非線性時(shí)間序列的高階奇異譜分析

1、 非線性時(shí)間序列的高階奇異譜分析袁 堅(jiān) 肖先賜(電子科技大學(xué)電子工程系 , 成都 610054(1997年 8月 28日收到 基于反映線性相關(guān)結(jié)構(gòu)的協(xié)方差矩陣的奇異譜分析 , 本質(zhì)上是一種線性的方法 . 奇異譜分析用于吸引子重構(gòu)的可靠性問題引發(fā)了一些爭議 . 相關(guān)等性質(zhì)的高階累積量 , . 通過對 H énon 映射和 Lorenz 模型的分析說明了該方法的有效性 , 有噪聲的情況下表現(xiàn)出較好的魯棒性 .PACC :05451 引 言對于不同系統(tǒng)產(chǎn)生的不規(guī)則動(dòng)態(tài)行為解釋為確定性的混沌過程 , 這一認(rèn)識(shí)在幾乎所 有學(xué)科中得到廣泛的應(yīng)用 . 而用動(dòng)力系統(tǒng)方法分析非線性時(shí)間序列 , 狀態(tài)空

2、間的重構(gòu)是必 不可少的一個(gè)步驟 . 從標(biāo)量時(shí)間序列重構(gòu)多維狀態(tài)矢量的延遲坐標(biāo)法 , 是在無法觀測系統(tǒng) 各個(gè)變量情況下的一種折衷方法 . 延遲坐標(biāo)間不可避免地存在著線性依賴及人為的對稱 性 . Takens 的嵌入定理 1隱含著無噪聲影響 , 且假設(shè)數(shù)據(jù)長度為無限長 . 這樣對任意的延 時(shí)都不會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)的退化 . 而實(shí)際得到的時(shí)間序列是有限長度的 , 并且不可避免地受到噪 聲的影響 . 延時(shí)選擇過大或過小 , 都會(huì)導(dǎo)致噪聲增強(qiáng) 2. 另外 , 當(dāng)對分析的系統(tǒng)無任何先 驗(yàn)認(rèn)識(shí) , 無從得知其拓?fù)渚S數(shù)時(shí) , 對嵌入維數(shù)的選擇也成問題 .基于多通道時(shí)間序列主元分析的奇異譜分析 (singular 2s

3、pectrum analysis ,SSA , 最先 由 Broomhead 和 K ing 1引入非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域 . 該方法一方面將延遲矢量變換到一正交 空間里 , 以消除坐標(biāo)間的線性依賴及人為的對稱性 ; 另一方面在奇異譜上區(qū)分出信號成分 及噪聲平臺(tái) , 在確定出最小嵌入維數(shù)的基礎(chǔ)上 , 一個(gè)維數(shù)等于最小嵌入維數(shù)的子空間內(nèi)的 軌跡代表了信噪比增強(qiáng)的重構(gòu) .但是 ,SSA 作為一種線性方法 , 其所用的協(xié)方差矩陣反映出的是線性相關(guān)的結(jié)構(gòu) , 而 無法反映內(nèi)在的非線性關(guān)系 . 另外 , 一些實(shí)際的分析結(jié)果更加深了對這一方法的質(zhì) 疑 3 5. 文獻(xiàn) 2,6,7對奇異譜方法作了詳盡的分析和確認(rèn)工

4、作 . 并且針對 Palu 等 5用 SSA 研究 H énon 和 Lorenz 模型所提出的質(zhì)疑 , 文獻(xiàn) 8,9中分別指出了這是由于重構(gòu)窗 口 (包括延時(shí)和嵌入維數(shù) 選擇不當(dāng)而導(dǎo)致的錯(cuò)誤理解 . 我們在工作中也發(fā)現(xiàn) , 在選擇合適 的重構(gòu)窗口前提下 ,Lorenz 模型的奇異譜分析是成功的 10. 然而對 H énon 模型無論選擇 怎樣的重構(gòu)窗口 , 分析出的奇異譜都無法得到滿意的結(jié)果 3,5.奇異譜分析所用的屬于二階統(tǒng)計(jì)的協(xié)方差矩陣 , 體現(xiàn)的是線性相關(guān) . 高階統(tǒng)計(jì)作為一第 47卷 第 6期 1998年 6月100023290/98/47(6 /0897209物

