3.4 函數(shù)的應用(一)透課堂-2021-2022學年高一數(shù)學【考題透析】滿分計劃系列（人教A版2019必修第一冊）

2021-2021學年高一數(shù)學【考題透析】滿分計劃系列(人教A版2019必修第一冊)3．4函數(shù)的應用(一)【知識導學】考點一一次函數(shù)模型形如y＝kx＋b的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中k≠0.考點二二次函數(shù)模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)．3．兩點式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．考點三冪函數(shù)模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)．2．單調(diào)性：其增長情況由xα中的α的取值而定．【考題透析】透析題組一：二次函數(shù)模型1．（2021·全國高一課時練習）為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關政策，由政府協(xié)調(diào)，企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.某大學畢業(yè)生校照相關政策投資銷售一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月的銷售量(單位:件)與銷售單價(單位:元)之間的關系近似滿足一次函數(shù):.（1）設他每月獲得的利潤為(單位:元)，寫出他每月獲得的利潤與銷售單價x的函數(shù)關系式，并求出利潤的最大值.（2）相關部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于元.如果他想要每月獲得的利潤不少于元，那么政府每個月為他承擔的總差價的取值范圍是多少?2．（2020·梁河縣第一中學高一月考）某廠借嫦娥奔月的東風，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)，其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量．（1）將利潤f（x）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）當月產(chǎn)量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）透析題組二：分段函數(shù)模型3．（2019·揚州大學附屬中學高一月考）經(jīng)市場調(diào)查，新街口某新開業(yè)的商場在過去一個月內(nèi)（以30天計），顧客人數(shù)（千人）與時間（天）的函數(shù)關系近似滿足（），人均消費（元）與時間（天）的函數(shù)關系近似滿足（1）求該商場的日收益（千元）與時間（天）（，）的函數(shù)關系式；（2）求該商場日收益的最小值（千元）．4．（2021·湖南高一期末）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價(單位：元/)與上市時間(單位：天)的關系符合圖1中的折線表示的函數(shù)關系，西紅柿種植成本(單位：元/)與上市時間(單位：天)的關系符合圖2中的拋物線表示的函數(shù)關系.（1）寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式，圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式；（2）若市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的純收益最大？透析題組三：建立函數(shù)模型的綜合應用5．（2020·全國）如圖，有一塊半徑為2的半圓形紙片，計劃剪裁成等腰梯形的形狀，它的下底是圓的直徑，上底的端點在圓周上，設，梯形的周長為.（1）求出關于的函數(shù)的解析式；（2）求的最大值，并指出相應的值．【考點同練】一、單選題6．（2021·全國高一專題練習）一個矩形的周長是20，矩形的長y關于寬x的函數(shù)解析式為（）（默認y>x）A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10)C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10)7．（2021·全國高一課時練習）下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為（）①我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學；②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；③我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.其中y表示離開家的距離，t表示所用時間.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①8．（2021·全國高一課前預習）某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y（元）與日產(chǎn)量x（套）之間的關系為y＝6x＋30000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒（）A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套9．