微積分：第四章 定積分習(xí)題課

1、1第四章 定 積 分 習(xí) 題 課小 結(jié)典型例題2小結(jié)小結(jié)1. 對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分考察被積函數(shù)是否為奇偶函數(shù)考察被積函數(shù)是否為奇偶函數(shù),第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課用奇偶函數(shù)用奇偶函數(shù)的的“特性特性”處理處理.2. 分段函數(shù)的積分分段函數(shù)的積分認(rèn)清積分限是被積函數(shù)定義域的哪個(gè)區(qū)間認(rèn)清積分限是被積函數(shù)定義域的哪個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)的端點(diǎn),然后按段積分求和然后按段積分求和.3. 被積函數(shù)帶有絕對(duì)值符號(hào)的積分被積函數(shù)帶有絕對(duì)值符號(hào)的積分在作積分運(yùn)算之前設(shè)法去掉絕對(duì)值在作積分運(yùn)算之前設(shè)法去掉絕對(duì)值.(注意符號(hào)注意符號(hào)!)4. 被積函數(shù)中含有被積函數(shù)中含有“積分上限的函數(shù)積分上限的函數(shù)”

2、的積分的積分用分部積分法做用分部積分法做,將積分上限的函數(shù)取作將積分上限的函數(shù)取作u.3二、典型例題二、典型例題例例計(jì)算計(jì)算.d)()1(112 xxfx解解分析分析被積函數(shù)含有抽象因子的積分被積函數(shù)含有抽象因子的積分, 通常是通常是用奇偶性積分的用奇偶性積分的“特性特性”處理處理.下面證明下面證明)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù).令令, 0 y則則又又即即可知可知)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù). 112d)()1(xxfx于是于是0第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課有有且對(duì)任何且對(duì)任何上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)yxxf,),()( ),()()(yfxfyxf )0()()(fxfxf 0)0( f),(

3、)()(xfxfxxf , 0)()( xfxf4.43 解解x4sin則則xxxd)tan1(sine4 xxxd)tan1(sin24 xxdsin4204 221434 xxtansin4是奇函數(shù)是奇函數(shù),是偶函數(shù)是偶函數(shù), 原式原式e e 2 22n為正偶數(shù)為正偶數(shù)22143231dsin20 nnnnxxn由于被積函數(shù)以由于被積函數(shù)以 為周期為周期,xxxd)tan1(sin)2(2ee4 計(jì)算計(jì)算xxxd)tan1(sin2e4 xxxd)tan1(sinee4 周期函數(shù)在任何長(zhǎng)為一周期的區(qū)間上周期函數(shù)在任何長(zhǎng)為一周期的區(qū)間上的定積分都相等的定積分都相等.例例5例例.d)()1(,

4、d)(102022 xxfxyexfxyy求求設(shè)設(shè)解解d022 xyyye10023d)1(312 xyyyex 102)1(31xux 2)1(令令 01d6uueeu).2(61 eu 1023d)1(312xexxx1)1(2 xe)1(d2 x 21 102)1(x原式原式xd3)1(d x31 1002d2xyyye0第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課6例例解解 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 10)2(21xfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 10d)2(21xxf )2(21f 10)2(d)2(41xxf.d)2(, 5)

5、2(, 3)2(10 xxfxff求求, 1)0(,1 , 0)( fxf且且上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)7例例 10d|txtt解解計(jì)算定積分計(jì)算定積分令令0 xt,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 10d|txtt 10d)(txtt231x ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 10d|txtt x0ttxtd)( 1xtxttd)( 31233 xx,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 10d|txtt 10d)(ttxt312 xxt 第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課8例例解解.dcossinsin20 xxxx求求,dcossinsin20 xxxxI由由,dcossincos20 xxxxJ設(shè)設(shè) JI則則 20dcossincossi

6、n xxxxxJI 20cossin)sin(cosd xxxx. 0 ,22 I故得故得.4 I即即,2d20 x第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課9例例.)()(dd)(. 0)(,)(2abxfxxxfxfbaxfbaba 證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)證證 作作輔助函數(shù)輔助函數(shù) ttfxfxFxad)(1)()( ttfxfxad)()( xaxfttf)(1d)()(2ax xatxftfd)()(,d2 xattxftftfxfxad)2)()()()( )(xF2)()(dd)(abtftttfbaba xxx第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課10txftf

7、tfxfxFxad)2)()()()()( 即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(單調(diào)增加單調(diào)增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()(dd)(2abxfxxxfbaba 即即0)1(212 aaaa21 aa0 第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課 )(xF2d( )d()( )xxaatf ttxaf t11例例解解為為其中其中設(shè)設(shè) 204)(,d)(2cos)( xfxxfxxf).(,xf試試求求連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 20,d)( Axxf令令A(yù)xxf2cos)(4 xAxAd)2(cos204 ,22143A ,)1(163 A.)1(83

