15數(shù)列綜合問題

1、江蘇省2014屆一輪復習數(shù)學試題選編15：數(shù)列綜合問題填空題 已知數(shù)列滿足,則該數(shù)列的前20項的和為_.【答案】 2101 . 如圖所示的螺旋線是用以下方法畫成的,是邊長為1的正三角形,曲線分別是為圓心,為半徑畫的弧,曲線稱為螺旋線的第一圈;然后又以A為圓心,半徑畫弧,如此繼續(xù)下去,這樣畫到第圈.設所得螺旋線的總長度為,則=_【答案】 數(shù)列的通項,其前項和為,則為_.【答案】470 已知實數(shù)a1,a2,a3,a4滿足a1a2a3,a1a42a2a4a2,且a1a2a3,則a4的取值范圍是_.【答案】 已知,則_.【答案】 個正整數(shù)排列如下:1，2,3,4,n2，3,4,5,n+l3，4,5,6

2、, n+2n,n+l,n+2,n+3,2n一1則這個正整數(shù)的和S=_.【答案】 設等比數(shù)列的公比,表示數(shù)列的前n項的和,表示數(shù)列的前n項的乘積,表示的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積,即,則數(shù)列的前n項的和是_(用和q表示)【答案】 已知數(shù)列滿足,則其前99項和=_.【答案】9 已知數(shù)列an的通項公式為an=-n+p,數(shù)列bn的通項公式為bn=2n-5.設cn=若在數(shù)列cn中,c8>cn(nN*,n8),則實數(shù)p的取值范圍是_.【答案】(12,17) 已知,則第n個等式為_.【答案】 如圖所示:矩形的一邊在軸上,另兩個頂點、在函數(shù)的圖像上,若點的坐標為),矩形的周長記為,則_.【

3、答案】216數(shù)列滿足,且 =2,則的最小值為_. 【答案】 解答題設數(shù)列滿足:是整數(shù),且是關于x的方程的根.(1)若且n2時,求數(shù)列an的前100項和S100;(2)若且求數(shù)列的通項公式.【答案】 已知數(shù)列的各項都為正數(shù),且對任意,都有(k為常數(shù)).(1)若,求證:成等差數(shù)列;(2)若k=0,且成等差數(shù)列,求的值;(3)已知(為常數(shù)),是否存在常數(shù),使得對任意都成立?若存在.求出;若不存在,說明理由. 已知數(shù)列an和bn滿足:,其中為實數(shù),n為正整數(shù).()若數(shù)列an前三項成等差數(shù)列,求的值;()試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;()設0<a<b,Sn為數(shù)列bn的前n項和

4、.是否存在實數(shù),使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.【答案】()證明:, 由條件可得,所以 ()解:因為bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+9=(-1)n+1(an-2n+6) =(-1)n·(an-3n+9)=-bn 又b1=,所以 當=-6時,bn=0(nN+),此時bn不是等比數(shù)列, 當-6時,b1=0,由上可知bn0,(nN+). 故當-6時,數(shù)列bn是以-(+6)為首項,-為公比的等比數(shù)列. ()由()知,當=-6,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求. -6,故知bn= -(+6)·(-)n-1,

5、于是可得 Sn= 要使a<Sn<b對任意正整數(shù)n成立, 即a<-(+6)·1-(-)n<b(nN+) 當n為正奇數(shù)時,1<f(n) f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= , 于是,由式得a<-(+6)< 當a<b3a時,由-b-6-3a-6,不存在實數(shù)滿足題目要求; 當b>3a時存在實數(shù),使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b, 且的取值范圍是(-b-6, -3a-6) 已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)若數(shù)列滿足,N* ,證明.【答案】解:(1)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù). 在區(qū)間