5、 理 學(xué) 報(bào) ACTA PHYSICA SIN ICA Vol. 47,No. 6,J une ,19981998Chin. Phys. S oc.種非線性的信號處理工具 , 可以反映高階相關(guān)的非線性關(guān)系 11,12. 從高階統(tǒng)計(jì)的角度認(rèn) 識(shí)混沌 , 不僅可以開發(fā)出更多的信息 , 而且也有助于從一個(gè)新的角度認(rèn)識(shí)該現(xiàn)象 . 高階統(tǒng) 計(jì)具有盲高斯噪聲及體現(xiàn)非線性結(jié)構(gòu)等性質(zhì) , 但與研究比較完善的二階統(tǒng)計(jì)相比 , 尚缺少 物理性質(zhì)的解釋 . 而將其引入動(dòng)力系統(tǒng)理論 , 更存在著用動(dòng)力學(xué)語言難以描述的問題 . 高 階統(tǒng)計(jì)用于混沌動(dòng)力學(xué)研究的文獻(xiàn)很少 , 見到的一篇是用高階累積量估計(jì)重構(gòu)延時(shí) 13, 另

6、一篇是利用三階譜鑒別觀測信號是否達(dá)到混沌狀態(tài) 14. 而作為一種數(shù)字信號處理的新 手段 , 高階統(tǒng)計(jì)在信號處理的各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用 11. 其中 , 陣列測向中用四階累 積量進(jìn)行奇異值分解 (SVD , 得到四階子空間進(jìn)行方向估計(jì) , 比二階的方法有著一些明顯 特點(diǎn) 15. 由此也引發(fā)我們用高階累積量分析混沌序列的高階奇異譜分析的思路 .本文提出了一種基于高階累積的高階奇異譜分析 (H 2SSA 方法 . 對 H énon 和 Logistic 等模型的分析說明 ,H 2SSA 是比 SSA , 、 嵌入維 數(shù) 、 ., 則它 . 這構(gòu)成了將定性的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)引入實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域的技術(shù)基

7、礎(chǔ) . 對 一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)d t=F (z , 我們將 Takens 的嵌入定理 1敘述如下 .定理 (T akens 設(shè) M 是 n 維的緊流形 . F 表示一個(gè)光滑的 (C 2 矢量場 , v 為 M 上的一 個(gè)光 滑 函 數(shù) . 則 F , v :M R 2n +1, 表 示 F , v (z =(v (z , v (1(z , , v (2n (z T 是一個(gè)嵌入 . 這 i 是 F 的流 .v (z 對應(yīng)著系統(tǒng)狀態(tài)為 z ( M 時(shí)的觀測值 . 包含著像 F , v (M 的空間稱作嵌入 空間 , 嵌入空間的維數(shù)稱作嵌入維數(shù) , 應(yīng)用 Takens 定理重構(gòu)狀態(tài)空間的方法稱作延遲坐 標(biāo)

8、法 .延遲坐標(biāo)是由時(shí)間序列構(gòu)造出的多維狀態(tài)空間矢量 . 對一個(gè) N 點(diǎn)的時(shí)間序列 x (1 , x (2 , , x (N , 離散時(shí)刻 i 上的重構(gòu)狀態(tài)矢量為X i =x (i x (i +J x (i +(m -1 J T , (1 其中 J 為重構(gòu)延時(shí) , m 為嵌入維數(shù) . 相應(yīng)的重構(gòu)軌跡為X =X 1 X 2 X K , (2 其中 K =N -(m -1 J.Takens 定理對重構(gòu)延時(shí)的選擇沒有任何指導(dǎo)性的建議 . 這一定理隱含著無噪聲影 響 , 且假設(shè)數(shù)據(jù)長度為無限長 , 這樣對任意的 J 都不會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)的退化 . 而實(shí)際得到的時(shí) 間序列既不可避免地受到噪聲的影響 , 又是有限

