為為f

3、 (x)在在I上的一上的一原函數(shù)原函數(shù). .xcos 個個或由或由 xsindxxdcos知知xxFsin)( 是是xxfcos)( 上的一個上的一個在在),(原函數(shù)原函數(shù). .CxF )(也是也是xxfcos)( 的原函數(shù)的原函數(shù), 其中其中C為任意常數(shù)為任意常數(shù). .CCCx sin 4.2 微積分基本公式微積分基本公式4一般一般,)(xF亦為亦為f (x)的原函數(shù)的原函數(shù)(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)).因因 )(CxF一個函數(shù)如果有原函數(shù)一個函數(shù)如果有原函數(shù), 就有無窮多個就有無窮多個. . 則則 )(xF).(xfC 若若F(x)為為f (x)的一個原函數(shù)的一個原函數(shù), 4.2 微積分基本

4、公式微積分基本公式 如果能從如果能從v(t)求出求出s(t), 21d)(TTttv)()(12TsTs 運算運算.定積分定積分運算就可化為減法運算就可化為減法).()(),()(d)(1221tvtsTsTsttvTT 其中其中啟發(fā)啟發(fā)定積分的計算有捷徑可定積分的計算有捷徑可尋尋進行進行一般性一般性的討論的討論.5定積分定積分: attfd)(積分上限函數(shù)積分上限函數(shù),bax ).(x 注注)d)( xaxxf一定要分清函數(shù)的一定要分清函數(shù)的如果上限如果上限 x 在區(qū)間在區(qū)間a, b上任意變動上任意變動,每一個取定的每一個取定的 x 值值,則對于則對于定積分有一個對應值定積分有一個對應值,所

5、以它所以它在在a, b上定義了一個函數(shù)上定義了一個函數(shù),設(shè)設(shè)f (x)在在a, b中可積中可積, 則對任一點則對任一點x )(x 與與自變量自變量x積分變量積分變量t.xtt二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)記為記為變上限定積分變上限定積分 4.2 微積分基本公式微積分基本公式6 xattfxd)()( 這個函數(shù)的幾何意義這個函數(shù)的幾何意義 下面討論這個函數(shù)的可導性下面討論這個函數(shù)的可導性.是如圖是如圖紅色部分紅色部分的面積函數(shù)的面積函數(shù).ab)(xfy Oxyx)(x 4.2 微積分基本公式微積分基本公式7證證 )(xx 定理定理4.34.3 (原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理),

6、)(baCxf 設(shè)設(shè).,)()(上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在是是baxfx 因為因為 xxxd)(d)( xattfxd)()( )(xf )(bxa xattfd)(xdd從而從而ttfad )( xx )()(xxx 則積分上限函數(shù)則積分上限函數(shù)是是a, b上的可導函數(shù)上的可導函數(shù), 且對上限的導數(shù)等于被積且對上限的導數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的值函數(shù)在上限處的值. 即即 4.2 微積分基本公式微積分基本公式8)()(xxx .之之間間與與在在xxx )( fx ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在因因baxfxxxlim)(0 )(lim fx )(xf .x 積分中值定理積分中值定理xf )( xx

7、xttfd)(故故,0時時而而 x xattfd)( xxattfd)(ab)(xfy Oxyx)(x )( fxx 則同理可證則同理可證, 0, xax取取若若);()(afa , 0, xbx取取若若則同理可證則同理可證).()(bfb 積分區(qū)間可加性積分區(qū)間可加性 4.2 微積分基本公式微積分基本公式9 定理定理4.3指出指出:和積分聯(lián)結(jié)為一個有機的整體和積分聯(lián)結(jié)為一個有機的整體(2) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) f (x)一定有原函數(shù)一定有原函數(shù), xattfxd)()( 就是就是f (x)的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).(1) 積分運算和微分運算的關(guān)系積分運算和微分運算的關(guān)系, 它把微分它把微分所以