6、上恒成立, ,又在區(qū)間上是增函數(shù) 即實數(shù)的取值范圍為 (2)先用數(shù)學歸納法證明. 當時,成立, 假設時,成立, 當時,由(1)知時,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) , 即成立, 當時,成立 下證. . 綜上 設滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”:;.(1)若等比數(shù)列為 ()階“期待數(shù)列”,求公比;(2)若一個等差數(shù)列既是 ()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項公式;(3)記階“期待數(shù)列”的前項和為:()求證:;()若存在使,試問數(shù)列能否為階“期待數(shù)列”?若能,求出所有這樣的數(shù)列;若不能,請說明理由. 【答案】解:(1)若,則由=0,得, 由得或. 若,由得,得,不可能. 綜上所述,. (

7、2)設等差數(shù)列的公差為,>0. , , >0,由得, 由題中的、得, , 兩式相減得, , 又,得, . (3)記,中非負項和為,負項和為, 則,得, (),即. ()若存在使,由前面的證明過程知: , 且. 記數(shù)列的前項和為, 則由()知, =,而, ,從而, 又, 則, , 與不能同時成立, 所以,對于有窮數(shù)列,若存在使,則數(shù)列和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”. 已知數(shù)列滿足(nN*),且a2=6.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(nN*,c為非零常數(shù)),若數(shù)列bn是等差數(shù)列,記cn=,Sn=c1+c2+cn,求Sn.【答案】解:(1)由,得(n-1)an+1-(n+1)an=-

8、(n+1),當n2時, 有-=-, 所以,-=-=-(-), 由疊加法,得 當n3時,an=n(2n-1) 把n=1,a2=6代入,得a1=1,經(jīng)驗證:a1=1,a2=6均滿足an=n(2n-1). 綜上,an=n(2n-1),nN* (2)由(1)可知:bn=,于是b1=,b2=,b3=, 由數(shù)列bn是等差數(shù)列,得b1+b3=2 b2,即+=,解得c=-(c=0舍去). 此時,bn=2n,所以,數(shù)列bn是等差數(shù)列.所以c=-滿足題意 所以,cn=. 所以Sn=1+,由錯位相減法,得Sn=4- 一位幼兒園老師給班上個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒

9、內(nèi)糖果的分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個小朋友;,以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第個小朋友.如果設分給第個小朋友后(未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為.(1)當,時,分別求;(2)請用表示;令,求數(shù)列的通項公式;(3)是否存在正整數(shù)和非負整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列,如果存在,請求出所有的和,如果不存在,請說明理由.【答案】解:(1)當,時, , , (2)由題意知: , 即, , 累加得, 又, (3)由,得, 若存在正整數(shù)和非負整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列, 則, 即, 當時, ,對任意正整數(shù),有成等差數(shù)列 注:

10、如果驗證不能成等差數(shù)列,不扣分 【說明】本題主要考查數(shù)列的定義、通項求法;考查反證法;考查遞推思想;考查推理論證能力;考查閱讀理解能力、建模能力、應用數(shù)學解決問題能力.本題還可以設計:如果班上有5名小朋友,每個小朋友都分到糖果,求的最小值. 已知整數(shù)的所有3個元素的子集記為A1,A2,AC.(1)當n=5時,求集合A1,A2,AC中所有元素之和;(2)設mi為Ai中的最小元素,設【答案】(1)當n=5時,含元素1的子集中,必有除1以外的兩個數(shù)字,兩個數(shù)字的選法有=6個,所以含有數(shù)字1的幾何有6個.同理含2,3,4,5的子集也各有6個, 于是所求元素之和為(1+2+3+4+5)×=6&

11、#215;15=90 (2)證明:不難得到1min-2,miZ,并且以1為最小元素的子集有個,以2為最小元素的子集有個,以3為最小元素的子集有,以n-2為最小元素的子集有個.則 設是各項均為非零實數(shù)的數(shù)列的前項和,給出如下兩個命題上:命題:是等差數(shù)列;命題:等式對任意()恒成立,其中是常數(shù).若是的充分條件,求的值;對于中的與,問是否為的必要條件,請說明理由;若為真命題,對于給定的正整數(shù)()和正數(shù)M,數(shù)列滿足條件,試求的最大值.【答案】解:(1)設的公差為,則原等式可化為 所以, 即對于恒成立,所以 (2)當時,假設是否為的必要條件,即“若對于任意的恒成立,則為等差數(shù)列”. 當時,顯然成立 當時

