大數(shù)定律與中心極限定理練習(xí)(全面版)資料

1、大數(shù)定律與中心極限定理練習(xí)（全面版）資料第五章 大數(shù)定律與中心極限定理練習(xí)1.X N( , 2), Y服從參數(shù)為的泊松分布，則()(A)E(X Y)1 (B)D(X Y) 2(C)E(X2 Y2)22 (D)E(Y2)(1)2已知某隨機(jī)變量的方差D =1，但數(shù)學(xué)期望E =m未知，為估計(jì) m,對(duì) 進(jìn)行n次獨(dú)一 1 n立觀測(cè)，得樣本觀察值1,2,， n?，F(xiàn)用一 -i估計(jì)m,問(wèn)當(dāng)n多大時(shí)才能使n i 1P | m | 0.5 p。3某電視機(jī)廠每月生產(chǎn) 10000臺(tái)電視機(jī)，但它的顯像管車間的正品率為0.8，為了以0.997的概率保證出廠的電視機(jī)都裝上正品的顯像管，該車間每月應(yīng)生產(chǎn)多少只顯像管？4.某公

2、司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以 表示在隨意抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜向公司索賠的戶數(shù)(1) 寫出的概率分布；(2) 利用棣莫弗一拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的 近似值。6.設(shè)X1, X2, ,X100是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其共同分布為區(qū)間 (0,1)上的均勻分布，求P(X1 X2X10060)?第五章 大數(shù)定律與中心極限定理一一學(xué)習(xí)輔導(dǎo)學(xué)習(xí)要求（一）考核知識(shí)點(diǎn)：契比雪夫不等式大數(shù)定律（Bernoulli大數(shù)定律、Chebyshev大數(shù)定律）中心極限定理（De Moivre-Laplace中心極限定理、Levy-Lindeberg 中心極

3、限定理）（二）考核要求：1.了解 Chebyshev不等式、Chebyshev大數(shù)定律、 De Moivre-Laplace中心極限定理、Levy-Li ndeberg 中心極限定理；2 .了解大數(shù)定律和中心極限定理的使用。典型例題1 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)蘭ex,x其中m為正整數(shù)，證明 P 0 X2(m證明E(X)xf(x)dx 01xm!m 1d(e(m1)2E(X2)(mm!0,x1)1 m x m!x)(mf (x)dx2x2f(x)dx2)(m1)于是 D(X) E(X2)E(X)2 m1exdx1) 11xm!1，取2e xdx1，利用契比雪夫不等式，則P0 X 2(m

4、1) P X (m 1) m 1P X E(X)1 D(X)2m 1(m 1)2De Moivre-Laplace中心極限定理計(jì)算這題，結(jié)果如何?解設(shè)需擲n次滿足要求，引入隨機(jī)變量X|1,第I次擲出正面；I 1,2, ,n0,第I次擲出反面。則 P(XI k) 1,kI 211,D(Xi)240,1,i 1,2,n,且 X1，X2,E(XJn令mi 1依題意，所求之 n滿足Xi，m為n次擲硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)，于是1-,D214n0.4-0.60.90n利用契比雪夫不等式得P 0.4 -n0.60.1丄4n(0.1)20.90于是得n 250。用De Moivre-Laplace中心極限定理計(jì)

5、算這題，得P 0.4 m 0.6 nP 0.4 nm 0.6nP 0.4n 0.5n(0.5)2n2 (02一 n) 1m 0.5n0.6n 0.5n,(0.5)2n0.90于是得n 68。100只合即得 (02. n) 0.95或 02、n 1.645,3 某廠生產(chǎn)的螺絲不合格率為0.01，問(wèn)一盒中應(yīng)至少裝有多少只才能使其中含有格品的概率不小于 0.95?解設(shè)一盒至少應(yīng)裝n只滿足要求，引入1,第I只螺絲為合格品；X.I 0,第I只螺絲為不合格品。則X1,X2, ,xn獨(dú)立同分布，且P(XI k) (0.99)k (0.01)1 k, K 0,1,I1,2, NE(XI) 0.99 ,D(XI

6、)0.01 0.992依題依所求之n滿足nPXI 100 0.95I 1nnXi n100 PI 1+；n100 n、P Xii 1 即得石1用獨(dú)立同分布的中心極限定理得100 n0.95100 _n_ 0.990.1、n 0.99查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得100 n 0.9901n 0.991.645令 x n 0.99，得 x 0.1645、. x1000,解上述不等式，得x 101.66，于是101.660.99102.69取n 103為所求?；緝?nèi)容大數(shù)定理與中心極限定理一、大數(shù)定理概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列極限定理稱為大數(shù)定理。定理1(bernoulli 定理)設(shè)m

