高一培優(yōu)資料第二次（函數(shù)及性質(zhì)）

1、高一數(shù)學(xué)培優(yōu)資料二1對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”： ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(xx2)，xR.若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()A(，2 B(，2C. D.解析當(dāng)(x22)(xx2)1，即1x時(shí)，f(x)x22；當(dāng)x22(xx2)1，即x1或x時(shí)，f(x)xx2，f(x)f(x)的圖象如圖所示，c2或1c.答案B2已知函數(shù)f(x)則滿(mǎn)足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范圍是_解析由題意有或解得1<x<0或0x<1，所求x的取值范圍為(1，1)答案(1，1)3設(shè)函數(shù)f(x)g(x)f(x)ax，x1,3，其中aR，記函數(shù)g(x

2、)的最大值與最小值的差為h(a)(1)求函數(shù)h(a)的解析式；(2)畫(huà)出函數(shù)yh(x)的圖象并指出h(x)的最小值解(1)由題意知g(x)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g(x)是1,3上的增函數(shù)，此時(shí)g(x)maxg(3)23a，g(x)ming(1)1a，所以h(a)12a；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)g(x)是1,3上的減函數(shù)，此時(shí)g(x)ming(3)23a，g(x)maxg(1)1a，所以h(a)2a1；當(dāng)0a1時(shí)，若x1,2，則g(x)1ax，有g(shù)(2)g(x)g(1)；若x(2,3，則g(x)(1a)x1，有g(shù)(2)<g(x)g(3)，因此g(x)ming(2)12a，而g(3)g(1)(

3、23a)(1a)12a，故當(dāng)0a時(shí)，g(x)maxg(3)23a，有h(a)1a；當(dāng)<a1時(shí)，g(x)maxg(1)1a，有h(a)a.綜上所述，h(a)(2)畫(huà)出yh(x)的圖象，如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得h(x)minh.4. 設(shè)x0時(shí)，f(x)=2;x0時(shí)，f(x)=1，又規(guī)定：g(x)= (x0)，試寫(xiě)出y=g(x)的解析式，并畫(huà)出其圖象.解 當(dāng)0x1時(shí)，x-10,x-20,g(x)= =1.當(dāng)1x2時(shí)，x-10，x-20,g(x)= ;當(dāng)x2時(shí)，x-10，x-20,g(x)= =2.故g(x)=其圖象如圖所示.5二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(

4、x)的解析式；(2)在區(qū)間1,1上，函數(shù)yf(x)的圖象恒在直線(xiàn)y2xm的上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)由f(0)1，可設(shè)f(x)ax2bx1(a0)，故f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2axab，由題意，得解得故f(x)x2x1.(2)由題意，得x2x1>2xm，即x23x1>m，對(duì)x1,1恒成立令g(x)x23x1，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為g(x)min>m，又因?yàn)間(x)在1,1上遞減， 所以g(x)ming(1)1，故m<1.6(14分)(2011·鞍山模擬)已知f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，且f(1)1，若a，b1,1，ab

5、0時(shí)，有>0成立(1)判斷f(x)在1,1上的單調(diào)性，并證明它；(2)解不等式：f(x)<f()；(3)若f(x)m22am1對(duì)所有的a1,1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)任取x1，x21,1，且x1<x2，則x21,1，f(x)為奇函數(shù)，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)·(x1x2)，由已知得>0，x1x2<0，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)f(x)在1,1上單調(diào)遞增(4分)(2)f(x)在1,1上單調(diào)遞增，x<1.(9分)(3)f(1)1，f(x)在1,1上單調(diào)遞增在1,1上，f(x)1.(10分)問(wèn)

6、題轉(zhuǎn)化為m22am11，即m22am0，對(duì)a1,1成立下面來(lái)求m的取值范圍設(shè)g(a)2m·am20.若m0，則g(a)00，自然對(duì)a1,1恒成立若m0，則g(a)為a的一次函數(shù)，若g(a)0，對(duì)a1,1恒成立，必須g(1)0，且g(1)0，m2，或m2.m的取值范圍是m0或|m|2.(14分)7(12分)已知f(x)x2ax3a，若x2,2時(shí)，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解設(shè)f(x)的最小值為g(a)，則只需g(a)0，由題意知，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為.(1)當(dāng)<2，即a>4時(shí)，g(a)f(2)73a0，得a.又a>4，故此時(shí)的a不存在(4分)(2)當(dāng)2,2，即4a

7、4時(shí)，g(a)f()3a0得6a2.又4a4，故4a2.(8分)(3)當(dāng)>2，即a<4時(shí)，g(a)f(2)7a0得a7.又a<4，故7a<4.綜上得所求a的取值范圍是7a2.(12分) 8(2011·葫蘆島模擬)已知定義在R上的增函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(x)f(x)0，x1，x2，x3R，且x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，則f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于0B一定小于0 C等于0D正負(fù)都有可能Af(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，x1>x2，x2&g

8、t;x3，x3>x1.又f(x1)>f(x2)f(x2)，f(x2)>f(x3)f(x3)，f(x3)>f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)>f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)>0. 9(12分)求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值【答題模板】解f(x)(xa)21a2，對(duì)稱(chēng)軸為xa.當(dāng)a<0時(shí)，由圖可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.3分(2)當(dāng)0a<1時(shí)，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.6分(3)當(dāng)1<a2時(shí)，由圖可

