立體幾何動(dòng)點(diǎn)問題

1、立體幾何與平面解析幾何的交匯問題在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨(dú)立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實(shí)際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線是空間二個(gè)平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線；從軌跡的觀點(diǎn)看，空間中的曲面（曲線）是空間中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，正因?yàn)槠矫鎺缀闻c立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點(diǎn)，新知識(shí)生長的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長空間也相當(dāng)寬廣，這一點(diǎn)，在高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們?cè)趶?fù)習(xí)中的足夠重視。一、

2、動(dòng)點(diǎn)軌跡問題這類問題往往是先利用題中條件把立幾問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡。例1定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且。那么，動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（ ）A. 一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B. 一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C. 一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D. 半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)例2若三棱錐ABCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與ABC組成的圖形可能是（ ）解：設(shè)二面角ABCD大小為，作PR面BCD，R為垂足，PQBC于Q，PTAB于T，則PQR=，且由條件PT=PR=PQ·sin， 為小于1的常數(shù)，故軌跡圖形應(yīng)選（D）。二

3、、幾何體的截痕例3：球在平面上的斜射影為橢園：已知一巨型廣告汽球直徑6米，太陽光線與地面所成角為60°，求此廣告汽球在地面上投影橢圓的離心率和面積（橢圓面積公式為S=ab，其中a,b為長、短半軸長）。解：由于太陽光線可認(rèn)定為平行光線，故廣告球的投影橢園等價(jià)于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時(shí)OE例4題圖ABCDA1C1D1B1Mb=R，a= =2R，離心率 ，投影面積S=ab=·k·2R=2R2=18。三、動(dòng)點(diǎn)與某點(diǎn)（面）的距離問題例4正方體中，棱長為a，E是的中點(diǎn)，在對(duì)角面上找一動(dòng)點(diǎn)M，使AM+ME最小.四、常見的軌跡問題（1） 軌跡類型識(shí)別此類問題最為常見

4、，求解時(shí)，關(guān)注幾何體的特征，靈活選擇幾何法與代數(shù)法.例5、（北京）平面的斜線AB交于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線l與AB垂直，且交于點(diǎn)C ，則動(dòng)點(diǎn)C 的軌跡是()A一條直線 B.一個(gè)圓 C.一個(gè)橢圓D.雙曲線的一支【解析】直線l 運(yùn)動(dòng)后形成的軌跡剛好為線段AB的垂面，由公理二易知點(diǎn)C 剛好落在平面與線段AB的垂面的交線上，所以動(dòng)點(diǎn)C 的軌跡是一條直線.選擇 A.總結(jié)：空間的軌跡最簡(jiǎn)單的一直存在形式就是兩個(gè)平面的交線，處理問題中注意識(shí)別即可.BCD1B1CgPO例6、如圖，在正方體ABCD A1 B1C1D1 中，若四邊形A1BCD1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到AB1和 BC 的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）A橢圓的一

5、部分B圓的一部分C一條線段D拋物線的一部分【解析】由于AB1 平面ABCD11，連接OP ，此即為點(diǎn)P到AB1 的距離，由此，動(dòng)點(diǎn)P到AB1和 BC 的距離相等轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)到定點(diǎn)（定直線外）的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡問 題，符合拋物線的定義，所以本題選D.總結(jié)：立體幾何中的距離問題，往往需要借助線面垂直轉(zhuǎn)化；涉及到動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，優(yōu)先考慮定義法.例 7、（浙江）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A圓 B橢圓 C一條直線 D兩條平行直線【解析】考慮到三角形的面積為定值，結(jié)合線段AB固定，易知?jiǎng)狱c(diǎn)P到線段AB的距離為定值

6、，結(jié)合前文定義，在空間到定直線距離為定值的點(diǎn)的軌跡為以定直線為軸的圓柱面，可以得到P點(diǎn)在此圓柱面上，又點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P在平面與圓柱面的截線上，由于AB是平面的斜線段，所以平面與圓柱面斜交，由命題 1，可以得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓總結(jié)：“動(dòng)中尋靜”，充分挖掘不變量，是解決此類問題的關(guān)鍵，另外需注意圓柱面的生成過程.例8、如圖，在矩形 ABCD 中，E為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，將 ABE沿著直線BE 翻轉(zhuǎn)成ABE1，使平面ABE1 平面 ABCD ，則點(diǎn)A1的軌跡是（）A.線段B.圓弧C.橢圓的一部分D.以上都不是【解析】將 ABE沿著直線BE 翻轉(zhuǎn)成DABE1的過程中，AB1 的長度始終是保持不

