八上第8-15講差第12講

1、因式分解二目標(biāo)一復(fù)習(xí)因式分解的基本方法目標(biāo)二掌握十字相乘法和主元法模塊一復(fù)習(xí)知識(shí)導(dǎo)航把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍（如有理數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為有理數(shù)）化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的積的形式，這種變形叫因式分解，也叫作分解因式。在數(shù)學(xué)求根作圖方面有很廣泛的應(yīng)用。因式分解是代數(shù)式恒等變形的基礎(chǔ)之一，方法眾多，相應(yīng)的訓(xùn)練對(duì)學(xué)生的代數(shù)能力提升較為明顯?；镜姆纸夥椒ㄓ校?提公因式2公式法3十字相乘常見(jiàn)分解技巧有：1主元法2換元法3拆添法4雙十字相乘法5分組高端分解方法有：1因式定理2待定系數(shù)3輪換對(duì)稱例1分解因式(1) 12a2xa+ Gabx- 15acx2 12ax3+6abx2y _15acx2(2) 2a2

2、b(x+y)2(b +c) 6a3b3(x +y)(b+c)22Mb(x+y尸(fc- 6b*(x +冊(cè) + C)*;(3) 9(m-n)2 -4(m+n)2 二-二一.二一-一(4) 9x2 -24xy +16 y2財(cái)-24xy+16 泊(5) ac2 +bd2 ad2 -bc2 就士 +一壯-bC”練分解因式：2m 12m 1(1) (pq)+(qp)(2) 9x5 -72x2y3(3) xy -x - y +1(4) ab(c2 -d2) -(a2 -b2)cd模塊二十字相乘知識(shí)導(dǎo)航先看一個(gè)乘法公式 - - - - (x a)(x - b) =x2 (a b)x -ab利用這個(gè)乘法公式，

3、我們可以得到分解形如X2 + px + q x2 + px +q的二次三項(xiàng)式的方法：如果可以找到兩個(gè)數(shù)a、b,使得常數(shù)項(xiàng)為兩者的積，同時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)為兩者的和即ab= q, a+b= p，那么我們就可以把x2 +px +qx-px+q 分解因式：x2 +px+q= (x+a)(x+b)”+ px +q = x+a)(x+b)。例2分解因式(1)(+ 5x + 6x2+5x 6 X2-6x+8x2 -6x +8(3)x2 -x -6X； -x-6；因式分解(1) -x2-2x+822(2) x -20xy +64y例3分解因式：2(1) 3a 7a6;2(2)5x +12x 9 ;練(1) -6x

4、211x+7;2(2) 32 -12x -27x ；例4分解因式：42. 一(1) x +7x -30 ;.2(2) (x+y) - 4 (x+y) 12;(3) (x2 + 4x+8) 2+3x (x2+4x+ 8) +2x2;.2(4) kx + (2k3) x+k3.拓分解因式：(1) x4-x (a2+ 1) + a2；23） x （ a b c） x（a b） c;4） mx2（m2 m 1 ） x m2 m.模塊三主元法知識(shí)導(dǎo)航在對(duì)含有多個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式進(jìn)行分解時(shí)，可以選其中的某一個(gè)未知數(shù)為主元，把其他未知數(shù)看成是字母系數(shù)進(jìn)行因式分解。例5分解因式：（ 1） 2a2 b2 ab b

5、c 2ac;2） a2b ab2 ac2 3abc b2c bc2.練分解因式：（1） 1ab cabacabc;（2） a（6a11b4） b（3b1）2.拓分解因式：(1) (a+b) c3 (a2+ab+b2) c2 + a2b2;(2) 2a2b2+ I0a2b-3ab2- I5ab 18a b25b 6.模塊四 雙十字知識(shí)導(dǎo)航考慮x2+2xy3y2+3x+y+ 2的因式分解；如果只有二次項(xiàng) x2+ 2xy3y2,如圖(1),那么 x2+ 2xy- 3y2= (xy) (x+3y)如果沒(méi)有含y的項(xiàng)，如圖 如果沒(méi)有含x的項(xiàng)，如圖(1)(2)(3)2),那么對(duì)于多項(xiàng)式 x2+3x + 2=

6、 (x+1) (x+2)23),那么對(duì)于多項(xiàng)式 3y+y+2= ( y+1) (3y + 2)把以上三個(gè)算式“拼”在一起，寫(xiě)成(4)22.便得到所需要的分解：x + 2xy- 3y + 3x+ y+ 2= (x y+1)(例6(1) 4x2 -14xy+6 y2-7x+y-222(2) x +2xy _3y +3x+y+2，一、22(3) 6x 5xy6y +2x+23y202_2_(4) 2x -7xy+6y +2xy12練分解因式：(1) x2 _y2+5x+3y+4(2) x2 -6xy+9y2 5xz + 15yz+6z2拓222已知：a、b、c 為二角形的二條邊，且 a +4ac+3