9、長度的 . 延時(shí) J 過小 , 由測量誤差 (包括 量化誤差 引起的冗余誤差相應(yīng)地增大 ; 適當(dāng)?shù)卦黾友訒r(shí) , 測量誤差的影響減小 , 而依賴于 系統(tǒng)初值敏感性的動(dòng)態(tài)誤差的影響相應(yīng)地增大 2. 另外 , 當(dāng)對分析的系統(tǒng)沒有任何先驗(yàn) 的認(rèn)識(shí) , 無從得知其拓?fù)渚S數(shù) n 時(shí) , 嵌入維數(shù) m 的選擇也成問題 . 數(shù)值分析的結(jié)果表 明 7, 10, J 和 m 的選擇一定程度上可歸結(jié)為重構(gòu)延時(shí)窗口 (m -1 J 的選擇問題 . 但這一 898物 理 學(xué) 報(bào) 47卷 問題目前在理論上尚未得到根本的解決 .延遲坐標(biāo)并不是正交的 , 而奇異譜分析將嵌入空間變換到一個(gè)等價(jià)的正交坐標(biāo)系中 . 一方面可以消除

10、延遲坐標(biāo)間的線性依賴及人為的對稱性 1; 另一方面在奇異譜上區(qū)分出 信號成分及噪聲平臺(tái) , 一個(gè)維數(shù)等于最小嵌入維數(shù)的子空間內(nèi)的軌跡代表了信噪比增強(qiáng) 的重構(gòu) . 若 A x 表示 X 的協(xié)方差矩陣 , 則A x =X X T , (3其中 A x R m ×m , 其元素為相關(guān)函數(shù) , 即 (A x ij =R x (i -j J , (4R x (k J =lim T 2T T-T x (t x (t +k J d t , (5 其中 k =0, 1, , m -1. 將 A x 變換為一個(gè)對角陣 2, 即2=V T A x , (6其中 V 為 m ×m 的正交陣 ,

11、. 而 2=i , j s i ; i , j =1, , , m s i , i =1, 2, , m 就構(gòu)成了 奇異譜 ., 而其余的特征值構(gòu)成了一個(gè)所謂的 , 就能達(dá)到改善重構(gòu)的目的 . 但是改 變 m 或 J , 會(huì)引起 X 的改變 , 相應(yīng)地會(huì)改變奇異譜 . 這一點(diǎn)導(dǎo)致了文獻(xiàn) 5中對 Lorenz 模 型分析的誤解 . 同時(shí)也說明了奇異譜分析對 m 和 J 的變化不夠穩(wěn)健 . 另外 , 作為一種線性 的方法對 H énon 等模型分析失敗 3,5等原因 , 都促使我們尋求更好的分析方法 .由 (4 , (5 式可以看出 , 奇異譜分析是在二階平穩(wěn)假設(shè)的前提下進(jìn)行的 . 分析

12、各種動(dòng) 力學(xué)不變量 , 如維數(shù) 、 K olmogorov 熵以及 Lyapunov 特征指數(shù)等 , 也需要在微分動(dòng)力系統(tǒng) 的各態(tài)歷經(jīng)理論基礎(chǔ)上作出假設(shè) 16. 其實(shí)狀態(tài)空間重構(gòu)本身就有微分等價(jià)的假設(shè)條件 . 我們在討論高階奇異譜分析中 , 也需要引入高階平穩(wěn)的假設(shè) .3 高階統(tǒng)計(jì)及高階奇異譜分析高階統(tǒng)計(jì)作為一種非線性信號處理的手段已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用 11. 高階統(tǒng)計(jì)包括 高階矩 、 高階矩譜 、 高階累積量及高階譜 . 高階指的是大于二階的情況 . 高階統(tǒng)計(jì)在信號處 理中的應(yīng)用背景主要出于各種技術(shù)上的需要 . 如壓制信號中附加的高斯色噪聲 、 識(shí)別和重 構(gòu)非最小相位信號 、 提取偏離高斯的

13、信息 、 檢測和特征化信號的非線性以及對非線性系統(tǒng) 的識(shí)別問題等 12.首先 , 高階累積量及其相應(yīng)的高階譜對高斯白噪聲和高斯色噪聲都為零 , 即具有盲高 斯的性質(zhì) . 這樣對非高斯信號中存在加性高斯噪聲的情況 , 高階累積量和高階譜僅反映出 信號的特征 . 這對信號的檢測和特征提取是非常有用的 . 其次 , 高階累積量和高階矩的譜 同時(shí)保存著信號的幅度和相位的信息 . 而二階統(tǒng)計(jì)中卻往往無法做到 , 只有當(dāng)信號是最小 相位時(shí)才能夠得到相位信息 . 因而從信息獲取的角度來看 , 高階統(tǒng)計(jì)中保存了更多的信 息 . 另外 , 從信號角度來看 , 實(shí)際觀測的信號基本上都是非高斯的 . 結(jié)合以上的特點(diǎn)