（2021·全國高一專題練習）某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為，其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為（）A．15 B．40 C．25 D．1310．（2021·全國高一單元測試）如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米.為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形塊BNPM，使點P在邊DE上.（1）設MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；（2）求矩形BNPM面積的最大值.11．（2021·安徽六安一中高一開學考試）一元二次方程的兩根均大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．12．（2021·全國高一專題練習）某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池（如圖），由于地形限制，長、寬都不能超過16米．如果池四周圍壁建造單價為400元/米，中間兩道隔壁墻建造單價為248元/米，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計．設污水池的長為米，總造價為(元)，則的解析式為（）A．B．C．D．13．（2019·全國高一課時練習）國家購買某種農(nóng)產(chǎn)品的價格為120元/擔，某征稅標準為100元征8元，計劃可購萬擔.為了減輕農(nóng)民負擔，決定稅率降低個百分點，預計收購量可增加個百分點則稅收（萬元)與的函數(shù)關系式為A．B．C．D．14．（2020·武漢市第三中學高一月考）如圖所示，液體從一個圓錐形漏斗漏入一個圓柱形桶中，開始時漏斗中盛滿液體，經(jīng)過3秒漏完，圓柱形桶中液面上升速度是一個常量，則漏斗中液面下降的高度H與下降時間t之間的函數(shù)關系的圖象只可能是（） B．C． D．二、填空題15．（2021·全國高一課時練習）設奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5].若當x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖，則不等式f(x)＜0的解集是________.16．（2021·全國高一課時練習）某同學設想用“高個子系數(shù)k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認為，成年男子身高160及其以下不算高個子，其高個子系數(shù)k應為0；身高190及其以上的是理所當然的高個子，其高個子系數(shù)k應為1，請給出一個符合該同學想法?合理的成年男子高個子系數(shù)k關于身高的函數(shù)關系式___________.17．（2020·全國高一單元測試）根據(jù)市場調(diào)查，某種商品在最近的40天內(nèi)的價格與時間滿足關系，銷售量與時間滿足關系則這種商品的日銷售額（銷售量與價格之積）的最大值為______.18．（2020·安徽省舒城中學高一期中）已知函數(shù)，則關于的方程的所有實數(shù)根的和為_______.三、解答題19．（2021·全國高一課前預習）某商店試銷一種成本單價為40元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于80元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量（件）與銷售單價（元/件）可近似看作一次函數(shù)的關系．設商店獲得的利潤（利潤銷售總收入總成本）為元．（1）試用銷售單價表示利潤；（2）試問銷售單價定為多少時，該商店可獲得最大利潤？最大利潤是多少？此時的銷售量是多少？20．（2021·全國高一課時練習）用洗衣機洗衣時，洗滌并甩干后進入漂洗階段.每次漂洗都經(jīng)歷放水、漂洗、甩干三個過程.每次漂洗時，衣服的殘留物都能均勻溶于水，在甩干時也能被均勻甩出，并且每次甩干后重量（殘留物和水分重量總和）不變.假設衣服在洗滌并甩干后，殘留物與水分共有千克，其中水分占.（1）求第一次漂洗后剩余殘留物與這次漂洗放入水的重量的函數(shù)關系式；（2）若進行兩次漂洗，加入水總重量為千克，求剩余殘留物的最小值.21．（2021·上海高一專題練習）上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關，當時地鐵可達到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？22．（2021·全國高一課時練習）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴大生產(chǎn)提供(萬元)的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護服.A公司在收到政府(萬元)補貼后，防護服產(chǎn)量將增加到(萬件)，其中為工廠工人的復工率().A公司生產(chǎn)萬件防護服還需投入成本(萬元).（1）將A公司生產(chǎn)防護服的利潤(萬元)表示為補貼(萬元)的函數(shù)；(政府補貼x萬元計入公司收入)（2）在復工率為k時，政府補貼多少萬元才能使A公司的防護服利潤達到最大？（3）對任意的(萬元)，當復工率達到多少時，A公司才能不產(chǎn)生虧損？（精確到0.01）.【答案精講】1．