14.1.1第2課時　勾股定理的驗證及簡單應(yīng)用

1、.第2課時勾股定理的驗證及簡單應(yīng)用課前知識管理對于勾股定理的探究，可以采用測量、計算、觀察和動手操作的方法來驗證其正確性課本主要運用拼圖的方法，利用兩種方法表示同一個圖形的面積來驗證勾股定理如圖1，是由4個完全一樣的直角三角形拼成的，得到一個邊長為a+b的大正方形和以斜邊c為邊長的小正方形，有a+b2=4×ab+c2，整理可得a2+b2=c2對于圖2，有S正方形EFGH=c2=b-a2+4×ab，即c2=a2+b2名師導學互動典例精析：知識點1：用拼圖法驗證勾股定理例1、請判斷一下，以下圖形中，哪些可以用來驗證勾股定理.【解題思路】大正方形的面積等于四個直角三角形面積加中間

2、小正方形面積；中間正方形面積等于大正方形面積減去四個直角三角形面積；推導不出.【解】可以驗證勾股定理.【方法歸納】勾股定理的驗證，主要通過拼接圖形的面積來實現(xiàn).對應(yīng)練習：請結(jié)合以以下圖形，驗證勾股定理.知識點2：方程的思想例2、如圖，在ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC邊上的高AD【解題思路】【解】設(shè)DC=，那么BD=14，在RtABD和RtACD中，由勾股定理可得：14+，兩式相減得：，解得：在RtACD由勾股定理得：AD=12【方法歸納】由于勾股定理反映了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，所以在應(yīng)用勾股定理解決問題時，要考慮應(yīng)用定理列方程來求解對應(yīng)練習：如圖，有一塊直角三角形紙

3、片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，那么CD等于 A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知識點3：數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想例3、某市氣象臺測得一熱帶風暴中心從A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東60°方向挪動，距風暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域.試問A城是否受這次風暴的影響？假如受影響，懇求出遭受風暴影響的時間；假如沒有受影響，請說明理由.【解題思路】【解】構(gòu)造數(shù)學模型，如下圖，設(shè)O為風暴中心，OC為風暴中心挪動方向，ADOC.在RtOAD中，AOD=30°，OA=300km，所

4、以AD=150km<200km，即A城受到這次風暴的影響.如圖，設(shè)AB=AC=200km，在RtABD中，應(yīng)用勾股定理，得，所以，A城遭受風暴影響的時間小時.【方法歸納】勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的定理，它的驗證和應(yīng)用，都表達了數(shù)形結(jié)合的思想知識點4：分類討論的數(shù)學思想例4、在中，邊上的高那么的長為 .【解題思路】三角形中某邊上的高既可在三角形內(nèi)部，也可在三角形的外部，故此題應(yīng)分為兩種情況來考慮.當邊上的高在的內(nèi)部時，如圖，由勾股定理，得得，得那么；當上的高在的外部時，如圖，同樣由勾股定理可求得，這時，故的長為或.【解】或.【方法歸納】當元素之間的位置關(guān)系沒有限制時，要對可能的情形分類進展

5、討論.對應(yīng)練習：直角三角形的兩邊長分別為5，12，求第三邊的長.知識點5：整體思想例5、如圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的短直角邊是a ,較長直角邊是b ,那么的值為 A. 13 B. 19 C. 25 D. 169【解題思路】由勾股定理可得到兩個變形：和.通過這兩個變形，我們可以從中任意兩個出發(fā)，求出其他各個量.仔細觀察圖形，不難得到：，利用，可求得，故=13+12=25.【解】選C.【方法歸納】利用整體思想可防止繁瑣的運算，到達快速求值的目的.對應(yīng)練習：如圖，的周長為32，且于，的周長為24，那么的長為

6、知識點6：轉(zhuǎn)化思想例6、如圖，高速公路的同一側(cè)有A、B兩個奧運村，它們到高速公路所在的直線MN的垂直間隔 分別為=2km，=4km，km，要在高速公路上A、B之間設(shè)一個出口P，使A、B兩個奧運村到P的間隔 之和最短，那么這個最短間隔 是 . 【解題思路】過B作關(guān)于MN的對稱點B，連接AB交于點P.因垂直平分BB，所以PB=PB，那么AP+PB=AP+ PB=AB，由“兩點之間，線段最短易知，P點為到A、B間隔 之和最短的點.【解】過點A作AE垂直于BB于E，那么AE=8km，BE=+=6km，由勾股定理，得AB=10km，即AP+PB=AP+ PB=AB=10km，故最短出口P到A、B兩個奧運

