平面向量的數(shù)量積及向量的應用習題及詳解

1、平面向量的數(shù)量積及向量的應用習題及詳解、選擇題1.（文）（2010東北師大附中）已知同=6,|b|=3,ab=12,則向量a在向量b方向上的投影是（）A. 4B. 4C. 2D. 2Word文檔答案A4、一，口,ab12解析a在b萬向上的投影為而=3-=4.（理）（2010調研）設ab=4,若a在b方向上的投影為2,且b在a方向上的投影為1,則a與b的夾角等于（）兀A.6兀B.3C 27t答案B解析由條件知，=2,=1,ab=4,1b1|a|.|a|=4,|b|=2,cos a, b>ab_4_1|a|b|=4X2=2a,b>=-3.2 .(文)(2010省統(tǒng)考)設e1，e2是相互

2、垂直的單位向量，并且向量a=3e+2e2,b=xeI+3e2,如果a±b,那么實數(shù)x等于()99A.-2B.2C.2D.2答案C解析由條件知性1|=國=1,e1e2=0,ab=3x+6=0,x=2.(理)(2010市質檢)已知向量a=(2,1),b=(-1,2),且m=ta+b,n=akb(t、kCR),則mn的充要條件是()A.t+k=1B.t-k=1C.tk=1D.t-k=0答案D解析m=ta+b=(2t-1,t+2),n=a-kb=(2+k,1-2k),mn,.mn=(2t1)(2+k)+(t+2)(12k)=5t5k=0,.tk=0.3 .(又)(2010理)在RtABC中，

3、/C=90,AC=4,則ABAC等于()A.16B.-8C.8D.16答案D解析因為/C=90°,所以ACCB=0,所以AbAC=(AC+CB)aC=|AC|2+ACCB=AC2=16.（理）（2010天津文）如圖，在ABC中，ADXAB,BC=V3BD,|AD|=1,則ACAD=(b¥CJC.3答案D解析aC=AB+BC=AB+BD,ACAD=(AB+淄BD)AD=ABAD+-J3BDAD又ABXAD,ABaB=0,.ACad=V3Bd>aD=3|Bd|Ad|cos/adb=/3|Bd|cos/adb=V3|aD|=血.4. （2010省市）設非零向量a、b、c滿足

4、|a|= |b|= |c|, a+b=c,則 < a, b> =(A . 150°B. 120°C. 60°D. 30°答案B解析.a+b = c|a|=|b|=|c|w0,.|a+b|2=|c|2=|a|2 . |b|2+2a b= 0,|b|2+2|a|b|cosa,b>=0,cosa,b>a,bC0°,180,.a,b>=120°.5. （2010雙流縣質檢）已知點P在直線AB上，點O不在直線AB上，且存在實數(shù)t 滿足 OP=2tPA+ tOB,則熟=(f|PB|C. 2D. 31A"3答

5、案解析. OP = 2t(OAOP)+tOB,.Op=2tt-P在直線ab上，227+西7=1,"=1,Op=|(5a+30b，三一31一1一PA=OA-OP=3OA-3OB,PB=OB-OP=2PA,.|PA|=1'一2'|PB|6.（文）平面上的向量mA、MB滿足|MA|2+|MB|2=4,且瀛施=0,若向量病=1屈十2施，則|MC|的最33大值是()4D.31A.2B.1C.2答案D解析.mAmB=0,MAmB,又|MA|2+|遍|2=4,則點 A(1,0),點 B(1,0),設點 M(x,.|AB|=2,且M在以AB為直徑的圓上，如圖建立平面直角坐標系,y),

6、則x2+y2=1,MA=(-1-x,-y),調=(1-x,-y),充=；贏+|編=x,-y,333|MC|2=3-x2+y2="9-fx,1WxW1,x=1時，|MC|2取得最大值為16,9，|mC|的最大值是4.3（理）（2010日照）點M是邊長為2的正方形ABCD或邊界上一動點,N是邊BC的中點,則ANAM的最大值為（）A.8B.6C.5D.4答案B解析建立直角坐標系如圖，二正方形ABCD邊長為2,.A（0,0）,N（2,1）,AN=（2,1）,設M坐標為（x,y）,aM=（x,y）由坐標系可知0<x<2一 2W yW 0 AN AM = 2xy,設 2x- y=z,

