電路原理課件-拉普拉斯變換

1、頻域分析法頻域分析法時域分析法時域分析法復(fù)頻域分析法復(fù)頻域分析法線性動態(tài)電線性動態(tài)電路的求解方路的求解方法法第九章第九章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 建立電路的建立電路的輸入輸入- -輸出方程輸出方程，求解滿足，求解滿足給定初始條件的解。給定初始條件的解。 將時域變到頻域（將時域里的微分方程將時域變到頻域（將時域里的微分方程化為化為相量代數(shù)方程相量代數(shù)方程）進(jìn)行分析，再返回時域。進(jìn)行分析，再返回時域。 將時域變到復(fù)頻域（將時域里的微分將時域變到復(fù)頻域（將時域里的微分方程化為方程化為復(fù)頻域函數(shù)的代數(shù)方程）復(fù)頻域函數(shù)的代數(shù)方程）進(jìn)行分進(jìn)行分析，再返回時域。析，再返回時域。本章知識要點(diǎn)本章知識要點(diǎn)拉普

2、拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本概念拉普拉斯變換的基本概念拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換拉普拉斯拉普拉斯變換變換反變換公式反變換公式拉普拉斯變換表拉普拉斯變換表部分分式展開部分分式展開 拉普拉斯變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時拉普拉斯變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時間函數(shù)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，變換為復(fù)頻域問題，把時間域的高階微分方程變換為復(fù)頻把時間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的域的代數(shù)方程代數(shù)方程以便求解。以便求解。熟悉的變換熟悉的變換9 1 拉普拉斯變換拉普拉斯變

3、換一、拉普拉斯變換簡介一、拉普拉斯變換簡介相量法相量法1212 iiiIII正正弦弦量量相相 量 量把時域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算把時域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算對應(yīng)對應(yīng)拉氏變換：拉氏變換： 時域函數(shù)時域函數(shù)f( (t t)()(原函數(shù)原函數(shù)) )復(fù)頻域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù)F(s(s)()(象函數(shù)象函數(shù)) )因果函數(shù)因果函數(shù)(causal function) f ( t )僅存在于僅存在于t 0的時間區(qū)間的時間區(qū)間 0)()(dtetfsFst如果如果f(t)存在于整個時間區(qū)間，則用存在于整個時間區(qū)間，則用f(t)(t) 表示因果函數(shù)。表示因果函數(shù)。s = + j , 稱為復(fù)頻率稱為復(fù)頻率(compl

4、ex frequency) F(s)稱為稱為(t)的的象函數(shù)象函數(shù)、(t)稱為稱為F(s)的的原函數(shù)原函數(shù)。從從(t)到到F(s)變換稱為變換稱為拉普拉斯正變換拉普拉斯正變換 (Laplace transform) 二、拉普拉斯變換的定義二、拉普拉斯變換的定義拉普拉斯正變換拉普拉斯正變換= = f(t) 用符號用符號 表示對方括號里的表示對方括號里的時域函數(shù)時域函數(shù)作拉氏變換。作拉氏變換。象象函數(shù)函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)象函數(shù)F(s) 存在的條件存在的條件:積分的結(jié)果不再是積分的結(jié)果不再是 t 的函數(shù)，而是的函數(shù)，而是s的函的函 數(shù)。數(shù)。拉氏變換是把拉氏變換是把一個時間域的函數(shù)一個時間域的函數(shù)f

5、(t)變換到變換到 s 域內(nèi)的復(fù)變函數(shù)域內(nèi)的復(fù)變函數(shù)F(s)。變量變量 s 稱為復(fù)頻率。應(yīng)用拉氏變換法進(jìn)行電路分析稱為電稱為復(fù)頻率。應(yīng)用拉氏變換法進(jìn)行電路分析稱為電路的一種路的一種復(fù)頻域分析方法，又稱運(yùn)算法。復(fù)頻域分析方法，又稱運(yùn)算法。 拉氏變換的積分從拉氏變換的積分從t=0-開始，可以計及開始，可以計及t=0時時f(t)包含的沖包含的沖激的情況，從而給計算存在激的情況，從而給計算存在沖激函數(shù)沖激函數(shù)電壓和電流的電路帶來電壓和電流的電路帶來方便。方便。 0)()(dtetfsFst= = f(t) 0( )stf t edt 如果如果F(s)已知，要求出與它對應(yīng)的原函數(shù)已知，要求出與它對應(yīng)的原