14、 , 這對9986期 袁 堅(jiān)等 :非線性時(shí)間序列的高階奇異譜分析信號的分析是很重要的 . 還有 , 在對系統(tǒng)非線性的分析上 , 高階統(tǒng)計(jì)也表現(xiàn)出自身的天然 特性 , 如三階的情況體現(xiàn)出二階相關(guān) , 四階體現(xiàn)三階相關(guān) , 而二階反映的是一階 (線性 相 關(guān) 14. 由此 , 我們已不難看出高階統(tǒng)計(jì)用于混沌動(dòng)力學(xué)所具有的巨大潛力 .對 x (k , k =0, ±1, ±2, ±3, , 為一個(gè)實(shí)的平穩(wěn)時(shí)間序列 , 若階數(shù)至 n 的矩都存 在 , 則m x n (1, 2, , n -1 =Ex (k x (k +1 x (k +n -1 (7 表示該平穩(wěn)信號的 n

15、階矩函數(shù) . 顯然二階矩函數(shù)就是信號的自相關(guān)函數(shù) . 而非高斯平穩(wěn) 信號的 n 階累積量函數(shù) (在此僅限 n =3或 4 為C x n (1, 2, , n -1 =m x n (1, 2, , n -1 -m G n (1, 2, , n -1 , (8 其中 m G n (1, 2, , n -1 是與 x (k n 階矩函數(shù) . 可以看出 , 若 x (k 為一高斯信號 , 則 (1, , n 1=n (12, , n -1, 而使 C x n (1, 2, , n -1 =0. 雖然在 (n 3n 而言 , 若 x (k 為高斯信號 , 都有 C x n (12, n - =. , m

16、 x 1, 二階累積量函數(shù)為協(xié)方差函數(shù) , 三階累積量函 數(shù)為 12C x 3(1, 2 =m x 3(1, 2 -m x 1m x 2(1 +m x 2(2 +m x 2(1-2 +2(m x 1 3, (9 而四階累積量函數(shù)為C x 4(1, 2, 3 =m x 4(1, 2, 3 -m x 2(1 m x 2(3-2-m x 2(2 m x 2(3-1 -m x 2(3 m x 2(2-1-m x 1m x 3(2-1, 3-1 +m x 3(2, 3+m x 3(1, 3 +m x 3(1, 2 +(m x 1 2 m x 2(1 +m x 2(2 +m x 2(3 +m x 2(3-

17、1+m x 2(3-2 +m x 2(2-1 -6(m x 1 4. (10 另外 , 在均值 m x 1=0的情況下 , 則 C x 3(0, 0 稱作偏態(tài) , 反映偏離對稱的性質(zhì) ; C x 4(0, 0, 0 稱 作峰態(tài) , 反映偏離高斯的性質(zhì) ; 而 C x 2(0 體現(xiàn)的是方差 .累積量具有盲高斯的性質(zhì) , 而又以四階累積量用得最多 . 這是因?yàn)槿A累積量在信號 是對稱分布的情況下為零 , 而使三階累積量的應(yīng)用相對要少一些 . 三階累積量函數(shù)有兩個(gè) 變量 , 可以反映在一個(gè)平面上 ; 四階累積量函數(shù)有三個(gè)變量 , 只能體現(xiàn)在一個(gè)三維的空間 里 . 高于四階的累積量就更加復(fù)雜了 . 高

18、階譜為高階累積量的多維傅里葉變換 . 一個(gè)在頻 域 , 一個(gè)在時(shí)域 , 有著一定的對等關(guān)系 . 我們在此選擇四階累積量作為將奇異譜分析擴(kuò)展 到高階的工具 .由 (4 和 (5 式可以看出 , 構(gòu)成矩陣 A x 的元素是二階矩函數(shù) , 反映的是線性依賴的關(guān) 系 . 我們可以將 A x 的元素推廣為由高階矩函數(shù)構(gòu)成 , 以反映高階相關(guān)的非線性關(guān)系 . 而 累積量函數(shù)比同樣階數(shù)的矩函數(shù)所具備的優(yōu)勢 , 使我們很自然地選擇用累積量函數(shù)來構(gòu) 造矩陣 A x 的元素 . 若是我們選擇四階累積量函數(shù) , 考慮到它是一個(gè)具有三個(gè)變量的函 009物 理 學(xué) 報(bào) 47卷 數(shù) , 要作 SVD 就需要將其變?yōu)橐粋€(gè)二