7、易知，當x= 2, y= 2時，z取最大值6, .AN aM的最大值為6,故選B.7.如圖， ABC的外接圓的圓心為 O, AB=2,3A.25B.2C. 2D. 3答案BWord文檔解析aObC=aO（aCAB）=aOaCaOaB,因為OA=OB.所以AO在AB上的投影為2岫|,所以1f一一194二L-9-5AOAB=2|AB|AB|=2,同理AOAC=2|AC|AC|=2,故AOBC=22=2.8.（文）已知向量a、b滿足回=2, |b|=3,a（b-a）=-1,則向量a與向量b的夾角為（）兀A.- 6兀B.4兀C, 3兀D.2Word文檔答案C解析根據(jù)向量夾角公式“cosa, b>

8、-a-b求解” |a|b|由條件得a b a2=1,即ab=3,設向量a,b的夾角為%則COS |a|b| 2X3 2兀 a=3.（理）（2010哈三中）在 ABC中，AB BC C3 3 .3則AB與BC夾角的取值圍是（兀 兀A. 6, 4兀C.4答案A解析設AB, BCa, ,. Ab.之1 BC= |AB| |BC|cos& S= 2|AB| |BC|1 3 ，丸 Si改 a)=2AB| |BC|sina= ABY3|BC|=8sn;,溫->3cosa3.ABBC=£n8COta，由條件知|<|cotaW平,888:AB BC>0,a為銳角,兀兀a&l

9、t;_64.9.（文）（2010省統(tǒng)考）如果A是拋物線x2=4y的頂點，過點D（0,4）的直線l交拋物線x2=4y于B、C兩點,那么AbaC等于()33A.4B.0C.3D.-4答案B解析由題意知A(0,0),設B(x1,y1)，C(x2,y2),直線l：y=kx+4,x2=4y由消去y得，x2-4kx-16=0,y=kx+4x1+x2=4k,x1x2=16,y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=16k2+16k2+16=16,ABAC=xx2+yy2=0.（理）（2010市模考）如圖，BC是單位圓A的一條直徑，F(xiàn)是線段AB上的點，且BF=2FA,若D

10、E是圓A中繞圓心A運動的一條直徑，則FDfE的值是（）3A一48B-9答案B,一一三二17解析-.BF=2FA,.FA=-BA3,|FA|=|BA|=1,FDFE=(FA+AD)(FA+AE)，±f=(FA+AD)(FA-AD)=|FA|2-|Ab|2=1-1=-|.22x2y+1>0D.不確定10. （2010 一中）設6為坐標原點,則6A OB取得最A(1,1),若點B(x,y)滿足1<x<2Ky<2小值時，點B的個數(shù)是（）C.3D.無數(shù)個答案解析x2+y2-2x-2y+1=0即(x1)2+(y-1)2=1.，可行域為圖中陰影部分,Word文檔.(5a&l

11、t;5b=|oa|obicos<oa,OB，又|OA|為定值，.,.當obcos<oa,OB取最小值時，oAOB取最小值，.y=cosx在0,2上為減函數(shù)，.由圖可知，當點B在E、F位置時，/AOB最大，|OB最小，從而oAoB取最小值，故選B.過Bi、B2兩點時,點評可用數(shù)量積的坐標表示求解，設B(x,y),令OAOB=x+y=t,則y=x+t,當直線y=x+tt最小,即tmin=3.，當OAOB取得最小值時，點B的個數(shù)為2.11.(2010北四市)如圖，在平面四邊形ABCD中，若AC=3,BD=2,則(AB+DC)(AC+BD)=答案5解析設AC與BD相交于點O,則(AB+DC

12、)(AC+BDff=(OBOA)+(OCOD)(AC+BD)Lff=(OBOD)+(OCOA)(AC+BD)=(DB+AC)(aC+BD)=|aC|2-|Bb|2=5.12.(文)(2010洪澤中學月考)已知O、A、B是平面上不共線三點，設P為線段AB垂直平分線上任意一點,若|八|=7,|0B|=5,則&麗)的值為.答案12解析PA=P0+6a,PB=P0+OB,由條件知，|OA|2=49,|OB|2=25,|R|=|PB|,.'.|p6+6a|2=|po+6b|2,IP|PO|2+|OA|2+2POOA=|PO|2+|OB+2POOB,PO(OA-OB)=-12,OP(OA-