7、c 3ab7bc+2b =0,求證：2b= a+c因式分解（1）3b2 -12b 122.一 2一(2) x 4x12,、2_ 一(4) x -5x _62(5) x ，7x -62_ 一(6) x -7x 6 2(x2 3ab)+x(4a 3b)2(8 ) 7x - 3y xy - 21x(3 ) x _5x _6.223(9 ) 1+ (b a )x -abx22(10) x -3xy -10y +x+9y2 ；(11) x2 +xy -2y2 -x +7y -6 ；22(13)a +ab _6b +5a+35b 36 ;因式分解因式定理：如果x = a時(shí)，多項(xiàng)anxn+anxn°

8、; +，aix+a0的值為0,那么xa是該多項(xiàng)式的一個(gè)因式。特別的，如果多項(xiàng)式的系數(shù)的和等于0,那么1 一定它的根：如果多項(xiàng)式的偶次項(xiàng)系數(shù)的和減去奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于0,那么_1 一定是它的根.多項(xiàng)式有理根的性質(zhì)有理根c=E的分子p是常數(shù)項(xiàng)a0的因數(shù)，分母q是首項(xiàng)系數(shù)an的因數(shù).q32例如：分解因式：2x -x -5x -2.解析：a0=-2的因數(shù)是±1J2,an =2.一._ ,. _一 一 ,1因此，原式的有理根只可能是±1, ±2(分母為1), ±2因?yàn)開(kāi)1是f (x )的一個(gè)根，從而 x+1是f (x )的因式，這里我們可以利用整式除法，此時(shí)一般將

9、被除式按未知數(shù)的降募排列，沒(méi)有的補(bǔ)0;2x2 = 3x二 2x 1 2x3x2 -5x-2c 3 c 22x 2x-3x2 -5x-3x2 -5x-2x -2-2x -20可得原式=2x2 -3x -2 x 1 = x -2 2x 1 x 1練習(xí)：因式分解(1) 3x3 -5x2 +x +1 ； (2) 6x4 +5x3 +3x2 -3x -2.領(lǐng)先中考培優(yōu)課程MATHEMATICS因式4解（三）9知識(shí)目標(biāo)目標(biāo)一掌握因式分解之拆添項(xiàng)法目標(biāo)二掌握因式分解之換元法拆添項(xiàng)法知識(shí)導(dǎo)航拆項(xiàng)即把多項(xiàng)式中的某項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或差，添項(xiàng)即把代數(shù)式添上兩個(gè)符號(hào)相反的項(xiàng).因此，因式分解中進(jìn)行拆添項(xiàng)的目的是相同的，即

10、經(jīng)過(guò)拆項(xiàng)或添項(xiàng)后，多項(xiàng)式能恰當(dāng)分組，從從而可以運(yùn)用分組分解法來(lái)因式分解.配方法則是一種特殊的添項(xiàng)法.因式分解:(2) 4x2 4x y2+4y3 ；(3) x4+ x2y2+y4；x8+ x4+1;(5) x4- 7x2y2+81y4；(6) x4- 2(a2+ b2)x2+ (a2b2)2；(7) a4- b4-c4+ 2a2b2+ 2b2c2 + 2c2a2；分解因式： x4+4y4;(3) x4 3x2+1;(4) (1 + y) 2-2x2(1 +y2) +x4(1 y)2；分解因式：32(1) a+3a+3a+2；(2) a4+ 2a3b+3a2b2 +2ab3+b4；因式分解(1)

11、a3+ 3a2 + 3a+ b3+ 3b2+ 3b+ 2 ；32(2) x + 2x 6 5x；(3) x3+ 3x2 4;(4) x4+ 2x3+3x2+2x+1 .分解因式：一 一3(1) a4a+3；一 一3(2) x9x+8;分解因式(1) x4+ x3+4x2+3x+3;(2) x3+ 6x2+11x+6;【拓】分解因式：432 x+2x 9x 2x+8;(2)(x+ 1)4+(x2- 1)2+(x 1)4；換元法分解因式：(x2+4x+8) 2+3x( x2 +4x+8) + 2x2;分解因式：(x2+5x+7) 2+8x( x2+5x+7) + 15x2;分解因式：，、，2_、

