導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案(后附教學(xué)反思)

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案（后附教學(xué)反思） 永嘉中學(xué) 數(shù)學(xué)組 周瑛 08.4.13【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）使學(xué)生掌握函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線的斜率。（數(shù)形結(jié)合），即：切線的斜率(2)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問(wèn)題，體會(huì)“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。過(guò)程與方法：通過(guò)讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中探索、觀察、反思、討論、總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，思維能力，應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的目的。情感態(tài)度與價(jià)值觀：導(dǎo)數(shù)的幾何意義能夠很好地幫助理解導(dǎo)數(shù)的定義，達(dá)到數(shù)與形的結(jié)合；同時(shí)又是知識(shí)在幾何學(xué)，物理學(xué)方面的遷移應(yīng)用。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的意識(shí)?！窘虒W(xué)手段】采用幻燈

2、片，實(shí)物投影等多媒體手段，增大教學(xué)容量與直觀性，有效提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量?！菊n型】探究課【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法。難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義【教學(xué)過(guò)程】（一） 課題引入，類比探討：讓學(xué)生回憶導(dǎo)數(shù)的概念及其本質(zhì)。（承上啟下，自然過(guò)渡）。師：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么？寫出它的表達(dá)式。（一位學(xué)生板書），其他學(xué)生在“學(xué)案”中寫：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率，即： （注記：教師不能代替學(xué)生的思維活動(dòng)，學(xué)生將大腦中已有的經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)，有利于學(xué)生思維能力的有效提高，為學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”,感知導(dǎo)數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ)）2 / 11師：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)僅是從

3、代數(shù)（數(shù)）的角度來(lái)詮釋導(dǎo)數(shù)，若從圖形（形）的角度來(lái)探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義（板書課題），應(yīng)從哪兒入手呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生：數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要結(jié)合“數(shù)”）生1：研究導(dǎo)數(shù)的代數(shù)表達(dá)式。師：那必然就要回憶求導(dǎo)數(shù)的步驟了。生（齊）：分三步：第一步：求第二步：求平均變化率；第三步：當(dāng)趨近于0時(shí)，平均變化率無(wú)限趨近于的常數(shù)就是。（回歸本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合）教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生：這是從“數(shù)”的角度來(lái)求導(dǎo)數(shù)，若從“形”的角度探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，類比地，也可以分三個(gè)步驟：師：第一步：的幾何意義。（并在學(xué)案的圖（二次函數(shù)）中畫出）生：當(dāng)與所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差量。師：很好，那么第二步：平均變化率的幾何意義

4、是什么？（同樣請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖像中畫出來(lái)）；由于上節(jié)探究中做過(guò)，所以還是比較簡(jiǎn)單。生2：平均變化率的幾何意義是割線AB的斜率。其中。（提醒學(xué)生A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)必須寫清楚。）師：第二步：時(shí)，割線有什么變化？請(qǐng)用你的筆描繪出來(lái)。（有靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的過(guò)渡，比較考察學(xué)生的觀察能力，動(dòng)手能力與獨(dú)立思考能力）很快，有幾個(gè)學(xué)生又畫了三條直線（其中橫坐標(biāo)在與之間。）教師讓生3用投影儀展示自己的作品，并向其它學(xué)生介紹自己作圖的意圖，由此引導(dǎo)同伴觀察到：，師（趁勝追擊）：很好，那么當(dāng)，于是A，B之間的差距越來(lái)越小，B一直，一直這樣靠近A，最后會(huì)-生(齊):重合。師：那么直線AB？生（齊）：變成一條切線了。師：大家真不錯(cuò)，確

5、實(shí)，當(dāng)，割線有一個(gè)無(wú)限趨近的確定位置，這個(gè)確定位置上的直線叫做曲線在處的切線，下面請(qǐng)把它畫出來(lái)。等學(xué)生化出切線AD后，教師用Flash展示動(dòng)態(tài)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生回顧過(guò)程。結(jié)論：（形），割線切線，則割線的斜率切線的斜率。（口述） 由數(shù)形結(jié)合，得切線的斜率。（板書）所以，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線AD的斜率。（數(shù)形結(jié)合）。（說(shuō)明：動(dòng)手實(shí)踐，探索發(fā)現(xiàn)。使學(xué)生經(jīng)歷探究“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的過(guò)程以獲得理智和情感體驗(yàn)，建構(gòu)“導(dǎo)數(shù)及其幾何意義”的知識(shí)結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確理解 “導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，掌握“數(shù)形結(jié)合，類比探討”的數(shù)學(xué)思想方法。） （二）深入研究，知識(shí)拓展師：好，我們現(xiàn)在清楚導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是