8、它是微積分學基本定理所以它是微積分學基本定理.函數(shù)函數(shù) 微積分微積分, 4.2 微積分基本公式微積分基本公式10推論推論 axttfxd)(dd)1( )(d)(dd)2(xgattfx xattfxgxd)()(dd)4( xattfxgd)()()(xg)(xf )(xgf)(xg )()(d)(dd)3(xgxhttfx xattfd)(xdd)()(xfxg ,)(baCxf 設(shè)設(shè),)(),(可可導導函函數(shù)數(shù)xhxg.,bax )()()()(xhxhfxgxgf 4.2 微積分基本公式微積分基本公式11例例 ).(,d1)(02xfttttxfx 求求設(shè)設(shè)解解 )(xf例例 ).(,

9、d11)(2sin2xfttxfx 求求設(shè)設(shè)解解xusin )(xf )(xf utt22d11ttxd11sin22 xudd .sin1cos2xx xucos112 uttu22d11dd.12 xxx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式12例例 ).(,de)(23xftxfxxt 求求設(shè)設(shè)解解ttxfxtxtdede)(32 20dextt txxfxtdedd)(202ex txtde30 x2 3ex 23x 00txxtdedd30 4.2 微積分基本公式微積分基本公式13例例21cos0delim2xtxtx 解解 1cosdedd2xttx xttxcos1dedd2x2

10、cose xx2cosesin 21cos0delim2xtxtx xxxx2esinlim2cos0 .e21 00這是這是 型不定式型不定式,分析分析應用洛必達法則應用洛必達法則)(cos x 4.2 微積分基本公式微積分基本公式14證證 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd例例. 0)(), 0)( xfxf內(nèi)連續(xù)且內(nèi)連續(xù)且在在設(shè)設(shè)證明函數(shù)證明函數(shù) xxttftttfxF00d)(d)()(內(nèi)內(nèi)在在), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù). xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF 4.2 微積分基本公式微

11、積分基本公式15200)d)(d)()()()( xxttfttftxxfxF0)( xf)()(tftx )0( x0)( xf0 20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF內(nèi)內(nèi)在在), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).故故)(xF x0 xdt x0tdt0 4.2 微積分基本公式微積分基本公式16證證 )(xF )(xF01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).上上在在1 , 0)(xF1 10td,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)xf. 1)(

12、 xf且且證明證明: xttfx01d)(2上上在在1 , 0只有一個解只有一個解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一個解只有一個解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或10 4.2 微積分基本公式微積分基本公式17,)(d)(CxFttfxa 定理定理4.54.5（牛頓（牛頓- -萊布尼茨萊布尼茨公式）公式）,)()(CxFx ,bax 證證牛頓牛頓(英英) 16421727 萊布尼茨萊布尼茨(德德) 16461716如果如果F(x)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上上的一個原函數(shù)的一個原函數(shù), 則則).()(d)(aFbFxxfba xat

13、tfxd)()( 都是都是 f (x)在在aa因為因為F (x)及及a, b上的原函數(shù)上的原函數(shù), 故有故有C是待定常數(shù)是待定常數(shù), 即有即有,bax 0 三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)(aFC 4.2 微積分基本公式微積分基本公式18)()(aFxF ttfxad)(),(aFC , bx 令令牛頓牛頓(Newton)萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz)公式公式)()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式微積分基本公式,bax 特別特別, xxfbad)(baxF)().()(aFbF CxFttfxa )(d)(bb 4.2 微積分基本公式微積分基本公式19)()(d)(aF

14、bFxxfba 微積分基本公式表明微積分基本公式表明 baxF)( 注注求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a, b上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間a, b上的增量上的增量.,時時當當ba )()(d)(aFbFxxfba 仍成立仍成立. 4.2 微積分基本公式微積分基本公式20例例 20d)1sincos2(xxx原式原式 20cossin2xxx .23 解解 面積面積 A 0cosx . 2 例例 解解平面圖形的面積平面圖形的面積.所圍成的所圍成的xsin 0 xd 1)1( x