19、元的函數(shù) . 最常規(guī)的作法是作一個(gè)切片 , 這樣的切片 有許多形式 , 如在 (10 式中設(shè) 2=3, 則C x 4(1, 2, 3 =m x 4(1, 2, 2 -m x 2(1 m x 2(0-m x 2(2 m x 2(2-1 -m x 2(2 m x 2(2-1-m x 1m x 3(2-1, 2-1 +m x 3(2, 2 +2m x 3(1, 2 +(m x 1 2 m x 2(1 +2m x 2(2+2m x 2(2-1 +m x 2(0 -6(m x 1 4. (11以 (11 式就可以構(gòu)造出 A x , 其元素為(A x i , j =C x 4(i , j , j , (1

20、2其中 i , j =1, 2, , m. m 為嵌入維數(shù) .對 A x 進(jìn)行 SVD , . 我 , 并通過 .4 模擬實(shí)驗(yàn)我們在此選取三種混沌模型 , 其拓?fù)渚S數(shù)分別為 1 3, 以便有一個(gè)比較 . 另外 , 分析 中數(shù)據(jù)長度 N 均為 1000, (14 , (15 式中均取 x 變量 .Logistic 映射定義為x n +1=x n (1-x n , (13其中 =410.H énon 映射定義為x n +1=y n +1-ax 2n ,y n +1=bx n , (14其中 a =114, b =013.Lorenz 模型定義為x =(y -x ,y =x (R -z -

21、y ,z =xy -bz , (15其中 =1610, R =45192, b =410. 采用四階龍格 2庫塔法解方程 . 抽樣時(shí)間 t =0101s .圖 1中 (a , (c , (e 和 (g 分別為嵌入維數(shù) m =20, 延時(shí) J 取 2, 4, 8和 12時(shí) , H énon 映射的 SSA 所得到的奇異譜 (用最大的特征值進(jìn)行過歸一化處理 , 以下同 . 圖 1中 (b , (d , (f 和 (h 分別為 m =20, J 取 2, 4, 8和 12時(shí) H 2SSA 得到的高階奇異譜 . 比較這兩種 分析方法的結(jié)果可以看出 , 在保持嵌入維數(shù)不變同時(shí)改變延時(shí)的情況下

22、, SSA 得到的奇異 譜不能反映出 H énon 映射的二維特征 , 而高階奇異譜在不同的延時(shí)下均能反映出來 .圖 2中 (a 和 (c 分別為 m =10和 30, J =2時(shí) H énon 映射的奇異譜 . 圖 2中 (b 和 (d 1096期 袁 堅(jiān)等 :非線性時(shí)間序列的高階奇異譜分析902 物 理 學(xué) 報(bào) 47 卷 1 Hé 映射在 m = 20 , J = 2 , 4 , 8 , 12 時(shí)的奇異譜 (a , (c , (e , (g 圖 non 和高階奇異譜 (b , (d , (f , ( h 分別為 m = 10 和 30 , J = 2 時(shí)的高階

23、奇異譜 . 可以看出 , 在不同的嵌入維數(shù)下高階奇異譜 更好地反映出 Hé 映射的維數(shù)特征 . non 在奇異譜分析中相對比較成功的 Logistic 映射和 Lorenz 模型的奇異譜如圖 3 中 ( a 和 ( c 所示 . 這里對 Logistic 映射取 m = 20 , J = 1 , 而 Lorenz 模型取 m = 50 , J = 1 . 在同樣 的嵌入維數(shù)和延時(shí)情況下 , Logistic 和 Lorenz 模型的高階奇異譜如圖 3 中 ( b 和 ( d 所示 . 可以看出 , 這兩種模型在得到滿意的奇異譜參數(shù)情況下 , 它們的高階奇異譜同樣得到了有 6期 袁 堅(jiān)