12、,由-得, ,即. 當時,即、成等差數(shù)列, 當時,即.所以為等差數(shù)列,即是否為的必要條件 (3)由,可設,所以. 設的公差為,則,所以, 所以, ,所以的最大值為 已知數(shù)列,其中(1)求滿足=的所有正整數(shù)n的集合(2)n16,求數(shù)列的最大值和最小值(3)記數(shù)列的前 n項和為,求所有滿足(m<n)的有序整數(shù)對(m,n)【答案】(1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,當n15時,an+1=|bn|恒成立, 當n<15時,n-15=-(n-15) ,n=15 n的集合n|n15,nN* (2)= (i)當n>16時,n取偶數(shù)=1+ 當n=18時()max=無最小

13、值 n取奇數(shù)時=-1- n=17時()min=-2無最大值 (ii)當n<16時, = 當n為偶數(shù)時=-1- n=14時()max=-()min=- 當n奇數(shù) =1+ , n=1 , ()max=1-=, n=15,()min=0 綜上,最大值為(n=18)最小值-2(n=17) (3)n15時,bn=(-1)n-1(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)0 ,n>15時,bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0,其中a15b15+a16b16=0 S16=S14 m=7, n=8 如圖，一顆棋子從

14、三棱柱的一個頂點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為，剛開始時，棋子在上底面點A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點的概率記為pn（1）求p1，p2的值；（2）求證：ABCDEF（第23題）【答案】解（1）p1，p2××(1) 2分（2）因為移了n次后棋子落在上底面頂點的概率為pn，故落在下底面頂點的概率為1pn于是移了n1次后棋子落在上底面頂點的概率為pn+1pn(1pn)pn 4分從而pn+1(pn)所以數(shù)列pn是等比數(shù)列，其首項為，公比為所以pn×()n1即pn× 6分用數(shù)學歸納法證明：當n1時，左式，右式，因為，所以不等式成立當n2時，左式，右式，

15、因為，所以不等式成立假設nk(k2)時，不等式成立，即則nk1時，左式要證，只要證只要證只要證只要證3k+12k26k2因為k2，所以3k+13(12)k3(12k4C)6k232k26k22k(2k3)12k26k2，所以即nk1時，不等式也成立由可知，不等式對任意的nN*都成立 10分已知數(shù)列滿足,.(1)求,猜想數(shù)列的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明;(2)設,比較與的大小.【答案】 已知數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列.(1)若,求數(shù)列的前項和;(2)若存在正整數(shù),使得.試比較與的大小,并說明理由.【答案】解:(1)依題意, 故, 所以, 令, 則, 得,

16、 , 所以 (2)因為, 所以,即, 故, 又, 所以 ()當時,由知 , ()當時,由知 , 綜上所述,當時,;當時,;當時,. (注:僅給出“時,;時,”得2分.) 設無窮數(shù)列滿足：，.記.（1）若，求證：=2，并求的值；（2）若是公差為1的等差數(shù)列，問是否為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論【解】（1）因為，所以若，則矛盾，若，可得矛盾，所以 4分于是，從而 7分（2）是公差為1的等差數(shù)列，證明如下： 9分時，所以， ，13分即，由題設，又，所以，即是等差數(shù)列16分設為部分正整數(shù)組成的集合,數(shù)列的首項,前項和為,已知對任意的整數(shù),當整數(shù)時,都成立.(1)設,求的值;(2)設,求數(shù)列的通項公式.【答案