15、ysin Oxy軸軸上與上與在在計算曲線計算曲線xxy, 0sin 4.2 微積分基本公式微積分基本公式21例例 , 21, 5, 10,2)(xxxxf設(shè)設(shè).d)(20 xxf求求解解 20d)(xxf 1021d5d2xxx. 6 12 10d)(xxf 21d)(xxfxyO5注注如被積函數(shù)是分段函數(shù)如被積函數(shù)是分段函數(shù), 再用再用牛牛萊公式萊公式.積分積分,應分段分成幾個應分段分成幾個 4.2 微積分基本公式微積分基本公式22例例 222d,maxxxx解解 由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf 原式原式.211 022dxx 10dxx 212dxx,2x02 x,2x,x10

16、 x21 xxyO2xy xy 2 21 4.2 微積分基本公式微積分基本公式所以所以23xxxd)12(10 解解,210時時當當 x,121時時當當 x 原式原式 1dx.41 ; 0)12( xx. 0)12( xx0)12( xx令令.21, 0 xx 0dx2121)12( xx )12( xx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式24例例解解xxd2sin120 求求xxd2sin120 xxxd)sin(cos202 40)cos(sinxx 20dsincosxxx. 222 如被積函數(shù)有絕對值如被積函數(shù)有絕對值,注注 再用再用去掉后去掉后,N-L公式公式.04xxxd)sin

17、(cos 42xxxd)cos(sin 應分區(qū)間將絕對值應分區(qū)間將絕對值24)sincos(xx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式25例例 已知函數(shù)已知函數(shù) .21, 1,10,01, 1)(時時當當時時當當時時當當xxxxxxf求積分上限的函數(shù)求積分上限的函數(shù).d)()(1 xttfx 解解分段函數(shù)分段函數(shù) )(x ,01時時當當 x xtd1,10時時當當 x xttd.21時時當當 x xttd)1(10,22x,2322 xx, 1 x1 錯錯! 4.2 微積分基本公式微積分基本公式26已知函數(shù)已知函數(shù) .21, 1,10,01, 1)(時時當當時時當當時時當當xxxxxxf求積分

18、上限的函數(shù)求積分上限的函數(shù).d)()(1 xttfx 正確做法正確做法,)0 , 1時時當當 x xt1d1. 1 x xttfx1d)()( , 1 , 0時時當當 x xttfx1d)()( 1dt xtd00t1.212x ,2 , 1(時時當當 x xttfx1d)()( 1dt01 0dt1t xt1d)1( t.22xx .21,2,10,21,01, 1)(22時時當當時時當當時時當當xxxxxxxx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式27例例 解解 nnnnn12111lim求極限求極限此極限實為一此極限實為一積分和的極限積分和的極限. ninin11limnninin111

19、lim1 ix i xd 10)1ln(x . 2ln )1()(limd)(10 niiibaxfxxf 定積分是代數(shù)和的推廣定積分是代數(shù)和的推廣,無窮小無窮小的的無限項無限項的代數(shù)和的代數(shù)和.即它表示每項為即它表示每項為用定積分求極限時用定積分求極限時,需將需將(1)式中的兩個式中的兩個任意量任意量 用特殊的值處理用特殊的值處理.10 x 11 4.2 微積分基本公式微積分基本公式28)21(lim2nnnn 求極限求極限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni .32 4.2 微積分基本公式微積分基本公式29 微積分基本公式微積分基本公式:積分上限函

20、數(shù)積分上限函數(shù)(變上限積分變上限積分): xattfxd)()( 積分上限函數(shù)的導數(shù)積分上限函數(shù)的導數(shù):)()(xfx )()(d)(aFbFxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關(guān)系積分學之間的關(guān)系.四、小結(jié)四、小結(jié)注意注意其推論其推論. 4.2 微積分基本公式微積分基本公式原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念:或或)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 稱稱F(x)為為f (x)在在I上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .30思考題思考題1 xttftxx0d)()(dd0)()( xfxx對嗎對嗎?錯錯!分析分析,d)()(dd0中中在在 xttftxx

