斐波那契數(shù)列與帕斯卡三角形

1、斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列與 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 一、斐波那契數(shù)列1.斐波那契斐波那契 “斐波那契斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者，是意大利數(shù)學家列昂納多斐波那契。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了珠算原理(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數(shù)學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領事，派駐地點相當于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯 老師的指導下研究數(shù)學。他還曾在 埃及、 敘利亞、希臘、西西里和 普羅旺斯研究數(shù)學。2.斐波那契數(shù)列來源斐波那契數(shù)列來源 根據(jù)高德納的計算機程序設計藝術，1150年印度數(shù)學家Gopala和Hema

2、chandra在研究箱子包裝物件長寬剛好為1和2的可行方法數(shù)目時，首先描述這個數(shù)列。 斐波那契這個數(shù)列來自他的算盤書中一道并不出名的問題 一個很有趣的數(shù)學問題一個很有趣的數(shù)學問題: 假假設設每一每一對對新生的小兔子新生的小兔子, ,兩個兩個月後便月後便會長會長大大, ,且每一且每一個個月都生一月都生一對對小兔子小兔子。已知每次新生的一。已知每次新生的一對對兔子都是一雄一雌兔子都是一雄一雌, ,而所有兔子都而所有兔子都沒沒有死去有死去, ,且且隔代的兔子不隔代的兔子不會會互相交配?；ハ嘟慌?。 若若現(xiàn)現(xiàn)有一有一對對小兔子小兔子, ,問問一年後共有兔子多小一年後共有兔子多小對對呢呢? ? month

3、 1 2 3 4 5 2331448955342113853211兔子兔子總總對數(shù)對數(shù)14489553421138532110大兔子大兔子對數(shù)對數(shù)895534211385321101小兔子小兔子對數(shù)對數(shù)13121110987654321月月數(shù)數(shù)一年後兔子的總數(shù)為一年後兔子的總數(shù)為 233 對對 3.斐波那契數(shù)列 斐波那契數(shù)斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、 數(shù)列中的每一項被稱為斐波那契數(shù)(Fibonnaci Number) 以符號 表示。 這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。它的通項公式為：(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n（又叫“比

4、內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例。）（5表示根號5） 有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達的。4.斐波那契數(shù)列的奇特屬性 （1）隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887 （2）從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1。 （3）如果任意挑兩個數(shù)為起始，比如5、-2.4，然后兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前后兩項之積的差值也交替相差

5、某個值 （4）斐波那契數(shù)列的第n項同時也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù)。 （5）斐波那契數(shù)列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2）的其他性質(zhì)： 1.f(0)+f(1)+f(2)+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+f(2n-1)=f(2n) 3.f(2)+f(4)+f(6)+f(2n) =f(2n+1)-1 4.f(0)2+f(1)2+f(n)2=f(n)f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-+(-1)nf(n)=(-1)nf(n+1)-f(n)+1 6.f(m+n)=f(m-1)f(n-1)+f(m)

6、f(n) 利用這一點，可以用程序編出時間復雜度僅為O（log n）的程序。 7.f(n)2=(-1)(n-1)+f(n-1)f(n+1) 8.f(2n-1)=f(n)2-f(n-2)2 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2) 10.f(2n-2m-2)f(2n)+f(2n+2)=f(2m+2)+f(4n-2m) nm-1,且n1 5.相關的數(shù)學問題相關的數(shù)學問題 1.排列組合有一段樓梯有10級臺階,規(guī)定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級臺階有幾種不同的走法? 這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法1

7、，2，3，5，8，13所以，登上十級，有89種走法。 2.求遞推數(shù)列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通項公式由數(shù)學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，將斐波那契數(shù)列的通項式代入，化簡就得結(jié)果。 3.數(shù)列與矩陣 對于斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5,8,13.有如下定義F(n)=f(n-1)+f(n-2) F(1)=1 F(2)=1對于以下矩陣乘法 它的運算就是F(n+1)=F(n)+F(n-1)F(n)=F(n)可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數(shù)列的定義可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數(shù)列的定義 可以用迭代得到可以用迭代得到:斐波那契數(shù)列的某一項斐波那契數(shù)列的某一項F

8、(n)=(BC(n-2)1這就是斐波那契數(shù)列的矩陣乘法定義.6.斐波那契數(shù)列的實例斐波那契數(shù)列的實例 （1）向日葵的種子 綠色綠色表示按順時針排列的種子表示按順時針排列的種子 紅色紅色表示按逆時針排列的種子表示按逆時針排列的種子植物植物學學家家發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)： 某某種種向日葵的向日葵的種種子是子是按兩組螺旋排按兩組螺旋排列，列，其其數(shù)數(shù)目往往是目往往是連續(xù)連續(xù)的斐波那契的斐波那契數(shù)數(shù) 。 普通大小的向日葵：34條順時針螺旋55條逆時針螺旋 較大的向日葵：條順時針螺旋 條逆時針螺旋 （2）.植物分枝2358132358 (3)菠蘿表皮 菠蘿的中心軸 ： Z 軸 垂直于Z軸的平面： XOY 度量表皮上每

