01-《數(shù)值分析》實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書

1、數(shù)值分析課程實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)06級本科網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)06級本科胡明 龍灘 編寫佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)系2008年10月摘 要本實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書包含九個上機(jī)實(shí)驗(yàn)：1.誤差分析；2. Lagrange插值；3.高斯消去法解方程組；4. 非線性方程求根；5. 龍貝格算法；6.解線性方程組的迭代法；7.矩陣特征值問題計(jì)算；8.常微分初值問題的數(shù)值解法；9.最小二乘法。前面三個實(shí)驗(yàn)為必開實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)學(xué)時4學(xué)時；后面的實(shí)驗(yàn)學(xué)生可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書在課外自己學(xué)習(xí)。通過這些實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生掌握計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析的實(shí)現(xiàn)；同時也是加深對前修課程程序設(shè)計(jì)語言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和高等數(shù)學(xué)的理解，幫助學(xué)生提升程序設(shè)計(jì)及調(diào)試的能

2、力。目 錄實(shí)驗(yàn)一 誤差分析 1實(shí)驗(yàn)二 Lagrange插值 2實(shí)驗(yàn)三 高斯消去法解方程組 3實(shí)驗(yàn)四 非線性方程求根 4實(shí)驗(yàn)五 龍貝格算法 6實(shí)驗(yàn)六 解線性方程組的迭代法 7實(shí)驗(yàn)七 矩陣特征值問題計(jì)算 9實(shí)驗(yàn)八 常微分初值問題的數(shù)值解法 11實(shí)驗(yàn)九 最小二乘法 13參考文獻(xiàn)1李慶揚(yáng). 數(shù)值分析. 華中科技大學(xué)出版社，20022實(shí)驗(yàn)一 誤差分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?了解誤差分析對數(shù)值計(jì)算的重要性。2掌握避免或減小誤差的基本方法。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備安裝有C、C+或MATLAB的計(jì)算機(jī)。三、實(shí)驗(yàn)原理根據(jù)不同的算法，得到的結(jié)果的精度是不一樣的。四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟求方程ax2+bx+c=0的根，其中a=1，b=

3、-(5×108+1)，c=5×108采用如下兩種計(jì)算方案，在計(jì)算機(jī)上編程計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果記錄下來，并分析產(chǎn)生誤差的原因。方案一： 方案二： 要求：編寫程序?qū)崿F(xiàn)該算法；調(diào)試程序，檢查輸出結(jié)果。五、實(shí)驗(yàn)報告內(nèi)容1二次方程求根二種計(jì)算方案的公式、源程序、計(jì)算結(jié)果、結(jié)果分析。2思考題：為了防止誤差危害現(xiàn)象的產(chǎn)生，以保證計(jì)算結(jié)果的可靠性，數(shù)值運(yùn)算中應(yīng)注意哪些原則？試舉例說明。實(shí)驗(yàn)二 Lagrange插值一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?掌握利用Lagrange插值法及Newton插值法求函數(shù)值并編程實(shí)現(xiàn)。2程序具有一定的通用性，程序運(yùn)行時先輸入節(jié)點(diǎn)的個數(shù)n，然后輸入各節(jié)點(diǎn)的值（），最后輸入要求的自

4、變量x的值，輸出對應(yīng)的函數(shù)值。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備和實(shí)驗(yàn)環(huán)境安裝有C、C+或MATLAB的計(jì)算機(jī)。三、算法描述1 插值的基本原理（求解插值問題的基本思路）構(gòu)造一個函數(shù)y=f(x)通過全部節(jié)點(diǎn)，即 (i=0、1、 n)再用f(x)計(jì)算插值，即2 拉格朗日（Lagrange）多項(xiàng)式插值Lagrange插值多項(xiàng)式：3牛頓（Newton）插值公式五、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1給定，構(gòu)造Lagrange插值函數(shù)計(jì)算。2已知4個點(diǎn)的函數(shù)值如下表，用Newton插值法求x=0.596時的函數(shù)值。i0123xi0.400.550.650.80yi0.410750.578150.696750.88811六、實(shí)驗(yàn)報告內(nèi)容實(shí)驗(yàn)報告應(yīng)包括以

5、下幾個部分：計(jì)算方案的公式、源程序、計(jì)算結(jié)果、結(jié)果分析。實(shí)驗(yàn)三 高斯消去法解方程組一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?掌握求解線性方程組的高斯消去法-列選主元在計(jì)算機(jī)上的算法實(shí)現(xiàn)。2程序具有一定的通用性，程序運(yùn)行時先輸入一個數(shù)n表示方程含有的未知數(shù)個數(shù)，然后輸入每個線性方程的系數(shù)和常數(shù)，求出線性方程組的解。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備和實(shí)驗(yàn)環(huán)境安裝有C、C+或MATLAB的計(jì)算機(jī)。三、算法描述1高斯消去法基本思路設(shè)有方程組，設(shè)是可逆矩陣。高斯消去法的基本思想就是將矩陣的初等行變換作用于方程組的增廣矩陣，將其中的變換成一個上三角矩陣，然后求解這個三角形方程組。2列主元高斯消去法計(jì)算步驟 將方程組用增廣矩陣表示。步驟1：消元過程