21、其中的其中的x對積分對積分過程是過程是常數(shù)常數(shù),而積分結(jié)果而積分結(jié)果 xttftx0d)()(是是x的函數(shù)的函數(shù).若被積函數(shù)是積分上限若被積函數(shù)是積分上限(或下限或下限)的函數(shù)中的函數(shù)中注意注意的變量的變量 x 及積分變量及積分變量 t 的函數(shù)時的函數(shù)時, 應注意應注意 x與與t 的區(qū)別的區(qū)別.對對 x求導時求導時, 絕不能用積分上限絕不能用積分上限(或下限或下限)的變量的變量x替換替換積分變量積分變量. 4.2 微積分基本公式微積分基本公式31 xttftx0d)()( xxtttfttxf00d)(d)(思考題思考題1 xttftxx0d)()(dd0)()( xfxx對嗎對嗎? ? xx

22、tttfttfx00d)(d)(故故 xttftxx0d)()(dd)d)(d)(dd00 xxtttfttfxx xxtttfxttfxx00d)(dd)d)(dd xttf0d)(.d)(0 xttf正確解答正確解答 因為因為)(xxf)(xxf 4.2 微積分基本公式微積分基本公式32思考題思考題2已知兩曲線已知兩曲線 0de)(2tyxfyt與與在點在點)0 , 0(處的切線相同處的切線相同,寫出此切線方程寫出此切線方程, 并求極限并求極限).2(limnnfn 解解0 x, 1 故所求切線方程為故所求切線方程為.xy )2(limnnfn nlim)2(nf0)0( f)0(f n2

23、2)0(2 f . 2 )(xfxarctane21x 2)(arctan x 0考研數(shù)學考研數(shù)學(一一)7分分 4.2 微積分基本公式微積分基本公式33作業(yè)作業(yè)習題習題4.2 (984.2 (98頁頁) ) 4.2 微積分基本公式微積分基本公式2.2. 3. 4.(3)(4) 3. 4.(3)(4) 5.(1)(2)(3)(4)(5)(9)(10)(11)(12) 5.(1)(2)(3)(4)(5)(9)(10)(11)(12) 9. 10. 11.(2)(4)9. 10. 11.(2)(4)34考研數(shù)學一至四考研數(shù)學一至四, 選擇題選擇題, 4分分 如圖如圖, 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) y = f

24、 (x)在區(qū)間在區(qū)間 3 , 2,2, 3 上的圖形分別是直徑為上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周的上、下半圓周, 在區(qū)間在區(qū)間2 , 0,0 , 2 上的圖形分別是直徑為上的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周的下、上半圓周.,d)()(0 xttfxF設(shè)設(shè) 則下列結(jié)論正確的是則下列結(jié)論正確的是).2(43)3()A( FF).2(45)3()B(FF ).2(43)3()C(FF ).2(45)3()D( FF3 2 1O 123xy 4.2 微積分基本公式微積分基本公式352009年考研數(shù)學一年考研數(shù)學一,二二,三三, 選擇題選擇題, 4分分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間

25、上的圖形為上的圖形為3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1則函數(shù)則函數(shù) xttfxF0d)()(的圖形為的圖形為)B( 1O 1 2 3x)(xF 1)A( 1O 1 2 3x)(xF1 )C( 1O 1 2 3x)(xF 1)D( 1O 1 2 3x)(xF 1 4.2 微積分基本公式微積分基本公式362009年考研數(shù)學一年考研數(shù)學一,二二,三三, 選擇題選擇題, 4分分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 上的圖形為上的圖形為3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1則函數(shù)則函數(shù) xttfxF0d)()(的圖形為的圖形為)D( 1O 1 2 3x)(xF 1此題為定積分的應用知識考核此題為定積分的應用知識考核, 由由y = f (x)的圖的圖形可見形可見,其圖像與其圖像與x軸軸, y軸及軸及0 xx 所圍圖形面積的所