12、，2_ 一、(1) (x +5x+3)( x +5x + 5) + 1;(2) (x2+5x+2)( x2+5x + 3) 12;因式分解：(x2x3)( x2 x5) 3;因式分解：(x+ 1)( x+3)(x+5)( x+7) +15;因式分解：(x 1)( x2)( x3)( x6) +x2;【拓】因式分解：(x2+6x+8)( x2+14x + 48) + 12;因式分解：(6x- 1)(4 x- 1)(3 x- 1)( x 1) + 9x4;因式分解：(x+ 1)(2 x+ 1)(3 x+ 1)(4 x+ 1) +x4;【拓】因式分解：(1) 16(6 x- 1)(2 x- 1)(3

13、 x+ 1)( x- 1) +25;(2)若x, y是整數(shù)，求證：(x +y)( x+2y)( x+3y)( x +4y) + y4是一個(gè)完全平方數(shù).分解因式：(1)x3- 3x2 + 4;因式分解(三)課后作業(yè)(2) x9+ x6+x33;(3) x4 7x2 1；(4) x4 x2 2ax 1 a2；(5) x4 y4 ( x y) 4；2(6) ( x1)( x 2)( x3)( x6) x ；(7) ( x2 xy y2) 2 4xy( x2 y2)；(8) ( a2 1)2 (a2 5)2 4( a2 3)2；(9) (6x 1)(3 x1)(2 x 1)(3 x 2) 10；22(

14、10)(x2 5x 2)( x2 5x 3) 12；(11) (a1)( a2)( a3)( a 4) 24；(12) (6x 1)(2 x 1)(3 x 1)( x 1) +x2;，一、， 2 一一、 ， 2一、_(13) (x +6x+ 8)( x + 14x+48) + 12;數(shù)學(xué)故事待定系數(shù)法：如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等.即，如果 anxn +an°xn+anxnq + +a1x+a0 =bnxn+bnxn+bn/xn + + 匕* + 瓦恒成立，那么an= b, an x =bnx,，a1 = b, a°= b°.待定系數(shù)法的使用前提

15、是知道所需要求的代數(shù)式的形式，根據(jù)代數(shù)式的形式的把不確定的部分設(shè)為未知數(shù)，然后通過(guò)比較系數(shù)得到方程，進(jìn)而求解.【例題】用待定系數(shù)法分解因式：x5+ x+1；【解析】原式的有理根只可能為士 1,但是這2個(gè)數(shù)都不能使原式的值為0,所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒(méi)有(有理系數(shù)的)一次因式.設(shè) x5+ x + 1= (x2+ ax+ 1)( x3+ bx2+ cx+ 1)或 x5+ x 1 = (x2+ ax +1)( x3+ bx2+ cx 1),x5+ x+ 1 = (x2+ ax+ 1)( x3+ bx2+ cx+ 1) =x5+ (a+ b) x4+ ( ab+ c+ 1) x3+ (ac+ b

16、+ 1)x2+(a+c)x+1,a b =0,c ab 1 =0, ac b 1=0, a c =1,a = 1,(x2+x+ 1)( x3 x2+ 1),解彳導(dǎo)也=_1，所以x5+x+1c = 0.事實(shí)上，分解因式是惟一的，所以不用再考慮其它情況.【練】用待定系數(shù)法分解因式：(1) x2+5x + 6;(2) x4-3x-2第十講分式的概念及性質(zhì)知識(shí)目標(biāo)目標(biāo)一：掌握分式的概念和性質(zhì)目標(biāo)二：掌握通分和約分的基本方法目標(biāo)三：掌握分式的化簡(jiǎn)和求值模塊一：分式的概念知識(shí)導(dǎo)航一、分式的定義AA一般地，如果 A B表示兩個(gè)整式，并且 B中含有字母，那么式子 C叫做分式。分式JA中，A叫做分子,BBB叫做

17、分母。二、分式有意義（或分式存在）的條件分式的分母不等于零即 B = 0三.分式的值為零的條件：A -分式在有意義的前提下，分式的分子為零。即當(dāng)A = 0,且B#0時(shí)，=0.B例1 （2015年江岸區(qū)八上期末）o 2, 3_1 .下列代數(shù)式中： _,3a b c,-5,2 +_y ,9x +1° ,其中是分式的有（）a 46 x 7 8 yA2個(gè) B 3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)2 . （2015年江岸區(qū)八上期末）1x2當(dāng)x 時(shí)，分式有意義，當(dāng)x時(shí)，分式X +1有意義；x -2練321x ya a1x212 2 2ba b, 一,，一 ,，x -一，一2,(1)在代數(shù)式4 x 32 bx-1