7、是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任意正數(shù)總有l(wèi)im Pn注：定理說(shuō)明，當(dāng)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大的差別的 可能性很小，因而在實(shí)際中便可以用頻率來(lái)代替概率。定理2設(shè)隨機(jī)變量 Xi, X2, -r, Xn,相互獨(dú)立且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(XJ,D(XJ2, (i 1,2,)作n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)Xi, n i 1對(duì)于任意正數(shù)，總有l(wèi)im P Xlim P|nXin i 1注：定理說(shuō)明，當(dāng)n充分大時(shí)，算術(shù)平均數(shù) 必然接近于數(shù)學(xué)期望。二、中心極限定理在概率論中，把研究在什么條件下，大量獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的分布以 正態(tài)分布為極限這一類

8、定理稱為 中心極限定理。定理3 如果隨機(jī)變Xk(i 1,2,)獨(dú)立同分布，且E(Xk), D(Xk)2 0,1,2,，則limnnXkPi 1 席x X -tie 2 dt注：無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量Xk(i 1,2, -)具有怎樣的分布，只要滿足定理基本內(nèi)容備注n條件， 那么它們的和Xk當(dāng)n很大時(shí)，近似服從正態(tài)分布。i 1例1 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱 平均重50kg，標(biāo)準(zhǔn)重為5kg.右用最大載重量為 5噸的汽車承運(yùn)，試用中心極 限定理說(shuō)明每車最多可裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。解 設(shè)Xi(i 1,2,., n)為裝運(yùn)第i箱的重量，n是所求的箱數(shù)。由題

9、意可把Xi,X2,.,Xn看作獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，令nYn Xi X2 XnXi,則Y,就是這n箱貨物的總重量。i 1又、*E(XJ 50,D(Xi) 25,E(Yn)50n, D(Yn)25n.由中心極限定理，有5000 50nP(Y, 5000)=0.977(2),Wn從而，有嚴(yán)2,n 98.0199,Vn故最多可以裝98箱。定理4設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意x,恒有t2.D X npx 1T .Iim P -xdt.nJnpq- 2證 可將X看作是n個(gè)獨(dú)立同服從(0-1 )分布的隨機(jī)變量nXk(i 1,2,)之和，即 XXk，其中 PXk ipi(q)1 i,

10、i 0,1.i 1由于E(Xk) p,D(Xk) pq (k 1,2,., n),t2所以由定理 3得lim P Xf np x/ e 2 dt.n7npq- v2基本內(nèi)容備注注 當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。計(jì)算應(yīng)先進(jìn)行連續(xù)性校正。離散型變量取值為k的概率與連續(xù)型變量在以k為中心、長(zhǎng)為一個(gè)單位的區(qū)間內(nèi)的概率相對(duì)應(yīng)，即1 1px k p(k 2)x (k -),i,i,i,ik _ np v “ k _ npk _ npk _ npP2X np222JnpqJnpqJn pqJn pq,1 , 11v 卄 k 一 npk _ npPX k PX k - P x np22JnpqJnpq

11、Jnpq當(dāng)n充分大時(shí)，Poisson分布也近似于正態(tài)分布。其連續(xù)性校正公式為.k 1k 丄PX k22rrk 1PX k2廠例2某病的患病率為 0.005，現(xiàn)對(duì)10000人進(jìn)行檢查，試求查出患病人數(shù)在45,55內(nèi)的概率.解 設(shè)患病人數(shù)為 X,則XB（10000,0.005）.由定理4得P45 X 55 PX 55 PX 441 155 0.005 1000044 0.005 100002 2(0.005 10000 0.995丿0.005 10000 0.995(0.78)( 0.78)2 (0.78) 12 0.78230.5646例3某公司生產(chǎn)的電子元件合格率為99.5% o裝箱出售時(shí)，（

12、1）若每箱中裝1000只，冋不合格品在 2到6只之間的概率是多少？（ 2）若要以99%的概率保證每箱合格品數(shù)不少于1000只，問(wèn)每箱至少應(yīng)該多裝幾只這種電子元件？解：（1）這個(gè)公司生產(chǎn)的電子兀件不合格率為1-0.995=0.005，設(shè)X表示“ 1000基本內(nèi)容備注只電子元件中不合格的只數(shù)”，貝U XB(1000,0.005)。P(2 X 6)( 6.5 1000 0.005)(1.5 1000 0.005)(000 0.005 0.995)(丁1000 0.005 0.995)(0.45)( 1.34)0.6736 (1 0.9099)0.5835(2)設(shè)每箱中應(yīng)多裝k只元件，則不合格品數(shù)XB