7、村間隔 和為10km.【方法歸納】此題可轉(zhuǎn)化為“在直線同側(cè)有兩點A、B，試在上找一點P，使PA+PB最小，利用對稱作圖即可.對應(yīng)練習：為了向建國六十周年獻禮，某校各班都在開展豐富多彩的慶賀活動，八年級3班開展了手工制作競賽，每個同學都在規(guī)定時間內(nèi)完成一件手工作品陳莉同學在制作手工作品的第一、二個步驟是：先裁下了一張長，寬的矩形紙片ABCD，將紙片沿著直線AE折疊，點D恰好落在BC邊上的F處， 請你根據(jù)步驟解答以下問題：1找出圖中FEC的余角；2計算EC的長.知識點7：化立體為平面例7、有一根70 cm的木棒，要放在長、寬、高分別是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放進去嗎？【解題思

8、路】在實際生活中，往往工程設(shè)計方案比較多，應(yīng)用所學的知識進展計算方可解決，而此題正是需要我們大膽理論和創(chuàng)新，用我們學過的勾股定理和豐富的空間想像力來解決.我們可注意到木棒雖比木箱的各邊都長，按各邊的大小放不進去，但木箱是立體圖形，可以利用空間的最長長度.如AC.【解】由以下圖可得，AA=30 cm，AB=50 cm，BC=40 cm.ABC，AAC都為直角三角形.由勾股定理，得AC2=AB2+BC2.在RtAAC中.AC最長，那么AC2=AA2+AB2+BC2=302+402+502=5000702. 故70 cm的棒能放入長、寬、高分別為50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.【方法歸納

9、】此題源于生活實際，較有興趣性，可以較好地增強學生的應(yīng)用意識和理論才能，同時還考察了空間觀念. 求解立體幾何圖形的一些問題時，通常是通過平面展開圖，將其轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題，然后求解.對應(yīng)練習：制一個底面周長為a、高為b的圓柱形花架，需用沿圓柱側(cè)面繞織一周的竹條假設(shè)干根，如圖中的，那么每一根這樣的竹條的長度最少是_.易錯警示1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形例8 如圖，在中，邊上的中線，試說明 錯解：因是邊上的中線，所以又, 在ADC中，由勾股定理，得=而，故錯因分析：由于受題目、結(jié)論及圖形的影響，不少同學在沒有進展推證說明，就先行認為是直角三角形，無視了運用勾股定理的前提，犯了循環(huán)論證的

10、錯誤 正解：因為是邊上的中線，所以又，, 且有，即，那么是直角三角形，即所以，在中，由勾股定理，從而2、注意分清直角邊和斜邊例9 在中，,，的對邊分別是，且，求的長錯解：由，為直角三角形那么由勾股定理，得,即錯解分析：錯解未抓住題目本質(zhì)，受勾股定理的表達式：的影響而誤認為是斜邊，其實，由,知才是斜邊如圖因此，我們在運用勾股定理時，首先要正確識別哪個角是直角，從而確定哪條邊是斜邊，然后準確寫出勾股定理表達式進展解題正解：,那么在中，由勾股定理，得=3、注意分類討論例10 三角形的兩邊長為和，假如這個三角形是直角三角形求第三邊的長錯解：設(shè)第三邊的長為，那么由勾股定理得，解得 錯解分析：題中沒有明確

11、指出直角邊和斜邊，應(yīng)分類討論，而上述解法中誤以為所求的第三邊即為斜邊因此漏解，值得注意正解：設(shè)第三邊的長為1當為斜邊時，由勾股定理，得，解得2當為直角邊時，由勾股定理，得解得所以，第三邊的長為或課堂練習評測1、假如直角三角形的三條邊2，4，a，那么a的取值可以有 A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個2、如圖，OAB=OBC=OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，那么OD2=_.3、如圖，設(shè)火柴盒ABCD的兩邊之長為a與b，對角線長為c，推倒后的火柴盒是ABCD，試利用該圖驗證勾股定理的正確性4、1求以下直角三角形未知邊的長如下圖2求以下圖中未知數(shù)x，y，z的值5