9、一個六角形 的中心與平面XOY的距離 其中三個方向是按等差數(shù)列其中三個方向是按等差數(shù)列 排列的： 0,5,10,15,20, 0,8,16,24,32, 0,13,26,39,52, 公差公差5813三個連續(xù)的斐波那三個連續(xù)的斐波那契數(shù)列契數(shù)列 （4）花瓣的數(shù)目 花瓣的數(shù)目：花瓣的數(shù)目： 斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列8 133 521 （5）鋼琴的琴鍵 在一個音階中： 白色的鍵數(shù)為：8 黑色的鍵數(shù)為：5 兩個連續(xù)的斐波那契數(shù)7.斐波那契數(shù)列的應用 （1）數(shù)學游戲一位魔術師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺，寬5英尺的長方 形

10、地毯?！边@位匠師對魔術師算術之差深感驚異，因為兩者之間面積相差達一平方英尺呢！可是魔術師竟讓匠師用圖2和圖3的辦法達到了他的目的！ （2）斐波那契弧線 斐波納契弧線，第一，此趨勢線以二個端點為準而畫出，例如，最低點反向到最高點線上的兩個點。三條弧線均以第二個點為中心畫出，并在趨勢線的斐波納契水平：38.2%， 50%和61.8%交叉。 斐波納契弧線，是潛在的支持 點和阻力點水平價格。斐波那 契弧線和斐波納契扇形線常常 在圖表里同時繪畫出。 支持點和阻力點就是由這些線 的交匯點得出。 （3）斐波納契扇形線 斐波納契扇形線，例如，以最低點反向到最高點線上的兩個端點畫出的趨勢線。然后通過第二點畫出一

11、條“無形的(看不見的)”垂直線。然后，從第一個點畫出第三條趨勢線：38.2%， 50%和61.8%的無形垂直線交叉。 這些線代表了支撐點和阻力點 的價格水平。為了能得到一個 更為精確的預報，建議和其他 斐波納契工具一起使用。 （4）斐波納契通道 斐波納契通道利用幾條趨勢平行線建立。要創(chuàng)建這個工具，通道寬度是取自每個單位寬度。平行線價格數(shù)值處于斐波納契數(shù)列相同的值。以0.618 開始為通道寬度，然后是1.000，1.618，2.618，4.236來畫平行線。當?shù)谖甯€畫好后，與相應的趨勢線相反方向的正確的線就畫出了。 要正確創(chuàng)建斐波納契通道必須 記住的是在當趨勢線上升，基 本線限制住了通道最高點

12、， 當趨勢線向下，基本線限制 住了通道的最低點。 （5）斐波納契時間周期線 斐波納契時間周期線是以斐波納契的時間間隔1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34等畫出的許多垂直線。假定主要的價格變化期望在這些線附近。 運用確定的單位時間間隔長 度的兩點來創(chuàng)建此工具。根 據(jù)斐波納契數(shù)列，全部其他 的線是在此單位間隔的基礎 上確定的。二、帕斯卡三角形 1.帕斯卡 帕斯卡(Blaise Pascal，16231662)是法國著名的數(shù)學家要不是由于宗教信仰，瘦弱的體質(zhì)，以及無意單單為數(shù)學課題而耗盡全部精力，他本來可以成為一名偉大的數(shù)學家帕斯卡的父親擔心他的孩子也像他自己那樣嗜好數(shù)學，希望帕斯卡能

13、在更寬闊的教育背景下發(fā)展，所以起初勸導他不要學數(shù)學，希望能引發(fā)他在其他方面的興趣不料帕斯卡在12歲，便顯露出幾何方面的天賦，從而使他的數(shù)學志向在此后深受鼓舞16歲時便寫下了一篇關于圓錐曲線的論文，這使當時的數(shù)學家們倍感驚奇在文章中帕斯卡陳述了后來為人所共知的帕斯卡定理：一條圓錐曲線的內(nèi)接六邊形的三組對邊的交點共線18歲時，帕斯卡發(fā)明了有史以來的第一臺計算機但就在這個時候，他遭受到病魔的侵擾為此，他向上帝許愿，將停止自己的數(shù)學工作此后三年，他寫下了論述帕斯卡三角形及其性質(zhì)的著作公元1654年11月 23日夜，帕斯卡經(jīng)歷了一場宗教儀式在儀式上他被要求獻身于神學，并放棄數(shù)學和科學此后，除一個短暫的時

14、期外(16581659)，帕斯卡不再從事數(shù)學研究 2.帕斯卡三角形 斐波那契數(shù)列（1）擲硬幣 假設將一枚硬幣擲4次，可能出現(xiàn)16種不同的組合方式，如上所示其中第一欄為全是正面(H)，然后是3個正面、1個反面(T)，以此類推，直到?jīng)]有正面出現(xiàn)為止 如此所形成的數(shù)列與帕斯卡三角形的第五行相同 （2）國際象棋18361203307921716 3432172884210462924171616215612625246279215153570126210330141020355684120136101521283612345678車1111111（3）11的乘方的乘方 110= 1 111= 1 1 112= 1 2 1 113=1 3 3 1 11的乘方至114時，仍滿足帕斯卡三角形的形式115由于會進位，所以并不能對應帕斯卡三角形第六行的數(shù)字1、5、10、10、5、1 (4)二項式(1+a)0=1 (1+a)1=1+a (1+a)2=1+2a+a2 (1+a)3=1+3a+3a2+a3 (1+a)4=1+4a+6a2+