13、OB)=12.(理)(2010市)0是平面a上一點，A、B、C是平面a上不共線的三點，平面a的動點P滿足小=位+入場+AC),則上1寸，床(前十元)的值為.答案0解析由已知得OP-OA=XAB+A&),即沖=?(AB+AC),當入=/時，得價=3京+此)，-2AP=AB+AC,即京-龜=品-礙BP=PC,PB+PC=PB+BP=O,PA(PB+PC)=R0=0,故填0.y2好13. (2010市質檢)已知Ai,A2分別是橢圓+tr=1的左、右頂點，P是過左焦點F且垂直于A的直4JIO線I上的一點，則運1AA2=答案20解析由條件知Ai(-5,0),陽5,0),F(-3,0),設P(3,

14、y。)，則A1A2=(10,0),PAi=(-2,-yo),PAiAiA2=-20.14. (2010質檢)已知向量an=(cos與1,sin心(nCNj,|b|=1.則函數(shù)y=|a+b十庇+b+忸3+b(+|aui+b|2的最大值為.答案284解析|b|=1,，設b=(cos0,sin0),an2=cos2芋十sin22n-?=i(neN),anb=cosnCos0+sinnsin0,-y=|ai+b|2+1a2+b|2+1ai4i+b|2=(|ai|2+國2+|ai4if)+1411b|2+2(aib+a2b+anb)=282+2cos9cos；+cos2+cosi4i2sin0sin；+

15、sin?+sini4_it_兀_._.兀=282+2cosGcos,+2sinOsin,兀c=282+2cos70<284.三、解答題，3oi一i5.(省濰坊市質檢)已知函數(shù)f(x)=2sin2x-cos2x萬，xCR.(i)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;(2)設4ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且c=<3,f(C)=0,若向量m=(i,sinA)與向量n=(2,sinB)共線,求a,b的值.3i+cos2x解析(i)因為f(x)=sin2x-一一/c1.=sin(2x6)i,所以f(x)的最小值是一2,最小正周期是T=2f=兀,r_-兀(2)由題意得f(C)=s

16、in(2C0i=0,則sin(2C3=i,0<C<Tt, 0<2C<2ti,兀 兀ii6<2C6<6 %2C-6=1，,向量m=(i,sinA)與向量n=(2,sinB)共線,.1_sinA"2-sinB，由正弦定理得，a=：b2由余弦定理得，c2=a2+b22abcos3,即3=a2+b2ab由解得，a=1,b=2.16.(文)(延邊州質檢)如圖，在四邊形ABCD中，AD=8,CD=6,AB=13,/ADC=90°且ABAC=50.(1)求sin/BAD的值;Saabd(2)設小皿的面積為S射,i8的面積為S吵求莖的值解析(1)在RtA

17、DC中，AD=8,CD=6,貝UAC=10,cos/CAD=4,sinZCAD=1,55又ABaC=50,AB=13,|AB|AC|一，_12 0<ZBACZ180,sinZBAC=, sinZBAD=sin(ZBAC+ZCAD)=63.1252(2)Sabad=£ABADsinZBAD=,1Sbac=2ABACsinZBAC=60,字acd=24,貝USaBCD=SaaBC+SaACD-SBAD=,SABD_3Sabcd2.(理)點D是三角形ABC一點，并且滿足AB2+CD2=AC2+BD2,求證：ADXBC.分析要證明ADXBC,則只需要證明ADBC=0,可設AD=m,AB

18、=c,AC=b,將BC用m,b,c線性表示，然后通過向量的運算解決.證明：設AB=c,AC=b,AD=m,則BD=ADAB=m-c,CD=AD-AC=mb. ,AB2+CD2=AC2+bd2,1. c2+(mb)2=b2+(mc)2,即c2+m22mb+b2=b2+m22mc+c2,1m(cb)=0,即AD(Ab-AC)=0,ADCb=0,ADXBC.17.(文)(2010)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,2),B(2,3),C(-2,1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(aB-tOC)OC=0,求t的值.解析(1)由題設知AB=(3,5),AC=(-1,1),則AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=2航，ABAC|=4V2.故所求的兩條對角線長分別為4,2,210.7_(2)由題設知OC=(-2,1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(ABtOC)oC=0得，(3+2t,5+t)(2,1)=0,所以t=2.5(理)(質檢)已知A(-,0),B(V3,