6、函數(shù)(t)，由由F(s)到到(t)的變換稱為的變換稱為拉氏反變換拉氏反變換，它定義為，它定義為 jj)(j 21)(cct sdsesFtf拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換= 1F(s) 式中式中c為正的有限常數(shù)。用符號為正的有限常數(shù)。用符號 1 表示對方表示對方括號里的括號里的復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)作拉氏反變換。作拉氏反變換。 (inverse Laplace transform) 例例1 求單位階函數(shù)求單位階函數(shù) ( t )的拉普拉斯象函數(shù)。的拉普拉斯象函數(shù)。 0 0 sedtet st s解解: :收斂域為收斂域為s平面的右半平面平面的右半平面 0 dtettt s)()(1 ( )ts二、典型函

7、數(shù)的拉普拉斯變換二、典型函數(shù)的拉普拉斯變換dtetdtetstst)()(000s1 tjttjt seeee )(tsintcost jej 0sRe 0( )stf t edt 例例2 求單位沖激函數(shù)求單位沖激函數(shù) (t)的拉普拉斯象函數(shù)。的拉普拉斯象函數(shù)。 解解: :收斂域包括整個收斂域包括整個s平面。平面。 0 dtettt s)()( ( )1t dtetdtett st s000)()(10tt se 例例3 求單邊指數(shù)函數(shù)求單邊指數(shù)函數(shù)eat(t) （a為復(fù)常數(shù)）的拉普拉為復(fù)常數(shù)）的拉普拉斯象函數(shù)。斯象函數(shù)。 0( )( )atstF set edtas 1解：解：()01()s

8、 a tesadttetas)(0)( Re s = Re a 1( )atetsadttedttetastas)()()()(0009 2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1. 線性組合定理線性組合定理(Linear combination theorem) 例例1 求求cos t (t)及及sin t (t)的拉普拉斯象函數(shù)。的拉普拉斯象函數(shù)。 解：解：22111()2jjssss同理可得同理可得 af1(t) bf2(t)=a f1(t) b f2(t) jj11cos( ) ( )( )22ttttetet )( 21)( 21jjtetett 22sin( )tts 2.

9、 微分定理微分定理 (differentiation theorem) * *證明：證明： )0()( )( ftfstfdtd 0 0 0 )( )()(t st st sdetftfetdfe 0 0 )( )(dtetfstfet st s由于由于lim( )0sttef t 由分部積分法由分部積分法 0 0( )( )( )ststddf tef t dtedf tdtdt )0()( )( ftfstfdtd f(t) vduuvudv微分定理可以推廣至求原函數(shù)的二階及二階以上導(dǎo)數(shù)的微分定理可以推廣至求原函數(shù)的二階及二階以上導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換，即拉普拉斯變換，即 2 ( )(0 )(

10、0 )sf tsff )0()0()( )(22 fftfsstfdtd 12(1)( ) ( )(0 )(0 ) (0 )nnnnnndf tsf tsfsfdtf 解：解：dttdt)()( 例例2 已知已知 ，求，求 、st1)( )( t )( t 11 )()( )( )(0 ssttsdttdtt ststt )(1)( 0 例例3 某動態(tài)電路的輸入某動態(tài)電路的輸入 輸出方程為輸出方程為 )()()()()(010122tebtedtdbtratrdtdatrdtd 響應(yīng)及其一階導(dǎo)數(shù)的原始值分別為響應(yīng)及其一階導(dǎo)數(shù)的原始值分別為r(0 )及及r (0 )，激勵函數(shù)的，激勵函數(shù)的原始值