17、】【命題立意】本小題考查數(shù)列的通項與前n項和的關系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎知識,考查考生分析探究及邏輯推理的能力. 【解析】(1)由題設知,當時,即,從而.又,故當時,.所以的值為8. (2)由題設知,當且時,且. 兩式相減得,即. 所以當時,成等差數(shù)列,且也成等差數(shù)列. 從而當時, (*) 且,所以當時,即,于是當時,成等差數(shù)列,從而,故由(*)式知,即.當時,設. 當時,從而由(*)式知,故. 從而,于是. 因此,對任意的都成立.又由可知.故,解得,.因此數(shù)列為等差數(shù)列.由. 所以數(shù)列的通項公式為. 已知數(shù)列的前項和為且,數(shù)列為等比數(shù)列,且=l,=64.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)若

18、數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和;(3)在(2)的條件下, 數(shù)列中是否存在三項,使得這三項成等差數(shù)列?若存在,求出此三項,若不存在,說明理由.【答案】 已知，是函數(shù)圖象上的兩點，且，點共線，且 (1)求點坐標(2)若 求（3）若，記為數(shù)列前n項的和，若時，對一切都成立，試求的取值范圍。【答案】解（1）共線且,又（2）（3）令 已知數(shù)列 和滿足 ,的前項和為.()當m=1時,求證:對于任意的實數(shù)一定不是等差數(shù)列; () 當時,試判斷是否為等比數(shù)列;()在()條件下,若對任意的恒成立,求實數(shù)的范圍. 【答案】解:(1) (2) (3),不成立 當時 當為奇數(shù)時,當為偶數(shù) 從而求得 已知數(shù)列,且滿足().(

19、1)若,求數(shù)列的通項公式;(2)若,且.記,求證:數(shù)列為常數(shù)列;(3)若,且,.求數(shù)列的前項和.【答案】,解:() ()先證,即, 然后 ,數(shù)列為常數(shù)列 () 已知數(shù)列滿足且(1)計算的值,由此猜想數(shù)列的通項公式,并給出證明;(2)求證:當時,【答案】,猜想: 當時,結(jié)論成立; 假設當時,結(jié)論成立,即, 則當時, 即當時,結(jié)論也成立,由得,數(shù)列的通項公式為 原不等式等價于. 證明:顯然,當時,等號成立; 當時, , 綜上所述,當時, 設數(shù)列,即當時,記,對于,定義集合(1)求集合中元素的個數(shù); (2)求集合中元素的個數(shù).【答案】本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運算.計數(shù)原理等基礎知識,考察探究能

20、力及運用數(shù)學歸納法分析解決問題能力及推理論證能力. (1)解:由數(shù)列的定義得:, , , 集合中元素的個數(shù)為5 (2)證明:用數(shù)學歸納法先證 事實上, 當時, 故原式成立 假設當時,等式成立,即 故原式成立 則:,時, 綜合得: 于是 由上可知:是的倍數(shù) 而,所以是 的倍數(shù) 又不是的倍數(shù), 而 所以不是的倍數(shù) 故當時,集合中元素的個數(shù)為 于是當時,集合中元素的個數(shù)為 又 故集合中元素的個數(shù)為 已知Sn=1+.(1)求S2,S4的值;(2)若Tn=,試比較與Tn的大小,并給出證明.【答案】解:(1)S2=1+=,S4=1+= (2)當n=1,2時,T1=,T2=,所以,=Tn. 當n=3時,T3

21、=,S8=1+=>=T3. 于是,猜想,當n3時,>Tn 下面用數(shù)學歸納法證明: 當n3,顯然成立; 假設n=k(k3)時,>Tk; 那么,當n=k+1時,=+ >+(+)+(+) >+×2k-1+×2k-1=+=, 這就是說,當n=k+1時,>Tn. 根據(jù)、可知,對任意不小于3的正整數(shù)n,都有>Tn. 綜上,當n=1,2時,>Tn;當n3時,>Tn 已知數(shù)列an中,a1=2,nN+,an>0,數(shù)列an的前n項和Sn,且滿足.()求Sn的通項公式;()設bk是Sn)中的按從小到大順序組成的整數(shù)數(shù)列.(1)求b3;(