9、知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1.9分(4)當(dāng)a>2時(shí)，由圖可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.綜上，(1)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)min1，f(x)max34a；(2)當(dāng)0a<1時(shí)，f(x)min1a2，f(x)max34a；(3)當(dāng)1<a2時(shí)，f(x)min1a2，f(x)max1；(4)當(dāng)a>2時(shí)，f(x)min34a，f(x)max1.12分10函數(shù)yf(x)(x0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時(shí)是增函數(shù)，若f(1)0，求不等式fx(x)<0的解集解題導(dǎo)引本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式解題的關(guān)鍵是

10、利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)不等式”在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反解yf(x)為奇函數(shù)，且在(0，)上為增函數(shù)，yf(x)在(，0)上單調(diào)遞增，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)<0f(1)，則即0<x(x)<1，解得<x<或<x<0.若fx(x)<0f(1)，則由x(x)<1，解得x.原不等式的解集是x|<x<或<x<011(2009·山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)

11、m(m>0)，在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.解題導(dǎo)引解決此類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性等性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的一部分簡(jiǎn)圖，使抽象問(wèn)題變得直觀、形象，有利于問(wèn)題的解決8解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x2對(duì)稱(chēng)且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,0上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x

12、1<x2<x3<x4.由對(duì)稱(chēng)性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.12(2011·汕頭模擬)已知f(x)是定義在6,6上的奇函數(shù)，且f(x)在0,3上是x的一次式，在3,6上是x的二次式，且當(dāng)3x6時(shí)，f(x)f(5)3，f(6)2，求f(x)的表達(dá)式解由題意，當(dāng)3x6時(shí)，設(shè)f(x)a(x5)23，f(6)2，2a(65)23.a1.f(x)(x5)23(3x6)(3分)f(3)(35)231.又f(x)為奇函數(shù)，f(0)0.一次函數(shù)圖象過(guò)(0,0)，(3，1)兩點(diǎn)f(x)x(0x3)(6分)當(dāng)3x0時(shí)，x0,3，f(x)(x)x.又f(x)f

13、(x)，f(x)x.f(x)x(3x3)(9分)當(dāng)6x3時(shí)，3x6，f(x)(x5)23(x5)23.又f(x)f(x)，f(x)(x5)23.f(x)13如果函數(shù)ya2x2ax1(a>0且a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值解題導(dǎo)引1.指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a1)的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a>1與0<a<1來(lái)研究2指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的初等函數(shù)的性質(zhì)可通過(guò)換元的方法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)或二次函數(shù)的性質(zhì)解設(shè)tax，則yf(t)t22t1(t1)22.(1)當(dāng)a>1時(shí)，ta1，a，ymaxa22a114，解得a3，滿(mǎn)足 a>1；

14、(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，ta，a1，ymax(a1)22a1114，解得a，滿(mǎn)足0<a<1.故所求a的值為3或.14已知f(x)(axax)(a>0且a1)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)x1,1時(shí)f(x)b恒成立，求b的取值范圍【答題模板】解(1)函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)又因?yàn)閒(x)(axax)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)3分(2)當(dāng)a>1時(shí)，a21>0，yax為增函數(shù)，yax為減函數(shù)，從而yaxax為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)5分當(dāng)0<a<1時(shí)，a21<0，yax為減函數(shù)，yax為增函數(shù)，從

15、而yaxax為減函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)故當(dāng)a>0，且a1時(shí)，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增7分(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，在區(qū)間1,1上為增函數(shù)，f(1)f(x)f(1)，f(x)minf(1)(a1a)·1.10分要使f(x)b在1,1上恒成立，則只需b1，故b的取值范圍是(，112分【突破思維障礙】本例第(2)(3)問(wèn)是難點(diǎn)，討論f(x)的單調(diào)性對(duì)參數(shù)a如何分類(lèi)，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)是思維障礙之一15已知函數(shù)y()|x1|.(1)作出函數(shù)的圖象(簡(jiǎn)圖)；(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)有最值，并求出最值解題導(dǎo)引在作函數(shù)圖象時(shí)，首先要研究函數(shù)

16、與某一基本函數(shù)的關(guān)系，然后通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)或伸縮來(lái)完成解(1)方法一由函數(shù)解析式可得y()|x1|其圖象由兩部分組成：一部分是：y()x(x0)y()x1(x1)；另一部分是：y3x(x<0)y3x1(x<1)如圖所示方法二由y()|x|可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故先作出y()x的圖象，保留x0的部分，當(dāng)x<0時(shí)，其圖象是將y()x(x0)圖象關(guān)于y軸對(duì)折，從而得出y()|x|的圖象將y()|x|向左移動(dòng)1個(gè)單位，即可得y()|x1|的圖象，如圖所示(2)由圖象知函數(shù)在(，1上是增函數(shù)，在1，)上是減函數(shù)(3)由圖象知當(dāng)x1時(shí)，有最大值1，無(wú)最小值162011

17、83;衡陽(yáng)模擬)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；(2)若對(duì)任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍解(1)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(0)0，即0，解得b1，(2分)從而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.經(jīng)檢驗(yàn)a2適合題意，所求a、b的值分別為2、1.(4分)(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上為減函數(shù)(6分)又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)(8分)因?yàn)閒(x)是減函數(shù)，由上式推得t22t>2t2k.即對(duì)一切tR有3t22tk>0.從而判別式412k<0，解得k<.(12分) 17(2010·北京豐臺(tái)區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)3x，f(a2)18，g(x)·3ax4x的定義域?yàn)?,1(1)求a的值(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解方法一(1)由已知得3a2183a2alog32.(4分)(2)此時(shí)