24、等 :非線性時(shí)間序列的高階奇異譜分析 903 效結(jié)果 , 能夠分析反映出一維和三維的特征 . 2 Hé 映射在 m = 10 和 30 , J = 2 時(shí)的奇異譜 (a , (c 和高階奇異譜 (b , (d 圖 non 3 圖 Logistic 映射在 m = 20 , J = 1 時(shí)的奇異譜 (a 和高階奇異譜 (b ; Lorenz 模型在 m = 50 , J = 1 時(shí)的奇異譜 (c 和高階奇異譜 (d 為了說明有噪聲情況下的分析結(jié)果 , 圖 4 ( a , ( b 和 ( c 為疊加高斯白噪聲使信噪比 為 0 dB 時(shí) ,Hé ( m = 20 , J = 2

25、, Lorenz ( m = 50 , J = 1 和 Logistic ( m = 20 , J = 1 的高階 non 904 物 理 學(xué) 報(bào) 47 卷 奇異譜 . 可以看出 H2SSA 所具有的壓制高斯噪聲的優(yōu)點(diǎn) , 而高斯噪聲卻又是最普通的一 類噪聲 , 這對實(shí)際分析是非常有用的 . 為了說明改變抽樣時(shí)間的情況 , 對 Lorenz 模型取抽樣時(shí)間 t = 010025 s ( 在文獻(xiàn) 5 中曾用該抽樣時(shí)間說明奇異譜分析的失敗 , 并仍取 m = 50 , J = 1 , 其高階奇異譜如圖 4 ( d 所示 . 可以看出 ,在改變抽樣時(shí)間的情況下 ,Lorenz 的高階奇異譜沒有什么變

26、化 . 由以上對 Hé ,Logistic 和 Lorenz 模型的分析可以看出 , 高階奇異譜分析是一種有 non 圖4 疊加高斯白噪聲使信噪比為 0 dB 時(shí)的高階奇異譜 (a 為 Hé ( m = 20 , non 模型在抽樣時(shí)間為 010025 s 時(shí) ( m = 50 , J = 1 J = 2 , (b 為 Lorenz ( m = 50 , J = 1 , (c 為 Logistic ( m = 20 , J = 1 , ( d 為 Lorenz 效的方法 . 并且在改變延時(shí) 、 嵌入維數(shù)和抽樣時(shí)間及有噪聲影響的情況下 , 表現(xiàn)出了一定 的魯棒性 . 由高階奇

27、異譜 , 我們可以有效地確定出最小嵌入維數(shù) , 從而用維數(shù)等于最小嵌 入維數(shù)的子空間里的軌跡體現(xiàn)有效的重構(gòu) . 5 結(jié)論與討論 本文提出了一種高階奇異譜分析方法 ,這種方法比線性的奇異譜分析表現(xiàn)出更好的 有效性和魯棒性 . 這種方法是用了陣列測向中四階累積量的四階子空間方法的思路 ,與之 不同之處在于陣列測向中用的是多元序列 , 而這里所用的是標(biāo)量時(shí)間序列 . 由此不難看 出 ,正如 SSA 可用到多元時(shí)間序列分析而形成 M2SSA 方法 9 ,H2SSA 也可推廣到對多元 時(shí)間序列的分析 . 我們在 ( 11 式中體現(xiàn)的僅是四階累積量的一個(gè)切片 ,尚有大量的切片未 曾用上 . 而利用這些冗余

28、的信息 ,可能為有噪聲和短數(shù)據(jù)的時(shí)間序列的分析提供一個(gè)有效 的方法 . 還有本文中并未用上高階譜 ,從頻域的角度進(jìn)行分析可能也會(huì)找到新的認(rèn)識(shí) . 高 階統(tǒng)計(jì)尚缺少二階統(tǒng)計(jì)中合理的物理解釋 . 然而用高階統(tǒng)計(jì)這一非線性手段分析非線性 6期 袁 堅(jiān)等 :非線性時(shí)間序列的高階奇異譜分析 905 動(dòng)力系統(tǒng) ,相信會(huì)使我們對非線性現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)更加深入 . 1 D. S. Broomhead , G. P. King , Physica , D20 (1986 ,217. 2 M. Casdagli ,S. Eubank ,J . D. Farmer et al . , Physica , D51 (199

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