22、2)存在N(NN+),當nN時,使得在Sn中,數(shù)列bk有且只有20項,求N的范圍.【答案】 設數(shù)列,對任意都有,(其中、是常數(shù)).(1)當,時,求;(2)當,時,若,求數(shù)列的通項公式;(3)若數(shù)列中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當,時,設是數(shù)列的前項和,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列” ,使得對任意,都有,且.若存在,求數(shù)列的首項的所有取值;若不存在,說明理由.【答案】解:(1)當,時, , 用去代得, -得, 在中令得,則0, 數(shù)列是以首項為1,公比為3的等比數(shù)列, = (2)當,時, 用去代得, -得, , 用去代得, -得,即, 數(shù)列是等差數(shù)列. ,公

23、差, (3)由(2)知數(shù)列是等差數(shù)列,. 又是“封閉數(shù)列”,得:對任意,必存在使 , 得,故是偶數(shù), 又由已知,故. 一方面,當時, ,對任意,都有. 另一方面, 當時, 則, 取,則,不合題意 當時,則 , 當時, , 又,或或或 已知數(shù)列滿足,.(1)證明:();(2)證明:.【答案】(1)因為所以 假設當時,因為, 所以,由數(shù)學歸納法知,當時 (2)由(1)知,得, 所以所以即 所以,以此類推,得,問題得證 已知數(shù)列的相鄰兩項,是關于的方程的兩根,且.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)設是數(shù)列的前項和,問是否存在常數(shù),使得對任意都成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.【答案

24、】解:(1) ,是關于的方程的兩根, . 由,得, 故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列 . (2)由(1)得, 即. 又 . 要使對任意都成立有: 當為正奇數(shù)時,有: , 所以有: ,即,對任意正奇數(shù)都成立. 又因為單調(diào)遞增,所以當時,有最小值1. . 當為正偶數(shù)時,有: , 即: 即: ,又因為 所以有: ,即對任意正偶數(shù)都成立. 單調(diào)遞增, 所以當時,有最小值. . 綜上所述,在常數(shù),使得對任意都成立,的取值范圍是 . 已知且令且對任意正整數(shù),當時,當時,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若對任意的正整數(shù),恒成立,問是否存在使得為等比數(shù)列?若存在,求出滿足的條件;若不存在,說明理由;(3)若對任

25、意的正整數(shù)且求數(shù)列的通項公式.【答案】當時, 且, 所以, 又當時,且, , 因此,數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列, 所以, 因為,所以,所以, , 假設存在,使得能構成等比數(shù)列,則, 故,化簡得,與題中矛盾, 故不存在,使得為等比數(shù)列 因為且,所以 所以 所以, 由知,所以 , , 所以, 已知數(shù)列an的首項a1=a,Sn是數(shù)列an的前n項和,且滿足:S=3n2an+S,an0,n2,nN*.(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列,求a的值;(2)確定a的取值集合M,使aM時,數(shù)列an是遞增數(shù)列.【答案】解:(1)在S=3n2an+S中分別令n=2,n=3,及a1=a得(a+a2)2=12a2+a2,

26、(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,因為an0,所以a2=12-2a,a3=3+2a 因為數(shù)列an是等差數(shù)列,所以a1+a3=2a2,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3 經(jīng)檢驗a=3時,an=3n,Sn=,Sn-1=滿足S=3n2an+S.(2)由S=3n2an+S,得S-S=3n2an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an,即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因為an0,所以Sn+Sn-1=3n2,(n2), 所以Sn+1+Sn=3(n+1)2,-,得an+1+an=6n+3,(n2). 所以an+2+an+1=6n+9,-,得an+2-an=6,(n2