8、cos)(4 xxf則則xd20 xd)(20 第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課12例例解解)(, 0)0(,1 , 0)(xffxf又又且且上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) ).(, 5)d)()(2110 xfxxfxf試求試求 10,25d)()(xxfxf設(shè)設(shè) 10,d)(Axxf則則Axf25)( CxAxf 25)(xAxf25)( AxxAA225d2510 由由25 Axxf25)( 滿(mǎn)足關(guān)系滿(mǎn)足關(guān)系:0 C00第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課13例例解解).(,dsin11)(02dsin022xFtttxFxtt 求求設(shè)設(shè) xttxu02dsin)(令令 xtt

9、xu02dsin)(而其中而其中 )(xF xx2sin2121)(sin)(1122xuxu x2sin 第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課14且且設(shè)設(shè)),( Cf xttfxtxF0.d)()2()( 證明證明 (1)若若)(xf)(xF 是偶函數(shù)是偶函數(shù), 則則 也是偶函數(shù)也是偶函數(shù);(2)若若)(xf 是單調(diào)遞減是單調(diào)遞減,)(xF 則則 也是單調(diào)遞減也是單調(diào)遞減.例例證證 (1) xxttfxtttfxF00d)(d)(2)( xxttfxtttfxF00d)(d)(2)( xtttf0d)(2ut xuufu0d)()(2utdd xuuuf0d)(2 xttf0d)(ut

10、utdd xuuf0d)( xuuf0d)(ttttt).()(xFxF 由于由于 也是偶函數(shù)也是偶函數(shù);)(xF 則則第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課15且且設(shè)設(shè)),( Cf xttfxtxF0.d)()2()( 證明證明 (2)若若)(xf 是單調(diào)遞減是單調(diào)遞減,)(xF 也是單調(diào)遞減也是單調(diào)遞減.例例 則則 )(xF )(2xxf xttfxxf0d)()(證證 積分中值定理積分中值定理)()( xfxxf x 0)()( fxfx 0 (2) xxttfxtttfxF00d)(d)(2)()(xxf xttf0d)( xtxf0d)( xttfxf0d)()(,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xt

11、0)()( tfxf0 第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課16例例2002年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(四四)6分分,)(),(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxgxf, 0)( xg且且 利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì), 證明存在一點(diǎn)證明存在一點(diǎn)使使,ba xxgfxxgxfbabad )()(d)()( 證證最值定理最值定理上上在在,)(baxf 有最大值有最大值M 和最小值和最小值m,)(xf)(xg)(xg)(xg mM baxxgxfd)()(xd baxd baxd ba baxxgd)(M m介值定理介值定理,ba )( f即證即證. babaxxgxxgxf

12、d)(d)()(第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課17例例解解對(duì)一切實(shí)數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù) t ,函數(shù)函數(shù)f(t)是連續(xù)的正函數(shù)是連續(xù)的正函數(shù),且可導(dǎo)且可導(dǎo),),()(tftf 又又函數(shù)函數(shù) aattftxxg,d)(|)()0( , aaxa證明證明)(xg(1)是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的;(2)(3) 將函數(shù)將函數(shù))(xg 的最小值作為的最小值作為a的函數(shù)的函數(shù),它等于它等于1)(2 aaf時(shí)時(shí),).(tf求求(1) )(xg xattfd)()(tx axttfd)()(xt xattfxd)( xatttfd)( axtttfd)( axttfxd)(求出使函數(shù)求出使函數(shù) 取最小值的取最小

13、值的 x值值;)(xg0 tx第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課18 )(xg xattfxd)( xatttfd)( axtttfd)( axttfxd)( )(xg xattfd)()(xxf )(xxf )(xxf axttfd)()(xxf xattfd)( axttfd)( )(xg)(xf)(xf )(2xf 0 故故)(xg 函數(shù)函數(shù)f(t)是連續(xù)的正函數(shù)是連續(xù)的正函數(shù)第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課19(2) 求出使函數(shù)取最小值的求出使函數(shù)取最小值的 x值值;, 0)( xg令令即即 xattfd)( axttfd)( xattfd)(ut )d)(uufutdd

14、 ax axuufd)( axttfd)()()(tftf axttfd)( axttfd)(0)( tfxx 0 x axxattfttfxgd)(d)()(第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課20)(xg(3) 將函數(shù)將函數(shù)的最小值作為的最小值作為a的函數(shù)的函數(shù),它等于它等于1)(2 aaf時(shí)時(shí),).(tf求求 aattftgd)(|)0(1)(2 aaf即即0 t 0d)()(attft atttf0d)(1)(2 aaf兩邊對(duì)兩邊對(duì)a求導(dǎo)求導(dǎo), 得得 )1()(aaf )(2aafaaf2)( )()(tftf aaf2)( )(aaf )(afaaaf2)(2 aafaf21)(