12、、如下圖，為了求出位于湖兩岸的兩點A、B之間的間隔 ，一個觀測者在點C設(shè)樁，使三角形ABC恰好為直角三角形，通過測量，得到AC長160米，BC長128米，問從點A穿過湖到點B有多遠？6、如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的邊長為7cm，求正方形A，B，C，D的面積7、小紅家住在18層的高樓上，一天，她與媽媽去買竹竿如下圖假如電梯的長、寬、高分別是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大長度約是多少米？你能估計出小紅買的竹竿至少是多少米嗎？.課后作業(yè)練習 一、判斷題2×2=4分 1ABC的兩邊AB=5，AC=12，那么BC

13、=13 2ABC中，a=6，b=8，那么c=10 二、填空題3×7=21分3在ABC中，A：B：C=1：1：2，AB2=50，那么BC=_4在RtABC中，C=90°，a：b=3：4，c=15cm，那么a=_cm5在RtABC中，a=3，b=4，那么c=_6一艘輪船以16海里/時的速度分開A港向東南方向航行，另一艘輪船同時以12海里/時的速度分開A港向西南方向航行，經(jīng)過1.5小時后它們相距_海里7在ABC中，C=90°，假設(shè)AC=6，CB=8，那么AB上的高為_8在ABC中，C=90°，CDAB于D1假設(shè)AC=61，CD=11，那么AD=_2假設(shè)CB=1

14、13，CD=15，那么BD=_9等邊ABC的高為3cm，以AB為邊的正方形面積為_三、選擇題5×5=25分10假設(shè)等腰ABC的腰長AB=2，頂角BAC=120°，以BC為邊的正方形面積為 A3 B12 C11等腰三角形斜邊上中線為5cm，那么以直角邊為邊的正方形面積為 A10cm2 B15cm2 C50cm2 D25cm212等腰三角形底邊上的高為8，腰長為10，那么三角形的面積為 A56 B48 C40 D3213一個長方形的長是寬的2倍，其對角線的長是5cm，那么長方形的長是 A2.5cm Bcm C2cm Dcm14如下圖，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，假設(shè)將

15、該矩形折疊，使點C與點A重合，那么折痕EF的長為 A3.74 B3.75 C3.76 D3.77四、解答題8×5=40分 15用尺規(guī)在數(shù)軸上找出坐標為的點16如圖ac所示，求以下直角三角形中未知邊的長17如下圖，長2.5m的梯子靠在墻上，梯子的底部離墻角1.5m，求梯子的頂端與地面的間隔 h18如下圖，小方格的面積為1，找出圖中以格點為端點且長度為5的線段19如下圖，在四邊形ABCD中，BAD=90°，DBC=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面積五、探究題10分20做8個全等的直角三角形2條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做3條邊長分

16、別為a、b、c的正方形，把它們拼成2個正方形如下圖.你能利用這2個圖形驗證勾股定理嗎？寫出你的驗證過程14.1.2對應(yīng)練習參考答案1.提示：借助梯形面積推導.答案：因為 S梯形 =，S梯形 =；所以；整理，得 .2.答案：B3.答案：13或4.答案：8.5.答案：解：1CFE、BAF ；2設(shè)EC=xcm. 由題意得那么EF=DE=16xcm ，AF=AD=20cm.在RtABF中，BF=12cm，F(xiàn)C=BCBF=2012=8cm.在RtEFC中，EF2=FC2+EC2 ，16x2=82+x2 ，x=6，EC的長為6cm .6.解析：由于竹條需要繞織一周，所以可以把圓柱側(cè)面沿展開，得到一個長和寬分別為的矩形，如下圖.連接，此時對角線的長度就是竹條的最短長度.由勾股定理得，所以=.課后作業(yè)參考答案：1、B2、73、點撥：可看成火柴盒ABCD繞A點旋轉(zhuǎn)90°后得到ABCD，有CAC=90°，ACC為等腰直角三角形，運用不同的方法求出該三角形的面積即可4、略.5、由于構(gòu)建了RtABC，因此，利用勾股定理，可以求出AB=96米6、此題提醒了三個正方形的面積關(guān)系與直角三角形