11、原始值e(0 )=0。求響應(yīng)的象函數(shù)。求響應(yīng)的象函數(shù)。 解：解： )()0()()()0()()0()0()(01012sEbessEbsRarssRarsrsRs 令激勵和響應(yīng)的象函數(shù)分別為令激勵和響應(yīng)的象函數(shù)分別為 )0(1)0()()(012012101201 rasasrasasassEasasbsbsR)()()0()0()()()(011012sEbsbrrassRasas 代入代入e(0 ) = 0后整理得后整理得 ( ) E se t () ()( ) R sr t () ()3. 積分定理積分定理(integration theorem) 證明：證明： )( 1)( 0 tf

12、sdttft )( )( 0 tfdttfdtdt )( )()( 0 0 0 tfdttfdttfsttt )( 1)( 0 tfsdttft 例例4 求求nsss11132、的原函數(shù)。的原函數(shù)。 解：解：)()( 0 ttdttt st1)( 2 0 1)( 1)( )(stsdttttt )(121tts 3 0 21)( 1)( )(2sttsdtttttt )(!21231tts 同理同理nnstnt1)()!1(1 )()!1(111tntsnn 4. 時域位移定理時域位移定理 (time-shift theorem) dtettttft s )()(00 0 證明：證明： dte

13、ttttft st )()(00 0 )()()(00 0 sFet dettfet st st s 0 ttt 令令t ddtttt 0 則則 )()()(000sFettttft s )()(00ttttf t dettfttttftts )( 0 000)()()()( 延遲因子延遲因子0ste 例例51Ttf(t)()()(Ttttf TsesssF 11)(TTf(t)()()(Tttttf 221)(sessFTs )()()()()(TtTTtTttttf TsTsesTesssF 2211)(例例6求矩形脈沖的象函數(shù)求矩形脈沖的象函數(shù)解解根據(jù)延遲性質(zhì)根據(jù)延遲性質(zhì)求三角波的象函數(shù)

14、求三角波的象函數(shù)解解解：解：)2()(2)()(000 tUtUtUtu)21( 1121)(202000 sssseesUseUseUsUsU 例例7 求求u(t)的拉普拉斯象函數(shù)的拉普拉斯象函數(shù)U(s)。 2000)( )( 2)( )(ssetUetUtUtu 5. 初值定理與終值定理初值定理與終值定理 （1）初值定理）初值定理(initial-value theorem) )(lim)0(ssFfs 證明：證明： dtedtdffssFst 0 )0()( )0()( 0 fssFdtedtdfst 0(0 )(0 )stdfffedtdt dtedtdfdtedtdfstst 0 0

15、 0 dtedtdffssFst 0 )0()()0()(lim fssFs（2）終值定理）終值定理(final-value theorem) )(lim)(lim0ssFtfst 證明：證明： 0( )( )limlimtsf tsF s 利用初值定理和終值定理，根據(jù)已知的象函數(shù)利用初值定理和終值定理，根據(jù)已知的象函數(shù)F(s)可直接在復(fù)頻域中確定其對應(yīng)原函數(shù)可直接在復(fù)頻域中確定其對應(yīng)原函數(shù)f(t)的初值的初值和終值。和終值。000lim( )lim( )(0 )stssdf t edtsF sfdt 0lim( )(0 )ssF sf 00( )limstsdf tedtdt 0( )( )

16、(0 )f tff 111( )1(1)F ssss s例例8 設(shè)設(shè) )()()(tetft 1驗證初值定理和終值定理。驗證初值定理和終值定理。解：解： 1(0 )( )0limlim1ssfsF ss 0(0 )10f-e 又有又有 001( )( )1limlimlim1tssf tsF ss ( )11limtf t-e由初值定理可得由初值定理可得由終值定理可得由終值定理可得例例9 采用拉氏變換求電容器對電阻放電時的電容電壓采用拉氏變換求電容器對電阻放電時的電容電壓uC(t) t 0+( )( )0ccdu tRCu tdt00( )11CRCUUUsRCssRC 0)0(Uuc 0(