13、(1000+ k,0.005)，由題設(shè)，應(yīng)有P(X k) 0.99，因而可得1 k (1000 k) 0.005P(X k)( ,2一)0.99(2.326)1000 k) 0.005 0.9951k (1000 k) 0.005于是k應(yīng)滿足22 3267(1000 k) 0.005 0.995解之，有k 11這就是說(shuō)，每箱應(yīng)多裝11只電子元件，才能以99%以上的概率保證合格品數(shù) 不低于1000只。本次課小結(jié)：介紹了大數(shù)定律和中心極限定理。要求理解伯努利定理；理解獨(dú)立冋分布的中心極限定理和二項(xiàng)分布、Poisson分布的也正態(tài)近似的有關(guān)計(jì)算?；緝?nèi)容備注基本內(nèi)容備注第四章 大數(shù)定理與中心極限定理

14、典型題解1 計(jì)算器在進(jìn)行時(shí)，將每個(gè)加數(shù)舍入，最靠近它的整數(shù)，設(shè)所有舍入誤差 相互獨(dú)立且在(0.5,0.5)上服從均勻分布，將1500個(gè)數(shù)相加，問(wèn)誤差總和的絕對(duì) 值超過(guò)15的概率是多少？解 設(shè)第k個(gè)加數(shù)的舍入誤差為 Xk(k 1,2,1500),已知Xk在(0.5,0.5)上服從均勻分布，故知E(Xk)0,D(Xk)1500Xk，由中心極限定理,當(dāng)n充分時(shí)有近似公式P X 1500 0 1500 112x(x)，于是P x 15 1 P xP上0151 PX 015 X15150 15152 ( 1 2 (1.342) 21 0.9099.1500120.1802.即誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概

15、率近似地為0.1802 .2.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長(zhǎng)度不小于3m，現(xiàn)在從這批木柱 中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率.解 以X記被抽取的100根木柱長(zhǎng)度短于3m的根數(shù)，則X b(100,0.2) 于是由中心極限定理得PX 30P30 Xp_30_100_0.2'100 0.2 0.830 20()( )V161 0.99380.0062.3.將一枚硬幣投擲49次，(I )求至多出現(xiàn)28次正面的概率；(II )求出現(xiàn)20-25次正面的概率.X 100 0.2100 0.2 0.8100 0.2 100 0.2 0.8；1(2.5)解 以X表示49次投擲中出現(xiàn)

16、正面的次數(shù)，則有 X b(49, 12). (I )由中心極限定理得2849 (2)(1)0.8413 ;1114922P X 28(II )由中心極限定理得20fl2549O2490.5557 0.0985 0.4572.4. 某廠有同號(hào)機(jī)器100臺(tái)，且獨(dú)立工作，在一段時(shí)間內(nèi)每臺(tái)正常工作的概 率為0.8 .求正常工作的機(jī)器超過(guò)85臺(tái)的概率.解 設(shè) 為100臺(tái)中正常工作的機(jī)器數(shù)，則B(100,0.8)，且 np E 80, npq D 16 .80485 804由中心極限定理可得所求概率為0 80 P 851P0851 P-41 (1.25)( 20)0.1056.5. 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱

17、包裝，每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重 50kg，標(biāo)準(zhǔn)差5kg .若用最大載重量5t的汽車承運(yùn)最多可以裝多少箱才能保障 不超載的概率大于0.977 .解 設(shè)n為每輛車所裝的箱數(shù),i (i 1,2, n)是裝運(yùn)的第i箱的重量，且E i 50, D i 25 . n箱的總重量n有 E 50n,D 25n，由中心極限定理近似服從正態(tài)分布N(50n,25n).現(xiàn)求使下面不等式成立的P5000P50n5 n500050n5n1000 10n0.977查正態(tài)分布表得100010n從而n 98.0199，即最大可以裝98箱.6. 設(shè)一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為10%，現(xiàn)從中任取500件，這500件中一件 級(jí)品的

