人大版微積分第四章函數(shù)圖形描繪

1、鏈接目錄第一章第一章 函數(shù)函數(shù)第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章第五章 不定積分不定積分第六章第六章 定積分定積分第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)第九章第九章復(fù)習參考書參考書1趙樹嫄趙樹嫄. 微積分微積分. 中國人民出版社中國人民出版社2同濟大學同濟大學. 高等數(shù)學高等數(shù)學. 高等教育出版社高等教育出版社第四章第四章函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪一、漸近線一、漸近線定義定義: :.)(,)(一一條條漸漸近近線線的的就就稱稱

2、為為曲曲線線那那么么直直線線趨趨向向于于零零的的距距離離到到某某定定直直線線如如果果點點移移向向無無窮窮點點時時沿沿著著曲曲線線上上的的一一動動點點當當曲曲線線xfyLLPPxfy 1.1.鉛直漸近線鉛直漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的的一一條條鉛鉛直直漸漸近近線線就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條: :. 3, 2 xx2.2.水平漸近線水平漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么

3、那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy3.3.斜漸近線斜漸近線.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線求法斜漸近線求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是曲線就是曲線那么那么xfybaxy 0)(lim0)(lim xnaxxfxnaxxfxxx注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)

4、(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線線可可以以斷斷定定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的的漸漸近近線線求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是是曲曲線線的的鉛鉛直直漸漸近近線線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是是曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線 xy的的兩兩條條漸漸近近線線如如圖圖1)3)(2(2)( xxxxf二、圖形描繪的步

5、驟二、圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步 確確定定函函數(shù)數(shù))(xfy 的的定定義義域域,對對函函數(shù)數(shù)進進行行奇奇偶偶性性、周周期期性性、曲曲線線與與坐坐標標軸軸交交點點等等性性態(tài)態(tài)的的討討論論,求求出出函函數(shù)數(shù)的的一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xf和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xf; 求出方程求出方程0)( xf和和0)( xf 在函數(shù)定義在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實根，用這些根同函數(shù)的間斷點或?qū)?shù)域內(nèi)的全部實根，用這些根同函數(shù)的間斷點或?qū)?shù)不存在的點把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間不存在的點把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間.第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)確

6、定在這些部分區(qū)間內(nèi))(xf和和)(xf的符的符號，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹號，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點凸與拐點（可列表進行討論） ；可列表進行討論） ； 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢近線以及其他變化趨勢;第四步第四步第五步第五步 描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對對應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上上的的點點，有有時時還還需需要要補補充充一一些些點點，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結(jié)結(jié)果果畫畫出出函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.注注描出圖形上處于重要位置的點（峰、谷、拐點、描出圖形上處于重要

7、位置的點（峰、谷、拐點、與坐標軸的交點等）掌握圖形在各部分區(qū)間上與坐標軸的交點等）掌握圖形在各部分區(qū)間上的主要性態(tài)（升降、凹凸等），比較準確地描的主要性態(tài)（升降、凹凸等），比較準確地描繪處函數(shù)圖形的特性。繪處函數(shù)圖形的特性。三、作圖舉例例例1 1.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解, 0: xD非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù), ,且無對稱性且無對稱性. .,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得駐駐點點, 0)( xf令令. 3 x得特殊點得特殊點2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得得水水平平漸漸近近線線2)

8、1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得鉛直漸近線得鉛直漸近線列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點凹凸區(qū)間及極值點和拐點:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點拐點極值點極值點間間斷斷點點3 )926, 3( :補補充充點點);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6ABC2)1(4)(2 xxxf例例2 2.21)(22的的圖圖形形作作函函數(shù)數(shù)xex 解解),(: D偶函數(shù)偶函數(shù),

9、 圖形關(guān)于圖形關(guān)于y軸對稱軸對稱.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得駐點得駐點, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊點點. 4 . 021)(0: xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平漸近線得水平漸近線x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐點拐點極大值極大值 21)21, 1(e 列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點凹凸區(qū)間及極值點與拐點:0拐點拐點)21, 1(e xyo11 212221)(xex 例例3 3.1)(

10、23的的圖圖形形作作函函數(shù)數(shù) xxxxf解解),(: D無奇偶性及周期性無奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得得駐駐點點, 0)( xf令令.31 x得得特特殊殊點點:補補充充點點),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點與拐點凹凸區(qū)間及極值點與拐點:x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點拐點極大值極大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 極小值極小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 123 xxxy四、小結(jié)四、小結(jié)函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察數(shù)應(yīng)用的綜合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小值極