（1），；（2）.【詳解】（1）依題意可得：每件的銷售利潤為元，每月的銷售量為件，所以每月獲得的利潤與銷售單價x的函數(shù)關系式為：，對稱軸為，開口向下，此時最大值為，所以利潤與銷售單價x的函數(shù)關系式，最大利潤為元.（2）由每月獲得的利潤不小于元，得，即，解得：，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于元，所以，設政府每個月為他承擔的總差價為元，則，由可得，所以政府每個月為他承擔的總差價的取值范圍是元.2．（1）（2）當時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元．【詳解】（1）由題意，當0<x<400s時，；當時，；故（2）當時，；當時，（元當時，（元，當時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元．3．（1）；（2）千元（1）（2）時，單調(diào)遞增，最小值在處取到，；時，單調(diào)遞減，最小值在時取到，單調(diào)遞減，最小值在時取到，則最小值為，由，可得最小值為．答：該商場日收益的最小值為千元．4．（1），，；（2）從2月1日開始的第天上市的西紅柿的純收益最大.【詳解】（1）由圖1可得，當時，；當時，，即圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式；由圖2，設對應的二次函數(shù)解析式為，又該函數(shù)過點，所以，解得，則，；（2）設上市時間為時的純收益為，則由題意，得，即，當時，，當時，取得最大值；當時，，當時，取得最大值.綜上，當，即從2月1日開始的第天上市的西紅柿的純收益最大.5．（1），；（2）時，的最大值是10.解：（1）作、分別垂直交于，連結.由圓的性質(zhì)，是中點，設，又在直角中，所以其定義域是．（2）令，則，且，所以，當，即時，的最大值是10.考點：函數(shù)的解析式和最值.6．A【詳解】由題意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函數(shù)解析式為.故選：A7．A【詳解】對于事件①，中途返回家，離家距離為0，故圖像④符合；對于事件②，堵車中途耽擱了一些時間，中間有段時間離家距離不變，故圖像①符合；對于事件③，前面速度慢，后面趕時間加快速度，故圖像②符合；故選：A.8．D【詳解】因利潤z＝12x－(6x＋30000),所以z＝6x－30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生產(chǎn)文具盒5000套.故選：D9．C解：令，若，則，不合題意；若，則，滿足題意；若，則，不合題意．故擬錄用人數(shù)為25．故選：．10．（1）；（2）48.解（1）如圖所示，延長NP交AF于點Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.在中，，所以.所以，定義域為.（2）設矩形BNPM的面積為S，則，開口向下，且對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，所以當x＝8時，S取最大值48，所以矩形BNPM面積的最大值為48.11．C【詳解】關于x的一元二次方程的兩根均大于2，則,解得.故選：C.12．A【詳解】由題意，污水池的寬為，則四周池壁總造價為，池底造價為：，兩道隔壁墻造價為：，所以，又，解得：.故選：A.13．A【詳解】由題意，可得調(diào)節(jié)稅率后稅率為%，預計調(diào)節(jié)稅率后可收購萬擔，總費用萬元，所以稅收與的函數(shù)關系式為.故選A.14．B解：由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口，當時間取時，漏斗中液面下落的高度不會達到漏斗高度的，對比四個選項的圖象可得結果．故選：．15．(－2，0)∪(2，5)【詳解】利用函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱.∴f(x)＜0的解集為(－2，0)∪(2，5).故答案為：(－2，0)∪(2，5)16．，(只要寫出的函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，且過點和即可.答案不唯一)【詳解】由題意函數(shù)是上的增函數(shù)，設，，由，解得，所以，所以故答案為：注：在上設其他函數(shù)式也可以，只要是增函數(shù)，只有兩個參數(shù)．如，等等．17．176【詳解】由題意，設日銷售額為，①當，時，，故當或11時，最大值為；②當，時，，故當時，最大值為，綜合①②知，當或11時，日銷售額最大，最大值為.故答案為.18．【詳解】，或.方程的根可視為直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標，作出函數(shù)和直線的圖象如下圖：由圖象可知，關于的方程的實數(shù)根為、.由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象關于直線對稱，關于的方程存在四個實數(shù)根、、、如圖所示，且，，，因此，所求方程的實數(shù)根的和為.故答案為：.19．（1）；（2）當銷售單價為70元/件時，可獲得最大利潤900元，此時銷售量是30件．【詳解】（1）.（2），∴當銷售單價為70元/件時，可獲得最大利潤900元，此時銷售量是30件．20．（1）；（2）.【詳解】（1）由題知：，即；（2）設第一次漂洗后殘留物為，第一次加入水量為，第二次加入的水量為則有，，即，，即，，當且僅當時，等號成立，故二次漂洗后殘留物的最小值為21．（1）；（2）分鐘.【