17、)tRCcu tU e ( )( )0CCdutRCutdt ( ) ( )( )(0 )( )0CCCCCdutRCutRC sUsuUsdt 驗證初值定理和終值定理驗證初值定理和終值定理0( )1CUUssRC 0( )tRCcu tU e 00(0 )( )=limlim1CCsssUusUsUsRC 000( )( )=0limlim1CCsssUusUssRC 6. 時域卷積定理時域卷積定理 (time domain convolution theorem) 證明證明： ddtetfft s 0 2 0 1 )()( )()()()(2121sFsFtftf defsFs )()(

18、0 12)()(21sFsF dtedtfftftft s )()()()( 0 21 0 21 0 21 )()( desFfs例例10 已知：已知：)()()(11tttttf求求 解：解：)()()()()(11112221ssessesssFsFss)(*)(tftf21ssesesstfsF111 2211)()()()(tetft211 22stfsF)()()(*)(tftf21 dteLethtutitLRta)(1)()(*)()()(0 例例11 設(shè)一個設(shè)一個RL串聯(lián)電路中的激勵電壓為串聯(lián)電路中的激勵電壓為 )()(tetuat 電流的沖激響應(yīng)為電流的沖激響應(yīng)為 )(1)(

19、teLthtLR ，而電路，而電路。求此電路電流的零狀態(tài)響應(yīng)。求此電路電流的零狀態(tài)響應(yīng)。 解解1：直接在時域內(nèi)求解，則有：直接在時域內(nèi)求解，則有解解2：利用時域卷積定理，在復(fù)頻域內(nèi)求解：利用時域卷積定理，在復(fù)頻域內(nèi)求解)(11)()()(LRsLassHsUsI )11()(1LRsasaLRL )()()()()(teeaLRLsItitLRat1 1astusU1 )()(LRsLthsH11 )()(拉普拉斯反變換簡表拉普拉斯反變換簡表象函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)1ss2( ) t( ) t( ) t1s( ) t21s( )tt1sa( )atet21()sa( )attet22ssin(

20、 )tt 22sscos( )tt 22()sasin( )atett 22()sasacos( )atett 9 3 進(jìn)行拉普拉斯反變換的部分分式展開法進(jìn)行拉普拉斯反變換的部分分式展開法 用拉氏變換求解線性電路的時域響應(yīng)時，需要把求得的用拉氏變換求解線性電路的時域響應(yīng)時，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式利用公式(2)對簡單形式的對簡單形式的F(S)可以查拉氏變換表得原函數(shù)可以查拉氏變換表得原函數(shù)(3)把把F(S)分解為簡單項的組合分解為簡單項的組合部分分式部分分式展開法展開法 jj)

21、(j 21)(cct sdsesFtf)()()()(2sFsFsFsFn1 )()()()(21tftftftfn 部分分式展開法部分分式展開法(partial fraction expansion method)01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmm F(s)為有理真分式為有理真分式(即即 mn) ，否則，否則)()()()()()(sDsRsQsDsNsF 電路理論中常見的響應(yīng)函數(shù)的象函數(shù)往往是電路理論中常見的響應(yīng)函數(shù)的象函數(shù)往往是有理函數(shù)有理函數(shù)象函數(shù)的一般形式：象函數(shù)的一般形式：(1) 只具有單極點(diǎn)的有理函數(shù)的反變換只具有單極點(diǎn)的有理函數(shù)

22、的反變換)()()()()()()(1nknssssssasNsDsNsF nnkkssAssAssAsF11)(ksskksFssA )()( nktsknkkkteAssAsFtfk1111)( )( )( )(kss)(kss)(kss)(kss解：解：5252121071232123sAsAsAsssssssssF)()(1 . 0521)5)(2(12)(011 ssssssssFA503235221225122222.)()()()()()()()(sssssssFsA60 3592551522125533.)()()()()()()()(sssssssFsA )()6 . 05