18、23 3b分式有 個(gè)（2） （2015年武昌區(qū)八上期末）（2015年洪山區(qū)八上期末）當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義？x -12x -12:I 7-2 7（1） x -3（2） 3x+1（3）x -1例2當(dāng)x為何值時(shí)，下列分式的值為零25 -x2(x-5)2x -62x -1 x 3 2(x-6)(x 1) x -168x2(3)(x 4)( X - 1) (4) x 8 (5)練當(dāng)x為何值時(shí)，下列分式的值為零?25 -x25 |x 1(1)(X1)(x5)模塊二：分式的基本性質(zhì)知識(shí)導(dǎo)航一、分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘以（或除以）一共不等0的整式，分式的值不變?nèi)湛?A A B小即一 二（C

19、 = 0）B BxC 。二、約分：利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，叫做分式的約分。分子分母中沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式。三、通分：利用分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，為 了通分，要先確定各分式的公分母。一般取各分母的所有因式的最高次募的積作公分母，它叫做最簡(jiǎn)公分母。題型一基本性質(zhì)例31 .下列式子中，正確的是（）- a - b a - ba - b a ' b -a - b a - bA. = B. = C.=-a - b a bD.=c cc cc2. （2015年江漢區(qū)八上期末）若X, y的值擴(kuò)大為

20、原來(lái)的 3倍,3x - yx-y一 cc- c下列分式的值如何變化？口x y3.不改變分式的值，把分式的分子和分母各項(xiàng)系數(shù)都化成整數(shù)12-x y23y _0.2a -0.03b1x ly0.04a b341 0.4a-b21-a 0.3b52y練1. （2015年武昌區(qū)八上期末）下列分式與分式x相等的是（）2A.當(dāng)B.22yC.義 D.-今x x 2x-x（2）下列各式變形正確的是（）A.1 二x5 25aa b-a b一 二-2 C.=2a 4a-a -ba b0.2x 0.5y _ 2x 5y0.03x 3x5x（3）如果把x + y的x與y都擴(kuò)大10倍，那么這個(gè)代數(shù)式的值（）A.不變。B

21、,擴(kuò)大50倍 C擴(kuò)大10倍1D.縮小到原來(lái)的10題型二約分例4(1)下列分式為最簡(jiǎn)分式的是()22 33ba -bA.B.15a b -a2 x c. 3xD.y253一 二2- 練1.分式6x y與4xyz的最簡(jiǎn)公分母是。)不2.通分 2ab ab cy -x2x 2y(-32b 3a 4ab模塊三分式的基本運(yùn)算知識(shí)導(dǎo)航分式的乘法ac =也b d bLd分式的乘方 b bna . c _ a|_d _ a|d法 b d b c bLc分式的除a b a -b一± =同分母分式相加減c c ca c ad bc ad 二 bc± = ± =異分母分式相加減b d

22、bd bd bd0 指數(shù)募 a° =1(a =0)n 1a =-p(a #0, p為正整數(shù)) 負(fù)整數(shù)指數(shù)募a題型一分式的乘除例612xy .2 1r 8xy3a 16b(1 12計(jì)算： 4b 9a3a -3b一10ab25a2b3a2 -b22 2（4）,汽練計(jì)算_ . 27 c -5abab-3ab t-15ab 14c2cd4cdx 2x -32x -6x 9x2 -42 x - y xy -x xy題型三化簡(jiǎn)求值例9計(jì)算x2 2x_ 2_ 2_、2x -3x 2x +x6卑11 2 12 4x-6；2工12 -a3-a 9-a2（3知：x21 , x2+ 3x -8 = 0,求

23、代數(shù)式x -2-4x 4士的值x 2（4）先化簡(jiǎn):組二1 i+=a二然后給a選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代人求值 a a a練計(jì)算(1 )22、2x -yxyc 22 x y2- -x|!3x x y 3xJ一一匕x(3 K x +4 廣(x2+3x -4 )+3，其中 x = 2 + V3 x -1（4）x2 2=0，求代數(shù)式2x-1.x2 -1x+1的值瘋狂訓(xùn)練計(jì)算（注：以下題目均來(lái)自于2015年各區(qū)八上期末考試真題）2 .（1）先化簡(jiǎn)，再求值：x 4- 1 ,x .2 '其中 x= - 4（2優(yōu)化簡(jiǎn)，再求值：1 1x 22-/x 2x 1 十，其中X = 4x2 -45-276.分式m -

