學(xué)案20 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、學(xué)案20函數(shù)yAsin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解函數(shù)yAsin(x)的物理意義；能畫(huà)出yAsin(x)的圖象，了解參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題自主梳理1用五點(diǎn)法畫(huà)yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫(huà)yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示XxyAsin(x)0A0A02.圖象變換：函數(shù)yAsin(x) (A>0，>0)的圖象可由函數(shù)ysin x的圖象作如下變換得到：（1）相位變換：ysin xysin(x)，把ysin x圖象上所有的點(diǎn)向_(&

2、gt;0)或向_(<0)平行移動(dòng)_個(gè)單位（2）周期變換：ysin (x)ysin(x)，把ysin(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)_(0<<1)或_(>1)到原來(lái)的_倍(縱坐標(biāo)不變)（3）振幅變換：ysin (x)yAsin(x)，把ysin(x)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)_(A>1)或_(0<A<1)到原來(lái)的_倍(橫坐標(biāo)不變) 3當(dāng)函數(shù)yAsin(x) (A>0，>0)，x(，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，則_叫做振幅，T_叫做周期，f_叫做頻率，_叫做相位，_叫做初相函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為_(kāi)yAtan(x)的最小正周期為_(kāi)自我檢測(cè)1(2011

3、3;池州月考)要得到函數(shù)ysin的圖象，可以把函數(shù)ysin 2x的圖象()A向左平移個(gè)單位B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位D向右平移個(gè)單位2已知函數(shù)f(x)sin (xR，>0)的最小正周期為.將yf(x)的圖象向左平移|個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的一個(gè)值是 ()A.B.C.D.3已知函數(shù)f(x)sin(x)(xR，>0)的最小正周期為，為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象 ()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度4(2011·太原高三調(diào)研)函數(shù)ysin的一條對(duì)稱軸方程是 ()AxBxCxDx5

4、(2011·六安月考)若動(dòng)直線xa與函數(shù)f(x)sin x和g(x)cos x的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為 ()A1 B. C. D2探究點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及變換例1已知函數(shù)y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)說(shuō)明y2sin的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到變式遷移1設(shè)f(x)cos2xsin xcos xsin2x (xR)(1)畫(huà)出f(x)在上的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間；(3)如何由ysin x的圖象變換得到f(x)的圖象？探究點(diǎn)二求yAsin(x)的解析式例2已知函數(shù)f(x)Asin

5、(x) (A>0，>0，|<，xR)的圖象的一部分如圖所示求函數(shù)f(x)的解析式變式遷移2(2011·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)若銳角滿足cos ，求f(4)的值探究點(diǎn)三三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3已知海灣內(nèi)海浪的高度y(米)是時(shí)間t(0t24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作yf(t)下表是某日各時(shí)刻記錄的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51

6、.01.51.00.50.991.5經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，yf(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)yAcos tb.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)yAcos tb的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午800至晚上2000之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？變式遷移3交流電的電壓E(單位：伏)與時(shí)間t(單位：秒)的關(guān)系可用E220sin表示，求：(1)開(kāi)始時(shí)的電壓；(2)最大電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；(3)電壓的最大值和第一次取得最大值時(shí)的時(shí)間數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例(12分)設(shè)關(guān)于的方程cos sin a0在區(qū)間(0,2)內(nèi)

7、有相異的兩個(gè)實(shí)根、.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求的值【答題模板】解(1)原方程可化為sin()，作出函數(shù)ysin(x)(x(0,2)的圖象3分由圖知，方程在(0,2)內(nèi)有相異實(shí)根，的充要條件是.即2<a<或<a<2.6分(2)由圖知：當(dāng)<a<2，即(1，)時(shí)，直線y與三角函數(shù)ysin(x)的圖象交于C、D兩點(diǎn)，它們中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.8分當(dāng)2<a<，即(，1)時(shí)，直線y與三角函數(shù)ysin(x)的圖象有兩交點(diǎn)A、B，由對(duì)稱性知，.11分綜上所述，或. 12分【突破思維障礙】在解決三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)(

8、量)與圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究，可使抽象復(fù)雜的數(shù)理關(guān)系通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái)，這是解決三角函數(shù)問(wèn)題的一種有效的解題策略圖象的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：比較大??；求單調(diào)區(qū)間；解不等式；確定方程根的個(gè)數(shù)如判斷方程sin xx的實(shí)根個(gè)數(shù)；對(duì)稱問(wèn)題等【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】此題若不用數(shù)形結(jié)合法，用三角函數(shù)有界性求a的范圍，不僅過(guò)程繁瑣，而且很容易漏掉a的限制，而從圖象中可以清楚地看出當(dāng)a時(shí)，方程只有一解1從“整體換元”的思想認(rèn)識(shí)、理解、運(yùn)用“五點(diǎn)法作圖”，尤其在求yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間、解析式等相關(guān)問(wèn)題中要充分理解基本函數(shù)ysin x的作用2三角函數(shù)自身綜合問(wèn)題：要以課本為主，充分掌握公式之間的內(nèi)在聯(lián)系

9、，從函數(shù)名稱、角度、式子結(jié)構(gòu)等方面觀察，尋找聯(lián)系，結(jié)合單位圓或函數(shù)圖象等分析解決問(wèn)題3三角函數(shù)模型應(yīng)用的解題步驟：(1)根據(jù)圖象建立解析式或根據(jù)解析式作出圖象(2)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型(3)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1將函數(shù)ysin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是 ()Aysin xBysinCysinDysin2(2011·銀川調(diào)研)如圖所示的是某函數(shù)圖象的一部分，則此函數(shù)是 ()Aysin