6、，對（1） 選主元，找使得（2） 如果，則矩陣奇異，程序結(jié)束；否則執(zhí)行（3）。（3） 如果，則交換第行與第行對應(yīng)元素位置，。（4） 消元，對，計(jì)算對，計(jì)算步驟 2：回代過程：（1） 若則矩陣奇異，程序結(jié)束；否則執(zhí)行（2）。（2） 對，計(jì)算四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容利用列選主元高斯消去法求解線性方程組實(shí)驗(yàn)四 非線性方程求根一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握二分法、牛頓迭代法等常用的非線性方程迭代算法；2培養(yǎng)編程與上機(jī)調(diào)試能力。二、實(shí)驗(yàn)要求1用C語言設(shè)計(jì)出二分法和牛頓法的程序，并且選擇不同的初值，觀察所需的迭代次數(shù)和迭代結(jié)果。2分析二分法和牛頓法在非線性方程求根中的優(yōu)缺點(diǎn)和收斂速度，二分法簡單易行，但只有線性收斂，且僅限于求實(shí)

7、根；牛頓法也是一種簡單的迭代法，具有二階收斂速度（在單根鄰近處）的特點(diǎn)，但對初值的選擇比較苛刻，否則可能不收斂。三、算法步驟1二分法計(jì)算f(x)=0的二分法如下： 輸入求根取間a,b和誤差控制量，定義函數(shù)f(x)。 如果 ，轉(zhuǎn)；否則退出選用其它求根方法 當(dāng)|a-b|>時，計(jì)算中點(diǎn)x=(a+b)/2以及f(x)的值； 分情況處理 ：停止計(jì)算，轉(zhuǎn)：修正區(qū)間 ：修正區(qū)間 輸出近似根2牛頓迭代法給定初始值，為根的容許誤差，為的容許誤差，N為迭代次數(shù)的容許值。 如果或迭代次數(shù)大于N，則算法失敗，結(jié)束；否則執(zhí)行 計(jì)算 若或，則輸出，程序結(jié)束；否則執(zhí)行 令，轉(zhuǎn)向四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1.用二分法求方程在區(qū)間1.

8、0,1.5內(nèi)的一個實(shí)根，要求精確到小數(shù)點(diǎn)后2位。2.用牛頓迭代法求方程在1.5 附近的一個實(shí)根。五、思考題1何為二分法和迭代法？2怎樣比較迭代法收斂的快慢？何為收斂階數(shù)？六、實(shí)驗(yàn)報告實(shí)驗(yàn)報告應(yīng)包括以下幾個部分：計(jì)算方案的算法、源程序、計(jì)算結(jié)果、思考題。實(shí)驗(yàn)五 龍貝格算法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握龍貝格算法的基本思路和迭代步驟；2培養(yǎng)編程與上機(jī)調(diào)試能力。二、 算法描述1龍貝格算法基本思路龍貝格算法利用外推法，提高了計(jì)算精度，加快了收斂速度。 對每一個從2做到，一直做到小于給定的精度是停止計(jì)算。其中（復(fù)化梯度求積公式），2龍貝格算法計(jì)算步驟步驟1：輸入?yún)^(qū)間端點(diǎn)，精度控制值，循環(huán)次數(shù)，定義函數(shù)，取， 步驟2

9、：for to 步驟3：數(shù)據(jù)積分近似值。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用龍貝格算法計(jì)算：實(shí)驗(yàn)六 解線性方程組的迭代法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握解線性方程組的雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代算法；2培養(yǎng)編程與上機(jī)調(diào)試能力.二、算法步驟1迭代法的基本思想根據(jù)方程組設(shè)計(jì)出一個迭代公式，然后將任意選取的一初始向量代入迭代公式，求出，再以代入同一迭代公式，求出，如此反復(fù)進(jìn)行，得到向量序列.當(dāng)收斂時，其極限即為原方程組的解.2雅可比（Jacobi）迭代法解方程組設(shè)方程組的系數(shù)矩陣對角線元素，為最大迭代次數(shù)，為容許誤差. 雅可比（Jacobi）迭代法解方程組算法步驟如下： 取初始向量，令. 對，計(jì)算 . 如果，則輸出，結(jié)束；否則執(zhí)行 如