24、4（3色化簡(jiǎn)X一1 一生二1 1再取一個(gè)你認(rèn)為合適的 x值，代入求原式的值 xx（4世簡(jiǎn)分式；彳 x1 F25-m-2x2 -4x2 -2x 1c m-3 m2 +J 2m-4(3)a2 +b2a -b、222 r1a -b a +b ,2ab-2a - b a b（5戶£化簡(jiǎn),再求值：x -2124 -x，其中x2 =4（6我化簡(jiǎn),再求值:a 2 -a2a -4-2 a -3，其中a滿足：22a中4a =48.課后作業(yè)1.下列式子:一,x -2,a m 3 x-ya 6 2x2 2x1,mn,2b 57中，分式的個(gè)數(shù)是（A、4個(gè)2、（2015年江岸區(qū)八上期末） 下列分式從左到右的變

25、形正確的是（-aA.一2b-2b1B.-二n2)C y +y _ y+1xy2 ac bc23.若分式2 一 一一有意義，則x的取值范圍是（）x -5Ax : 5B.x= -5C.x 5 D.x-54、下列各式中,與式子-'b的值相等的是（A.a-a - bB.六C.D.b -a5.化簡(jiǎn):m2-3m 222y -4xy 4x2x - y34-2m的最簡(jiǎn)公分母是7.約分2x 3x 22x -x 6一 4x 4x-22 .21 12a b-a .13；27 a -b_2m -4m T16 -m8、通分3a,2 ， 27 -7a 1 -2a a2 a2 -121xx2x2 -4x-5'

26、;x2 3x 2,x2 -3x -10a2 ab ab2a2a2 -ab，b - ab，a2 -b22,2 , 2x -18 81 81 -x x 18x 819、先化簡(jiǎn)，再求值:x -1，其中 x = -2 x -110、先化簡(jiǎn)，再計(jì)算22x -y-2x + y,其中 x =3, y =2.第11講分式方程模塊一：分式方程的解法知識(shí)導(dǎo)航：1 .分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.2 .可化為一元一次方程的分式方程的解法：(1)解分式方程的基本思想是：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.(2)可化為一元一次方程的分式方程的一般方法和步驟：去分母，即在方程的兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程

27、化為整式方程；解這個(gè)整式方程；驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的值是原方程的根；使最簡(jiǎn)公分母等于零的值是原方程的增根.注意：(1)增根能使最簡(jiǎn)公分母等于0.(2)增根是去分母后所得整式方程的根.3 .解分式方程產(chǎn)生增根的原因：增根的產(chǎn)生是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)造成的，根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)不為 0的數(shù)，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0,那么所得的方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根.4 .對(duì)于一些比較特殊的分式方程，利用基礎(chǔ)解法較為復(fù)雜，我們可以采取一些比較特殊的方法，例如裂項(xiàng)、分 離

28、常數(shù)、換元等方法解題，以減小運(yùn)算量.5 .適當(dāng)?shù)念}目要進(jìn)行分類討論.題型一：基本解法【例1】解下列分式方程：(1) -x+2-=2(2) 2x2=1x -3 3 -x2x -5 2x 5(3)5x+2 3xx +x x 1【練】(1) (14武漢中考)解方程:23x -3 x(2) (13武漢中考)解方程:(3) (12武漢中考)解方程:2(x 5)13x題型二：分離變量 【例2】解下列分式方程(1)2x -3 2x -4 ,=1x -12x -32_ 2(3)x x-3 / 2x 4x 1-1x x -2 x 2x 1【練】x 1 x 7 x 2 x 8x 2 x 8 x 3 x 9題型三：

29、裂項(xiàng)法【例3】解方程(1)1111+=1 - -x(x_1) (x _1)(x 2) (x2009)(x2010) x(2)1.1,1,1.41222-2x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 21 x 4【練】(1)已知工+ +1=型，求 n.1父3 3X5 5X7(2n-1)x (2n+1) 41(2)解關(guān)于x的方程1111x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x 4題型四：分組通分【例4】(1)解方程 2上 +518 =立2 x17I .x 2 x 9 x 3 x 8【練】(1)解方程- - +,并猜想 一1_ _1一 =_1一 十一1一 的解.X 一3 x -4

30、 x-6 x-7x-2005 x -2006 x -2007 x-2008題型五：倒數(shù)型【例5】閱讀并完成下列問(wèn)題：1111 101萬(wàn)程x+- =21的解是x=2 ,x2 =1 ;方程x+- =10的解是x1 =3, x2=1,觀察上述方程及解，可猜x 22x 3311想關(guān)于x的萬(wàn)程 x +1 =c +1的解是xc請(qǐng)用上述方法解方程：網(wǎng) 上二二5x -1 3x 2【練】解方程:2x 32x 3- x 334 -x題型六：含字母型【例6】解方程：解關(guān)于一22 m - m - 2x的方標(biāo)m -1 =【練】解關(guān)于x的方程:1a1b(1) (a "b);axbx/ 、 x -'bc