23、. 01 . 0(56 . 025 . 01 . 0 )( )(5211teessssFtftt 例例1. 已知象函數(shù)為已知象函數(shù)為sssssF1071223)(，求相應(yīng)的原函數(shù)，求相應(yīng)的原函數(shù)f(t)。例例2已知某象函數(shù)為已知某象函數(shù)為 )52)(1(3)(2 sssssF求相應(yīng)的原函數(shù)求相應(yīng)的原函數(shù)f (t)。解法一：解法一：先求分母二次式為零的根先求分母二次式為零的根0522 ss23222j12j124 j225422sss解得解得象函數(shù)象函數(shù)F(s)的部分分式展開式為的部分分式展開式為 )()()(2j12j113sssssF2j12j11321sAsAsA一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根2

24、j122j1132j12sssssssFsA)()()()()()()(4j2j2j22j12j112j132j14j22501 j1250e.)(.32j13sssFsA)()(24j2250Ae.5 . 05)1(2)1(31 523)()1(21211 sssssssFsA各部分分式的系數(shù)分別為各部分分式的系數(shù)分別為 共軛復(fù)根的系數(shù)為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)根的系數(shù)為共軛復(fù)數(shù)jj(1 j2)(1 j2)440.5( )0.25 2( )0.25 2( )tttete eteet )()42cos(25 . 0)(5 . 0ttetett 1( ) ( )f tF s jj4410.50.25 20

25、.25 2 11j21j2eesss 歐拉公式歐拉公式解法二：解法二：152)52)(1(3)(22 scssbassssssF 若能判斷分母中二次式等于零的根為共軛復(fù)根時，可展開若能判斷分母中二次式等于零的根為共軛復(fù)根時，可展開為為a = 0.5 b = 0.5 c = 0.5通分后比較兩端分子多項式系數(shù)可求得通分后比較兩端分子多項式系數(shù)可求得 15 . 02)1(5 . 05 . 015 . 0525 . 05 . 0)(222 ssssssssF則則查表查表9-2-1 P318)(5 . 0)(2sin2)5 . 0(5 . 02cos5 . 0tettetettt )()42cos(2

26、5 . 0)(5 . 0ttetett )( )(1sFtf 15 . 02)1(5 . 05 . 015 . 0525 . 05 . 0)(222 ssssssssF(2) 具有多重極點(diǎn)的有理函數(shù)的反變換具有多重極點(diǎn)的有理函數(shù)的反變換 qnssssasNsDsNsF)()()()()(21 qqssAssAssAssAsF)()()(22222222111 1)()(11sssFssA 2)()(22ssqqsFssA 2)()(2)1(2ssqqsFssdsdA 2)()(! 21222)2(2ssqqsFssdsdA 2)()()!1(12)1()1(21ssqqqsFssdsdqA )

27、()!1(1)(211222211tetAqtAAteAtsqqts qqssAssAssAssAsFtf)()( )( )(2222222111112222111s1ss)()(AAA)()()(tfssssF的原函數(shù)的原函數(shù)求：求：2144140201ssssssFA)()(34111222sssssFsA)()(12211ssFsdsdA)()(441sssdsd例例3解解 )()(ssssF)()()()()()(tettssssFtft344 13144 2112323232)200(1014010002)1040400(1014010002)( ssssssssssF解：解：222

28、211)200(200 sAsAsA1233122021000140 10140 10( )3.5(200)(200)s ssssAsF ss 10020010140)200(1000)200(21014010002)()200(32200322222 sssssssFsA例例4 已知某象函數(shù)已知某象函數(shù) ssssssF3233210404001014010002)( 求相應(yīng)的原函數(shù)求相應(yīng)的原函數(shù)f (t)。5 . 1)200(101402101402)1014010002()()200(2320023200322212 ssssssssdsdsFsdsdA2)200(1002005 . 15 . 3)( ssssF )()1005 . 1()(5 . 3 )200(1002005 . 15 . 3 )( )(200211tettssssFtft 例例5 已知：已知：求求 解：解：)()()()()(11112221ssessesssFsFss)(*)(tftf21)()()(*)(sFsFtftf21121 )()()(1 1 11 12121ssessessss)()(tetssssst11111 112121)(*)(tftf21)()()()()()(11 111111tetettetttt)()()(