6、在該點(diǎn)處切線的斜率。其中切線很關(guān)鍵，但是它與以前學(xué)過(guò)的切線定義有什么不同呢？見(jiàn)P77的探究問(wèn)題。生4：初中平面幾何中，如圓的切線的的定義：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切。這時(shí)，直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。師：講得非常好，確實(shí)如此，但從剛才那刻開(kāi)始，將會(huì)有變數(shù)。（展示如下動(dòng)畫，A點(diǎn)-直線l1-B-直線l2）。學(xué)生們發(fā)現(xiàn)生4講的初中切線的定義已不適合這里了。師：圓是一種特殊的曲線。這種定義并不適用于一般曲線的切線。例如上圖中，直線雖然與曲線有惟一的公共點(diǎn)，但我們不能認(rèn)為它與曲線相切；而另一條直線雖然與曲線有不只一個(gè)公共點(diǎn)，我們還是認(rèn)為它是曲線的切線。因此，以上圓的切線定義并不

7、適用于一般的曲線。通過(guò)逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點(diǎn)可能不惟一），適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。（三）“以直代曲”思想利用PPT做出三個(gè)切點(diǎn)附近的近景，而且由小放到大，類似于放大鏡的效果，讓學(xué)生觀察切點(diǎn)附近曲線與直線的位置關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，它們?cè)絹?lái)越靠近，幾乎重合。此時(shí)，教師點(diǎn)出：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)P附近，曲線可以用在點(diǎn)P處的切線近似代替，這是微積分中重要的思想方法以直代曲（以簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象）。（動(dòng)畫演示：通過(guò)信息技術(shù)將函數(shù)曲線某一點(diǎn)附近的圖象放大得到一個(gè)近景圖，圖象放得越大，這一小段曲線看起來(lái)就越象直線；大多數(shù)函數(shù)曲線就一小范

8、圍來(lái)看，大致可看作直線，所以，某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲”）（說(shuō)明：適時(shí)、有效地采用計(jì)算機(jī)等多媒體輔助教學(xué)，可以不僅加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”形象、直觀地理解，還能將學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐（感知體驗(yàn)）與抽象思維（深層內(nèi)化）有效結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生的思維能力訓(xùn)練，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。）（四）例題講解，加強(qiáng)理解例1 在函數(shù)的圖像上，用圖形來(lái)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)，的幾何意義，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)。變式：請(qǐng)描述、比較曲線在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？ (如下圖)（注記：要求學(xué)生動(dòng)腦（審題），動(dòng)手（畫切線），動(dòng)口（同桌討論、描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)），體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際

9、問(wèn)題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。） 從中小結(jié)出:1.點(diǎn)附近的增減-導(dǎo)數(shù)的正負(fù)-過(guò)該點(diǎn)切線的斜率正負(fù); 2.增減快慢-導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大小-過(guò)該點(diǎn)切線的斜率大小的絕對(duì)值-曲線在該點(diǎn)附近的陡峭程度。（板書） 例2 如圖表示人體血管中的藥物濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì)（min）時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。(精確到0.1)0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時(shí)變化率（注記：要求學(xué)生動(dòng)腦（審題），動(dòng)手（畫切線），動(dòng)口（說(shuō)出如何估計(jì)切線斜率），進(jìn)一步體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問(wèn)題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。）（五）

10、抽象概括，歸納小結(jié)（先由學(xué)生小結(jié)）1抽象概括：由練習(xí)2抽象概括出導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）的概念： 是確定的數(shù)（靜態(tài)），是的函數(shù)（動(dòng)態(tài)）由（特殊一般） （靜態(tài)動(dòng)態(tài)）（說(shuō)明：體驗(yàn)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程，領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的辯證思想2歸納小結(jié)：由學(xué)生進(jìn)行開(kāi)放式小結(jié)：（1）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線AD的斜率。（數(shù)形結(jié)合），即：切線的斜率（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問(wèn)題，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。（3）導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱“導(dǎo)數(shù)”）的概念。（六）作業(yè)布置1習(xí)題P80.A5,6;B1 2（給好的學(xué)生）請(qǐng)給出求函數(shù)在處的切線方程的一個(gè)算法，并小組自編四個(gè)求切線的題目。（探索：

11、若把3 “在點(diǎn) 處”改為“過(guò)點(diǎn)”，算法有何不同？并小組自編四個(gè)求切線的題目。）附：教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了“變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的概念”等知識(shí)的基礎(chǔ)上，研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由于新教材未設(shè)計(jì)極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手作圖,自我感受整個(gè)逼近的過(guò)程,并用形象的幾何畫板及Flash展示動(dòng)態(tài)的過(guò)程，讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“以直代曲”的思想。本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”和“利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問(wèn)題”兩個(gè)教學(xué)重心展開(kāi)。先回憶導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率瞬時(shí)變化率”的研究思路，運(yùn)用逼近的思想定義了曲線上某點(diǎn)的切線，再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考，獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率”。完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容學(xué)習(xí)后，教師點(diǎn)明，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達(dá)到“以簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫復(fù)雜對(duì)象”的目的，并通過(guò)兩個(gè)例題的研究，讓學(xué)生從不同的角度完整地體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，并感受導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性。本節(jié)課注重以學(xué)生為主體,每一個(gè)知識(shí)、每一個(gè)發(fā)現(xiàn)，總設(shè)法由學(xué)生自己得出，課堂上給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、動(dòng)筆演算等活動(dòng)后，再組織討論，本教師只是在關(guān)鍵處加以引