31、x -a /八、(2) =2 -(a+b00).模塊二：分式方程的應(yīng)用思路導(dǎo)航：1 .分式方程有增根，可從最簡(jiǎn)公分母入手，使得最簡(jiǎn)公分母為0的x值，即為增根，將增根代入變形后的整式方程即可求參數(shù)值.2 .分式方程無(wú)解包含兩種情況：原方程有增根時(shí)的情形和轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的整式方程無(wú)解的情形【例7】(1)如關(guān)于x的方程 _x_ _2=2_有正整數(shù)解，則()x - 3x - 3A. m0 0 且3B. RK6 且 3C. rk0D.m0 6(2)若分式方程3+4一有增根，則a的值為x -2x x(x -2)(3)關(guān)于x的方程32x+2 +mx=r無(wú)解,求m的值. x - 33 - x【練】(1)關(guān)于x的方

32、程-a- =1的解是負(fù)數(shù)，則 a的取值范圍是 x 1(2)已知關(guān)于x的方程xZ3_上 =2有增根， 求增根及k的值. x -1 x -1(3)若關(guān)于x的分式方程 +1 =2 無(wú)解， 求m的值.x-55 -x【例8】某一工程，在工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書(shū)，施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款1. 2萬(wàn)元,乙工程隊(duì)工程款 0. 5萬(wàn)元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書(shū)測(cè)算，有如下方案：(1)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成；(2)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用6天；(3)若甲、乙兩隊(duì)合作 3天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成，試問(wèn)：在不耽誤工期的前提下，你覺(jué) 得哪一種施工方案最

33、節(jié)省工程款？請(qǐng)說(shuō)明理由.【練】甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲， 商定：用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過(guò)P點(diǎn)跑回到起跑線 （如圖所示）；途中乒乓球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時(shí)少者勝.結(jié)果；甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪 費(fèi)了 6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完.事后，甲同學(xué)說(shuō)；“我倆所用的全部時(shí)間的和為50秒”，乙同學(xué)說(shuō)：“撿球過(guò)程不算在內(nèi)時(shí)，甲的速度是我的1. 2倍”.根據(jù)圖文信息，請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)獲勝？故事十：魯班發(fā)明鋸的故事相傳有一年，魯班接受了一項(xiàng)建筑一座巨大宮殿的任務(wù).這座宮殿需要很多木料，他和徒弟們只好上山 用斧頭砍木，當(dāng)時(shí)還沒(méi)有鋸子，效率非常低.一次上山的時(shí)候，由于他不小心，無(wú)意中抓了

34、一把山上長(zhǎng)一種野 草，卻一下子將手劃破了.魯班很奇怪，一根小草為什么這樣鋒利？于是他摘下了一片葉子來(lái)細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn) 葉子兩邊長(zhǎng)著許多小細(xì)齒， 用手輕輕一摸，這些小細(xì)齒非常鋒利. 他明白了，他的手就是被這些小細(xì)齒劃破的.后來(lái)魯班又看到一條大蝗蟲(chóng)在一株草上啃吃葉子，兩顆大板牙非常鋒利，一開(kāi)一合，很快就吃下一大片，這同樣引起了魯班的好奇心，他抓住一只蝗蟲(chóng)，仔細(xì)觀察蝗蟲(chóng)牙齒的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)蝗出的兩顆大板牙上同樣排列著許多小細(xì)齒，蝗蟲(chóng)正是靠這些小細(xì)齒來(lái)咬斷草葉的，這兩件事給魯班很大啟發(fā).于是他就用大毛竹做成一條帶有許多小鋸齒的竹片，然后到小樹(shù)上去做試驗(yàn)，結(jié)果果然不錯(cuò)，幾下子就把樹(shù)桿劃出一道深溝，魯班非常高興

35、.但是由于竹片比較軟，強(qiáng)度比較差，不能長(zhǎng)久使用，拉了一會(huì)兒，小鋸齒就有的斷了，有的變鈍了，需要更換竹片.魯班想到了鐵片，便請(qǐng)鐵匠幫助制作帶有小鋸齒的鐵片.魯班和徒弟各拉一端，在一顆樹(shù)上拉了起來(lái)，只見(jiàn)他倆一來(lái)一往，不一會(huì)兒就把樹(shù)鋸斷了，又快又省力，鋸就這樣發(fā)明了.今天我學(xué)到了 .第11講【課后作業(yè)】分式方程及其應(yīng)用11111 .在萬(wàn)程=,一+1 二x 1 y -1 x x -2A. 1個(gè)B. 2個(gè)2 .下列說(shuō)法：解分式方程一定會(huì)產(chǎn)生增根；ax - by bx ay-22 - 22a b a -bC. 3個(gè)a,b為已知數(shù)）D. 4個(gè)中,分式方程有（方程 2 x -2一=0的根為2;x 4x 4方程