15、)( aattftxxgd)(|)(第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課21aafaf21)()( 兩邊積分兩邊積分,得得Caaf 21)(ln 0d)()(attft atttf0d)(1)(2 aaf0000, 1)0( f代入上式代入上式,得得2ln C故故 2ln21)(aeaf12)(2 tetf即即22ae第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課22例例證證,)1 , 0(,1 , 0)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在連續(xù)連續(xù)在在設(shè)設(shè)xf且且 132),0(d)(3fxxf,)1 , 0( 內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn)證明在證明在. 0)( f使使由積分中值定理得由積分中值定理得)(31d)(113

16、2 fxxf 1 ,321 ),0()(1ff 上上在在, 01 用用羅爾定理羅爾定理得得,), 0(1 存在存在使得使得. 0)( f),1 , 0( 第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課23xeexxxnnd1lim10 求求 因?yàn)橐驗(yàn)?,0 x時(shí)時(shí), ,所以所以xeexxxnd110 0 xxnd10 11 n利用利用夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則得得 xeexxxnnd1lim10例例解解 此類(lèi)問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng)此類(lèi)問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng). . px 11ppxx 11)10( x1 px1注注 如如)0(11d110 pxxppp證明證明0 xxneex 1,n

17、x 0第四章第四章 定積分定積分 習(xí)題課習(xí)題課24例例 解解 nnnnn12111lim求極限求極限此極限實(shí)為一此極限實(shí)為一積分和的極限積分和的極限. ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x . 2ln )1()(limd)(10 niiibaxfxxf 定積分是代數(shù)和的推廣定積分是代數(shù)和的推廣,無(wú)窮小無(wú)窮小的的無(wú)限項(xiàng)無(wú)限項(xiàng)的代數(shù)和的代數(shù)和.即它表示每項(xiàng)為即它表示每項(xiàng)為用定積分求極限時(shí)用定積分求極限時(shí),需將需將(1)式中的兩個(gè)式中的兩個(gè)任意量任意量 用特殊的值處理用特殊的值處理.10 x 11 4.2 微積分基本公式微積分基本公式25)21(lim2n

18、nnn 求極限求極限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni .32 4.2 微積分基本公式微積分基本公式2626考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(二二)填空填空3分分 填空題填空題 nnnnnncos12cos1cos11lim 22解解nninin1cos1lim1 xxd2cos2102 原式原式.22 xx dcos1 10 4.2 微積分基本公式微積分基本公式2727解解 10dsinelimxnxxn考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(二二), 填空題填空題, 4分分原式原式=)d(x e0 10sinlimnxn dcosesine lim1010 xnxnnxxxn dco

19、sesine lim101xnxnnxn dsinecosesinelim102101xnxnnxnnxxn dsinecosesinelim10211xnxnnnnnxn 10dsinelimxnxxn11cossine1lim22nnnnnnn . 0 或先不定積分的分部積分再定積分或先不定積分的分部積分再定積分.例例2828考研數(shù)學(xué)一至四考研數(shù)學(xué)一至四, 選擇題選擇題, 4分分 如圖如圖, 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 3 , 2,2, 3 上的圖形分別是直徑為上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周的上、下半圓周, 在區(qū)間在區(qū)間2 , 0,0 , 2 上的圖形分別是直徑

20、為上的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周的下、上半圓周.,d)()(0 xttfxF設(shè)設(shè) 則下列結(jié)論正確的是則下列結(jié)論正確的是).2(43)3()A( FF).2(45)3()B(FF ).2(43)3()C(FF ).2(45)3()D( FF3 2 1O 123xy 4.2 微積分基本公式微積分基本公式29292009年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一,二二,三三, 選擇題選擇題, 4分分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 上的圖形為上的圖形為3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1則函數(shù)則函數(shù) xttfxF0d)()(的圖形為的圖形為)B( 1O 1 2 3x)(xF 1)A( 1O

21、 1 2 3x)(xF1 )C( 1O 1 2 3x)(xF 1)D( 1O 1 2 3x)(xF 1 4.2 微積分基本公式微積分基本公式30302009年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一,二二,三三, 選擇題選擇題, 4分分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 上的圖形為上的圖形為3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1則函數(shù)則函數(shù) xttfxF0d)()(的圖形為的圖形為)D( 1O 1 2 3x)(xF 1此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核, 由由y = f (x)的圖的圖形可見(jiàn)形可見(jiàn),其圖像與其圖像與x軸軸, y軸及軸及0 xx 所圍圖形面積的所圍圖形面積的代數(shù)和為所求函數(shù)代數(shù)和為所求函數(shù)F(x).從而可得出幾個(gè)方面的特征從而可得出幾個(gè)方面的特征:., 0)(,1 , 0且單調(diào)遞減且單調(diào)遞減時(shí)時(shí) xFx., 0)(,2 , 1且單調(diào)遞增且單調(diào)遞增時(shí)時(shí) xFx.)(,3 , 2為常函數(shù)為