27、)即數(shù)列a2,a4,a6,及數(shù)列a3,a5,a7,都是公差為6的等差數(shù)列, 因為a2=12-2a,a3=3+2a.所以an= 要使數(shù)列an是遞增數(shù)列,須有a1<a2,且當n為大于或等于3的奇數(shù)時,an<an+1,且當n為偶數(shù)時,an<an+1,即a<12-2a,3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n為大于或等于3的奇數(shù)),3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n為偶數(shù)),解得<a<.所以M=(,),當aM時,數(shù)列an是遞增數(shù)列 已知為實數(shù),數(shù)列滿足,當時, ();()證明:對于數(shù)列,一定存在,使;()令,當時,求證:【答案】解:()由題意知

28、數(shù)列的前34項成首項為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,從而= =. ()證明:若,則題意成立 若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即. 設,則當時,. 從而此時命題成立 若,由題意得,則由的結(jié)論知此時命題也成立. 綜上所述,原命題成立 ()當時,因為, 所以= 因為>0,所以只要證明當時不等式成立即可. 而 當時, 當時,由于>0,所以< 綜上所述,原不等式成立 已知數(shù)列滿足:,.若,求數(shù)列的通項公式;設,數(shù)列的前項和為,證明:.若時,所以,且. 兩邊取對數(shù),得, 化為, 因為, 所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列 所以,所以 由,得, 當

29、時, ,得, 由已知,所以與同號 因為,且,所以恒成立, 所以,所以 因為,所以, 所以 記等差數(shù)列an的前n項和為Sn.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)若a1=1,且對任意正整數(shù)n,k(n>k),都有+=2成立,求數(shù)列an的通項公式;(3)記bn=a (a>0),求證:.【答案】解(1)設等差數(shù)列an的公差為d,則Sn=na1+d,從而=a1+d. 所以當n2時,-=(a1+d)-(a1+d)=.即數(shù)列是等差數(shù)列 (2)因為對任意正整數(shù)n,k(n>k),都有+=2成立,所以+=2,即數(shù)列是等差數(shù)列 設數(shù)列的公差為d1,則=+(n-1)d1=1+(n-1)d1,所以Sn=1

30、+(n-1)d12,所以當n2時,an=Sn-Sn-1=1+(n-1)d12-1+(n-2)d12=2dn-3d+2d1,因為an是等差數(shù)列,所以a2-a1=a3-a2,即(4d-3d+2d1)-1=(6d-3d+2d1)-(4d-3d+2d1),所以d1=1,即an=2n-1.又當an=2n-1時,Sn=n2,+=2對任意正整數(shù)n,k(n>k)都成立,因此an=2n-1 (3)設等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d,bn=a,所以=a-=ad,即數(shù)列bn是公比大于0,首項大于0的等比數(shù)列 記公比為q(q>0).以下證明:b1+bnbp+bk,其中p,k為正整數(shù),且p

31、+k=1+n.因為(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)( qk-1-1).當q>1時,因為y=qx為增函數(shù),p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.當q=1時,b1+bn=bp+bk.當0<q<1時,因為y=qx為減函數(shù),p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.綜上,b1+bnbp+bk,其中p,k為正整數(shù),且p+k=1+n 所以n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+(b1+bn)(b1+bn)+(b2+bn-1)+(

32、b3+bn-2)+(bn+b1)=(b1+b2+bn)+(bn+bn-1+b1),即 已知數(shù)列中,且點在直線上.(1)求數(shù)列的通項公式; (2)求函數(shù)的最小值;(3)設表示數(shù)列的前項和.試問:是否存在關于的整式,使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立? 若存在,寫出的解析式,并加以證明;若不存在,試說明理由.【答案】解:(1)由點P在直線上, 即, 且,數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列 ,同樣滿足,所以 (2) 所以是單調(diào)遞增,故的最小值是 (3),可得, , ,n2 故存在關于n的整式g(x)=n,使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立 已知數(shù)列an滿足:.(1)若,求數(shù)列an的通項公式;(2