36、 L = 的最簡(jiǎn)公分母為 2 x（2 x 4）； 2x 2x -4x + =1 +,是分式方程方程. x -1x -1其中正確的個(gè)數(shù)是（）D. 4個(gè)A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)3 .解分式方程 匕+2 =-,可知方程的解為（）x -22 fA. 2B. 3C. 3D.無(wú)解4 .若關(guān)于x的方程xl =m力產(chǎn)生增根，則m是（）x -1 x -1A. - lB. 1C. - 2D. 2二.填空題（共 4小題）5,若關(guān)于x的方程2x*a =1的解為正數(shù),x -2則a的取值范圍是6 .根據(jù)結(jié)論:x+m=c+m 的解為 x1 =c ,旭=m，則方程 x+1+>=2011+-> 的解 x1=2

37、010, x2 = x ccx 120117 .若關(guān)于x的分式方程 工=a1有增根, x 5 5 -x那么增根是,這時(shí)a =8 .若關(guān)于x的分式方程 x=3=1無(wú)解, x -1 x三.解答題9 .解方程(1)工-1 二3x 1 (x 1)(x -2)10 ) J6 +x 1 x -1(3)x 2x -4(4)x -1x二0x -1(5)x13+x(6)x -4x(x -1)x -5x -8+x -9x -8x - 5+x-6七小旌川020七產(chǎn)10 .“六一” 兒童節(jié)前，某玩具商店根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，用 2500元購(gòu)進(jìn)一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接著又用4500元購(gòu)進(jìn)第二批這種玩具，所購(gòu)數(shù)量是第一批

38、數(shù)量的 1. 5倍，但每套進(jìn)價(jià)多了 10元.(1)求第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)是多少元？(2)如果這兩批玩具每套售價(jià)相同，且全部售完后總利潤(rùn)不低于25%那么每套售價(jià)至少是多少元領(lǐng)先中考培優(yōu)課程13二次根式目標(biāo)一 掌握二次根式的概念目標(biāo)二 掌握二次根式的運(yùn)算模塊一二次根式的概念【知識(shí)導(dǎo)航】二次根式的定義：形如 ja （ a-0）的式子叫做二次根式.二次根式存在的意義：被開(kāi)方數(shù)大于等于0,即、而存在，則a- 0二次根式的三大性質(zhì)：（1）雙重非負(fù)性： 亞-0且a- 02 2) (Ja)2 = a ( a- 0)(3) Ja = a|【例1】a(a- 0)旬a(chǎn) < 0)1.當(dāng)x取何值時(shí)，下列式子有意義

39、?(1) 5/3X1(2)7X+1(3)1 -x2 x(4)(5)2.化簡(jiǎn)(1) J(2 7J)2(3) (a -3)3.已知a, b兩實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位置如圖所示，化簡(jiǎn):(a -1)2(b 1)2 ' , (a b)2b.,_a_-2-1012【練】1.當(dāng)x取何值時(shí)，下列式子有意義?(1)庠(2)(3) (x 1 +j2x八年級(jí)秋季尖子班第（5）舊13講學(xué)生版2.下列命題中，正確的是（）A.若 a>0,則 7aT=a；C.若a為任意實(shí)數(shù)，則 Va =力B.若 Ja2 =a，則 a >0；D.若a為任意實(shí)數(shù)，則（啟）2 =±a3 .若 a -2| +Vb-3 +(

40、c -4)2 =0 ,則 a -b +c =【拓】1.當(dāng) 0 <a 父1 ,化簡(jiǎn)：a-l)2 +4 +、；(a+2)2 -41 2.當(dāng)-2刑a -,化間： Ji -4a +4a +da +4a +4【例2】把下列各式中根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi):(1) 2 萬(wàn)(4)(af1 a【練】把下列各式中根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi):(1)與夜 (2) 10而7(4) (a 3) . -a -4【模塊二】最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式最簡(jiǎn)二次根式：二次根式后(a-0)中a稱為被開(kāi)方數(shù)，滿足下面條件的二次根式我們稱為最簡(jiǎn)二次根式:(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式在二次根式的運(yùn)算中，

41、一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化互為有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含二次根式， 它們就互為有理化因式.例如:(4+Jb)(。而 =a -b ,所以 « +石和dG一而互為有理化因式.(分母有理化一定有理化因式不為0)同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二a . x -b x =(a -b)., x次根式.合并同類二次根式：只有同類二次根式才能合并，例如:【例3】1.把下列式子化成最簡(jiǎn)二次根式 9x3 -18x2 ( x-2 )2.把下