18、比例與10%之差的絕對(duì)值小于2%的概率.E 50, D 45由中心極限定理得p|莎 01 002 P 50 10 p牆 總52 (1.49) 1 0.8638.7設(shè)一袋味精的重量是隨機(jī)變量，平均值 100g,標(biāo)準(zhǔn)差2g求100袋味精 的重量超過(guò)10.05kg的概率.解 設(shè)i(i 1,2,100)第i袋味精的重量，100袋的總重量12100 ,而E i100, D i4，所以所求概率為P100501P01005010 100P.而100100 10010050 100 10022一 100 21 (2.5)(500)1 0.993790.00621.8.本200頁(yè)的書，每頁(yè)上的錯(cuò)誤數(shù)服從參數(shù)為

19、0.1的泊松分布，求該書 的錯(cuò)誤數(shù)大于15個(gè)的概率.解 設(shè) 為該書的總錯(cuò)誤數(shù)，則E 20，D 20,于是所求概率為P151P0150 201 P-V2020”2015 2020 1 (1.12)(4.47)0.8686.9.某射手打靶,得10分，9分，8分，7分，6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.現(xiàn)射擊100次，求總分多于880分的概率.解 設(shè)為100次射擊的總分?jǐn)?shù)，依題意，E915, D122.75 .根據(jù)中心極限定理得0 915915P 8801P09151 PV122.75.122.75880 915122.75 '1( 3.16)0.9992.10.

20、一生產(chǎn)過(guò)程的次品率為12%，隨機(jī)地自這一生產(chǎn)過(guò)程生產(chǎn)的產(chǎn)品中取出 120只，求次品不多余15只的概率.解 以X記120只產(chǎn)品中的次品數(shù)，貝U X B(120,0.12).所需求的概率為X 120 0.12PX 15 -120Oh0.8815 120 0.12一120一0.12一0.88(0.17)0.5675.11 某種難度很大的心臟手術(shù)成功率為 0.9，對(duì)100個(gè)病人進(jìn)行這種手術(shù),以X記手術(shù)成功的人數(shù).求P84 X 95.解依題意有95 100 0.984 100 0.9P84 X95(.100 0.9 0.1 )()、100 0.9 0.1(1.67)(2)0.9525 0.9772 10

21、.9297.12. 在一零件商店中，其結(jié)帳柜臺(tái)替各顧客服務(wù)的時(shí)間(以分計(jì))是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1.求對(duì)100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不多余 2 小時(shí)的概率.解 以Xi(i 1,2,100)記對(duì)第i位顧客的服務(wù)時(shí)間.按題設(shè)需求概率為100P Xi 120i 1(120 150)(10)120 100 1.5100廠100i 1 Xi 100 1.5L1iL>500 1(3) 0.0013.13. 某種電子元件的壽命服從數(shù)學(xué)期望為 2的指數(shù)分布，各元件的壽命相互 獨(dú)立，隨機(jī)取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率.解 設(shè)X為100只元件的壽命之和，則E(X)

22、 200, D(X) 400，則所求概率為PX 180)1P0 X 1801 ( 1)( 10)0.8413.1 。蘭。V400X 200,400180 20040014. 某工廠有200臺(tái)同類型的機(jī)器，每臺(tái)機(jī)的實(shí)際工作時(shí)間只占全部工作時(shí) 間的75%，各臺(tái)機(jī)器是否工作是相互獨(dú)立的，求一時(shí)刻有144至160臺(tái)機(jī)器正在工作的概率.解 設(shè)隨機(jī)變量丫表示任一時(shí)刻正在工作的機(jī)器的臺(tái)數(shù)，則丫服從二項(xiàng)分布B(200,0.75).所以所求概率為P144 丫 160(_160_200_0.75_.200 0.75 0.25(_144_200_0.75-200 0.75 0.25(1.63)( 0.98)0.78

23、49.15. 在次品率為丄的一大批產(chǎn)品中，任意抽取300件產(chǎn)品，利用中心極限定6理計(jì)算抽取的產(chǎn)品中次品書在 4060之間的概率.解 設(shè)X為300件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，依題意知2501X B(300, ), E(X) 50, D(X)6利用中心極限定理得第五章大數(shù)定理及中心極限定理2:題略。10 解：以 Xi(i 1,2,10)記第i個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng)度。以L記10件產(chǎn)品的總長(zhǎng)度：Li 1按題設(shè)E(Xi)2,D(Xi)0.0025.由定理四可知L 10 2,?0 0.05近似的服從N(0,1)分布，故產(chǎn)品合格的概率為p P(|L 201 0.1)P(_0.1_而 0.05_L_20_而 0.050.1 0.1(一10一0.05)(：10一0.05)(0.63)( 0.63)2 0.7357 1 0.47144:題略。解：以Xi(i 1,2，,