33、)若,試證明:對,an是4的倍數(shù).【答案】解:(1)當時,. 令,則. 因為奇數(shù),也是奇數(shù)且只能為, 所以,即 (2)當時, 下面利用數(shù)學歸納法來證明:an是4的倍數(shù). 當時,命題成立; 設當時,命題成立,則存在N*,使得, , 其中, ,當時,命題成立. 由數(shù)學歸納法原理知命題對成立 設整數(shù),是平面直角坐標系中的點,其中(1)記為滿足的點的個數(shù),求;(2)記為滿足是整數(shù)的點的個數(shù),求【答案】【命題立意】本小題主要考查計數(shù)原理,考查探究能力和解決實際問題的能力. 【解析】(1)點P的坐標滿足條件:,所以. (2)設k為正整數(shù),記為滿足題設條件以及的點P的個數(shù),只要討論的情形.由知,且. 設其中

34、,所以 . 將代入上式,化簡得. 所以 已知數(shù)列an中,a2=1,前n項和為Sn,且.(1)求a1;(2)證明數(shù)列an為等差數(shù)列,并寫出其通項公式;(3)設,試問是否存在正整數(shù)p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)組(p,q);若不存在,說明理由.【答案】解:(1)令n=1,則a1=S1=0 (2)由,即, 得 . -,得 . 于是,. +,得,即 又a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,數(shù)列an是以0為首項,1為公差的等差數(shù)列. 所以,an=n-1 (3)假設存在正整數(shù)數(shù)組(p,q),使b1,bp,bq成等比數(shù)列,則lgb1,l

35、gbp,lgbq成等差數(shù)列, 于是, 所以,(). 易知(p,q)=(2,3)為方程()的一組解 當p3,且pN*時,<0,故數(shù)列(p3)為遞減數(shù)列, 于是<0,所以此時方程()無正整數(shù)解. 綜上,存在唯一正整數(shù)數(shù)對(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比數(shù)列 注 在得到式后,兩邊相除并利用累乘法,得通項公式并由此說明其為等差數(shù)列的,亦相應評分.但在做除法過程中未對n2的情形予以說明的,扣1分. 本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎知識及基本運算,考查創(chuàng)新能力.兩個基本數(shù)列屬C能要求,屬高考必考之內(nèi)容,屬各級各類考試之重點. 第(3)問中,若數(shù)列an為等差數(shù)列,則數(shù)列(k&

36、gt;0且k1)為等比數(shù)列;反之若數(shù)列an為等比數(shù)列,則數(shù)列(a>0且a1)為等差數(shù)列. 第(3)問中,如果將問題改為“是否存在正整數(shù)m,p,q(其中m<p<q),使bm,bp,bq成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)組(m,p,q);若不存在,說明理由.”那么,答案仍然只有唯一組解.此時,在解題時,只須添加當m2時,說明方程組無解即可,其說明思路與原題的解題思路基本相同. 對于第(2)問,在得到關系式:后,亦可將其變形為,并進而使用累乘法(迭乘法),先行得到數(shù)列an的通項公式,最后使用等差數(shù)列的定義證明其為等差數(shù)列亦可.但需要說明n2. 考慮到這是全市的第一次大考,又是

37、考生進入高三一輪復習將近完成后所進行的第一次大規(guī)模的檢測,因而在評分標準的制定上,始終本著讓學生多得分的原則,例如本題中的第(1)問4分,不設置任何的障礙,基本讓學生能得分. 設函數(shù),數(shù)列滿足.(1)若,試比較與的大小;(2)若,求證:對任意恒成立.【答案】設函數(shù),數(shù)列滿足. (1)若,試比較與的大小; (2)若,求證:對任意恒成立. 解:(1)時, 所以, 所以, 所以 (2)用數(shù)學歸納證明當時,對任意恒成立, 時,結(jié)論成立; 設時, 則當時, ,即, 當時, 即是上的單調(diào)遞增增函數(shù), 所以,即 即時,結(jié)論成立, 綜上可得,當時,對任意恒成立, 為穩(wěn)定房價，某地政府決定建造一批保障房供給社會.計劃用1 600萬元購得一塊土地，在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)，每幢樓的樓層數(shù)相同，且每層建