10、果，則不收斂，終止程序；否則，轉(zhuǎn)3高斯-塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法在雅可比（Jacobi）迭代法中，如果當(dāng)新的分量求出后，馬上用它來代替舊的分量，則可能會更快地接近方程組的準(zhǔn)確解.基于這種設(shè)想構(gòu)造的迭代公式稱為高斯-塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相應(yīng)地從雅可比（Jacobi）迭代法改造得到.三、實(shí)驗(yàn)題目及參考結(jié)果應(yīng)用雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代算法解線性方程組參考結(jié)果：雅可比迭代法迭代次數(shù)20次，結(jié)果如下：四、實(shí)驗(yàn)要求 1選擇一種計(jì)算機(jī)語言設(shè)計(jì)出雅可比（Jacobi）迭代法的算法程序，并且選擇不同的迭代次數(shù)，觀察輸出結(jié)果； 2利用Matlab求方程組的解步驟如

11、下： 調(diào)用格式： %得到線性方程組的解向量Matlab6.1環(huán)境下操作如下：>> %輸入系數(shù)矩陣>> %輸入常數(shù)項(xiàng)>> %方程組求解五、思考：1判別迭代法收斂的充分必要條件及充分條件是什么？2雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法收斂性的各種判別條件是什么？實(shí)驗(yàn)七 矩陣特征值問題計(jì)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆涨缶仃嚨奶卣髦岛椭魈卣飨蛄康膬绶?；培養(yǎng)編程與上機(jī)調(diào)試能力.二、冪法算法描述 設(shè)有個線性無關(guān)的特征向量，而相應(yīng)的特征值滿足，則對任意非零初始向量，按下列公式構(gòu)造向量序列： 其中表示中模最大的分量并有 ，冪法求矩陣的特征值和主特征

12、向量步驟如下：任給維初始向量；按計(jì)算；若從某個數(shù)以后分量之比 （常數(shù)）（）則，而即是與對應(yīng)的一個近似特征向量.三、實(shí)驗(yàn)題目：題目已知矩陣 ，計(jì)算該矩陣主特征值和相應(yīng)的特征向量.參考結(jié)果主特征值為6；相應(yīng)的特征向量為四、實(shí)驗(yàn)要求（1） 選擇一種計(jì)算機(jī)語言設(shè)計(jì)出冪法求主特征值和相應(yīng)特征向量的程序，并且選擇不同的初值，觀察所需的迭代次數(shù)和迭代結(jié)果.（2） 利用Matlab求特征值和特征向量 調(diào)用格式1： eig(A) %得到特征值列向量調(diào)用格式2：，其中為由特征列向量構(gòu)成的方陣，為由特征值構(gòu)成的對角陣. %得到特征值和所對應(yīng)的特征向量 Matlab6.1環(huán)境下操作如下：>> A=4 -1

13、 1;-1 3 -2 ;1 -2 3; %輸入矩陣A >> D,X=eig(A) %求矩陣特征值和對應(yīng)的特征向量五、思考冪法收斂速度取決于什么？怎樣加速收斂？實(shí)驗(yàn)八 常微分初值問題的數(shù)值解法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆粘Ｎ⒎址匠虜?shù)值解的常用算法；培養(yǎng)編程與上機(jī)調(diào)試能力.二、算法描述1改進(jìn)歐拉法 求解 對給定的，用改進(jìn)的歐拉公式求解常微分方程初值問題的解. 2四階龍格-庫塔法 對上述給定的，用四階龍格-庫塔法求解常微分方程初值問題三、實(shí)驗(yàn)題目（1） 用改進(jìn)的歐拉公式，求解常微分方程初值問題的解 （2） 用四階龍格-庫塔公式解初值問題： 四、實(shí)驗(yàn)要求（1） 選擇一種計(jì)算機(jī)語言設(shè)計(jì)出改進(jìn)歐拉法和四階

14、龍格-庫塔法方法求解常微分方程初值問題的程序，觀察運(yùn)行結(jié)果.（2） 利用Matlab求解常微分方程初值問題 函數(shù)dsolve()用于求解微分方程.Dy表示：dy/dt（t 為缺省的自變量），Dny表示y對t的n階導(dǎo)數(shù). Matlab6.1環(huán)境下操作如下： >> y=dsolve('Dy=y*y','y(0)=1') %求解題目1 >> y=dsolve('Dy=y/t','y(2.0)=1') %求解題目2（3） 利用最小二乘法擬合通過改進(jìn)歐拉法求出微分方程的一系列數(shù)值解的近似函數(shù)方程.并利用Matlab的繪圖功能畫出函數(shù)的曲線五、思考一階微分方程初值問題有哪些數(shù)值解法？比較