7、變的，這樣，點(diǎn)A1在以B為球心，以AB為半徑的球面上，所以點(diǎn)A1的形成軌跡為圓弧，選擇 B.AB 總結(jié):在空間，到定點(diǎn)的距離為定長的點(diǎn)的軌跡為球，球的概念生成的兩個(gè)必要條件為定點(diǎn)與定長，解題時(shí)注意把控.例9、已知正方體ABCD A1B1C1D1 的棱長為 1，點(diǎn)P是平面 ABCD 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直ABCD1A1B1C1DMPxyQN線A1D 1的距離等于點(diǎn)P到直線CD 的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（）A拋物線B雙曲線C橢圓D直線【解析】本題從幾何的角度很難找到突破口，可以嘗試從代數(shù)的角度處理：如圖，建立直角坐標(biāo)系x D y- ，設(shè)P x y( , )，則有 y2 + =1 x化簡(jiǎn)可得

8、：x2 y2=1，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線為雙曲線，選擇 B.總結(jié)：從幾何角度不好入手時(shí)，可以嘗試從代數(shù)的角度，利用解析法求解出相應(yīng)軌跡 （2）與軌跡相關(guān)的度量與軌跡相關(guān)的度量，具體涉及到軌跡長度，軌跡面的面積，軌跡體的體積，以及與軌跡相關(guān)的角度、距離、周長等.例10、在棱長為 1 的正方體ABCD A1B1C1D1 中，M N 分別為AC1、A1B 1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP與 BN 垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長為_.【解析】依照題意，只需過點(diǎn)M 作直線 BN 的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.D1 分別取CC1 、DD1中點(diǎn)G 、H ，易知 BN 平

9、面 AGHD ，過M 作平面 AGHD 的平行平面 EFG H¢¢，點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡即為四邊形 EFG H¢¢，其周長與四邊形 AGHD 的周長相等，所以點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長為 2 +5 .總結(jié)：本題中面面的交線（截痕）即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，處理問題的關(guān)鍵抓住線面垂直，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.例11.已知邊長為1的正方體ABCDA1B1C1D1，在正方體表面上距A為 （在空間）的點(diǎn)的軌跡是正方體表面上的一條曲線，求這條曲線的長度。解：此問題的實(shí)質(zhì)是以A為球心、 為半徑的球在正方體ABCDA1B1C1D1，各個(gè)面上交線的長度計(jì)算，正方體的各個(gè)面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成二

10、類：ABCD，AA1DD1，AA1BB1為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為 ，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為 ，故各段弧圓心角為 ，這條曲線長度為 。例12、已知直線l 平面，垂足為O ，在矩形中 ABCD ，AD =1，AB = 2，若點(diǎn)A在l 上移動(dòng)，點(diǎn)B在平面上移動(dòng)，則O 、D兩點(diǎn)間距離的最大值為（+1【解析】點(diǎn)A在l 上移動(dòng)，點(diǎn)B在平面上移動(dòng)過程中，AB的中點(diǎn)M 到O 點(diǎn)的距離始終保持不變，即AB的中點(diǎn)始終在以O(shè) 為球心，1 為半徑的球面上.由此可以采用幾何法處理，如圖，連接OD 、 MO 、MD，易知OM +

11、MD ³OD ，所以O(shè)D 的最大值為C本題亦可采用代數(shù)法求解，如圖所示建立坐標(biāo)系，總結(jié)：利用幾何法解決問題，關(guān)鍵抓住幾何要素，本題中線段的中點(diǎn)在球面上是幾何法解決問題的突破口.利用代數(shù)法解決問題時(shí)，選擇合適的建系方案，盡可能的簡(jiǎn)化運(yùn)算.例13（2015 上海 13 校聯(lián)考）直線m 平面，垂足為O ，正四面體 ABCD 的棱長是4. 點(diǎn)C 在平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線m上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)O 到直線AD的距離的取值范圍是（2+1 ）五、練習(xí)1如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=2， 則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )(1) ACBE.(2) 若P為

12、AA1上的一點(diǎn),則P到平面BEF的距離為2.(3) 三棱錐A-BEF的體積為定值.(4) 在空間與DD1,AC,B1C1都相交的直線有無數(shù)條.(5) 過CC1的中點(diǎn)與直線AC1所成角為40°并且與平面BEF所成角為50°的直線有2條.A.0 B.1 C.2 D.32如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A B平面C三棱錐的體積為定值 DAEF與BEF 的面積相等3.關(guān)于圖中的正方體，下列說法正確的有： 點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，棱錐體積不變；點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，二面角 不變；一個(gè)平面截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；一個(gè)平面截此正方體，如果截面是四邊形，則必為平行四邊形；平面截正方體得到一個(gè)六邊形（如圖所示），則截面在平面 與平面間平行移動(dòng)時(shí)此六邊形周長先增大，后減小。4、如圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號(hào)).當(dāng)時(shí),S為四邊形; 當(dāng)時(shí),S不為等腰梯形;當(dāng)時(shí),S與的交點(diǎn)R滿