42、列式子分母有理化& 3 5 -2 33 5 2.3 2(a -1)2a 43.已知最簡(jiǎn)二次根式b_a/3b和0b機(jī)+2是同類二次根式，則 a =【練】1.把下列式子化成最簡(jiǎn)二次根式2.把下列式子分母有理化_2 二 12 14 3 3-23 2 <22-3-3 23.已知最簡(jiǎn)二次根式 a J2a +b與a歷是同類二次根式，求a, b的值.【拓】把下列式子分母有理化1111Tx+1-Vx66-155+144-355a a，ba - . b a , b -c . d x-1 二 x 615 .14 - 35乘法二次根式的積與積的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化：4ahzb = JOE (a廢0,b

43、 0)二次根式的 計(jì)算結(jié)果要 寫(xiě)成最簡(jiǎn)二 次根式的形 式除法二次根式的商與商的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化：理=J- ( a- 0,b >0 )Vb Vb加減先化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式【模塊三】二次根式的運(yùn)算二次根式運(yùn)算法則計(jì)算-.;3(1) 345M2質(zhì)(2) 2712X3-4(3) 5 *35 N2,2 1(【練】1 L-計(jì)算：(1) 2712M-73-5乏(2)4(3)jabi_J(4)3 %a5 2：4):第L(_|指尸M. 27 . 50 - 6身感【例4】【例5】計(jì)算(1) 9a ,25a(3 )240.5 -(. 8 - .6)x 0)【例6】計(jì)算(1) (3. 2a

44、3 -2 a)|_ a(4 )(T663)(-1Va>/03'' J a5) (a>0)248(5) (Ta3b _3ab+Vab3)+Tab ( a >0 , b >0 )【例71計(jì)算：(i)(J3+物2(2)(疾-60(43而)(3) (V3-272)2 -42( 13-242)(4)已知x= 2 -翼,求代數(shù)式(7 +4%/3)x2 +(2 +73) x +點(diǎn)的值.【拓】計(jì)算(1) (1+7x)(1 _Jx)(1 +x+/X)(1 +x _Jx)(2) (2石-布)16(2點(diǎn)+ 布)17(3)(布 +五-V5)2 _(癡-V2 +忖【瘋狂訓(xùn)練】【2

45、015年八下各區(qū)期中考試真題】計(jì)算：2.36-2(5 3 - 2,5)22 712-6+3748（2亞6&十3.畫(huà)+2點(diǎn)2 .12 立 5 24阮6；+后（24-.2）-（'86）2 12-63 27217血*48385日國(guó)2 后一嘴j+2XJl ,其中 X=10已知xy = 5,求xj 十yx的值.16a 6426 2 - 6°二2一 3一 一（ 一3）(76-2715)x73-6-272-163 1)(.3-1) 8(2 3 -3.2) 2 -(2 3 -3-. 2)2第13講【課后作業(yè)】二次根式1 .若J3m _1有意義,則m能取的最小整數(shù)值是（）A. m= 0

46、 B. m= 1 C. m= 2 D. m= 32 .當(dāng)a <0, b <0時(shí)，化簡(jiǎn)JN節(jié)的值是（）A. a b B. a . -bC. -a ,/bD. -a . -b3 .下列各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. .a2 1 B. . 訪 C. -2bD.2X-14 .使式子 Je2有意義的 x是.5 .若 x、y 為實(shí)數(shù)，且 y = J1 4x +J4x_1 +1 ,則 J- +2 +- - ?- -2 +-的值為 2 y x ' y x6 .把（a -1）J 根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，其結(jié)果是1 -a7 .下面四組二次根式：（1）點(diǎn)干和J工；省和； （3） J2X和8百；

47、（4） Jmln和JmZn .9x,3, am-n mn（m >n >0 ）.其中是同類二次根式的是8 .計(jì)算2 9x 6, x第14講勾股定理知識(shí)目標(biāo)目標(biāo)一：勾股定理的證明目標(biāo)二：勾股方程的使用目標(biāo)三：勾股定理逆定理的證明和應(yīng)用模塊一：勾股定理知識(shí)導(dǎo)航勾股定理是幾何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用來(lái)解決許多直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題.不僅是數(shù)學(xué)，勾股定理在其它自然科學(xué)，還有實(shí)際生活都有存在廣泛應(yīng)用.勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a, b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.勾股定理也叫畢達(dá)哥拉斯定理.題型一：勾股定理應(yīng)用【例1】1 .在 RtAABC, AB= c, BC= a, AC= b, / B= 90° .(1)已知 b = 8, c=4,求 a.(2)已知 b=