10、BysinCycosDycos3為得到函數(shù)ycos的圖象，只需將函數(shù)ysin 2x的圖象 ()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度4(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)Acos(x)(A>0，>0)的圖象如圖所示，f()，則f(0)等于 ()ABC.D.5(2011·煙臺(tái)月考)若函數(shù)yAsin(x)m(A>0，>0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對(duì)稱軸，則它的解析式是 ()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2Dy2sin2題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6

11、已知函數(shù)ysin(x) (>0，<)的圖象如圖所示，則_.7(2010·濰坊五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)cos 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)的圖象，則g(x)_.8(2010·福建)已知函數(shù)f(x)3sin (>0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對(duì)稱軸完全相同若x，則f(x)的取值范圍是_三、解答題(共38分)9(12分)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<，xR)的圖象的一部分如下圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當(dāng)x6，時(shí)，求函數(shù)yf(x)f(x2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值10(12分)已知函

12、數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，0<2且0)是R上的偶函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)M(0,2)又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱且在區(qū)間0，上是減函數(shù)，求f(x)的解析式11(14分)(2010·山東)已知函數(shù)f(x)sin(x)·cos xcos2x (>0)的最小正周期為，(1)求的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)yg(x)在區(qū)間上的最小值答案 自主梳理1.022.(1)左右|(2)伸長(zhǎng)縮短(3)伸長(zhǎng)縮短A3.Ax自我檢測(cè)1B2.D3.A4.D5.B課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)作三角函數(shù)圖象的基

13、本方法就是五點(diǎn)法，此法注意在作出一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖后，應(yīng)向兩邊伸展一下，以示整個(gè)定義域上的圖象；(2)變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用x來(lái)確定平移單位解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表：XX02ysin X01010y2sin02020描點(diǎn)連線，得圖象如圖所示：(3)將ysin x的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到

14、y2sin的圖象變式遷移1解y·sin 2x·1sin 2xcos 2x1sin.(1)(五點(diǎn)法)設(shè)X2x，則xX，令X0，2，于是五點(diǎn)分別為，描點(diǎn)連線即可得圖象，如下圖(2)由2k2x2k，kZ，得單調(diào)增區(qū)間為，kZ.由2k2x2k，kZ，得單調(diào)減區(qū)間為，kZ.(3)把ysin x的圖象向右平移個(gè)單位；再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)；最后把所得圖象向上平移1個(gè)單位即得ysin1的圖象例2解題導(dǎo)引確定yAsin(x)b的解析式的步驟：(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b.(2)求.確定函數(shù)的周期T，則.(3)求參數(shù)是本題的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求時(shí)，一定要

15、分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn)解由圖象可知A2，T8.方法一由圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)，得2sin2，sin1.|<，f(x)2sin.方法二點(diǎn)(1,2)對(duì)應(yīng)“五點(diǎn)”中的第二個(gè)點(diǎn)×1，f(x)2sin.變式遷移2解(1)由題意可得：A2，2，即4，f(x)2sin，f(0)2sin 1，由|<，.f(x)2sin(x)f(x0)2sin2，所以x02k，x04k (kZ)，又x0是最小的正數(shù)，x0.(2)f(4)2sinsin 2cos 2，cos ，sin ，cos 22cos21，sin 22sin cos ，f(4)×.例3解題導(dǎo)引(1)三角函數(shù)模型在實(shí)際中的

16、應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是已知函數(shù)模型，如本例，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則，二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是建模(2)如何從表格中得到A、b的值是解題的關(guān)鍵也是易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)第二問(wèn)中解三角不等式也是易錯(cuò)點(diǎn)(3)對(duì)于三角函數(shù)模型yAsin(x)k (A>0，>0)中參數(shù)的確定有如下結(jié)論：A；k；由特殊點(diǎn)確定解(1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T12，由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1.0，A0.5，b1，ycos t1.(2)由題知，當(dāng)y>1時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放，cos t1>

17、1，cos t>0，2k<t<2k，kZ，即12k3<t<12k3，kZ.0t24，故可令中的k分別為0,1,2，得0t<3，或9<t<15，或21<t24.在規(guī)定時(shí)間上午800至晚上2000之間，有6個(gè)小時(shí)的時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午900至下午300.變式遷移3解(1)t0時(shí)，E220sin 110(伏)(2)T0.02(秒)(3)當(dāng)100t，t秒時(shí)，第一次取得最大值，電壓的最大值為220伏課后練習(xí)區(qū)1C2.D3.A4.C5.D6.7sin 2x8.9解(1)由圖象知A2，T8，.(2分)又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，2sin()0.|<，.f(x)2sin(x)(5分)(2)yf(x)f(x2)2sin(x)2sin(x)2sin(x)2cosx.(8分)x6，x.當(dāng)x，即x時(shí)，yf(x)f(x2)取得最大值；當(dāng)x，即x4時(shí)，yf(x)f(x2)取得最小值2.(12分)10解根據(jù)f(x)是R上的偶函數(shù)，圖象過(guò)點(diǎn)M(0,2)，可得f(x)f(x)且A2，則有2sin(x)2sin(x)，即sin xcos 0，cos 0，即k (kZ)而0，.(4分)再由f(x)2s