高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)不等式的證明_(32)

1、衡水 名師新作第三節(jié)不等式的證明第三節(jié)不等式的證明 衡水 名師新作衡水 名師新作最新考綱掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式高考熱點(diǎn)1.以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識為背景考查證明不等式2與數(shù)列等知識綜合考查放縮法、求導(dǎo)法等不等式的證明方法.衡水 名師新作1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為 、 (1)作差法理論依據(jù)：ab ；ab ；ab ；證明步驟： 作差法作商法ab0ab0ab0作差變形判斷符號衡水 名師新作作商 變形 判斷與1的關(guān)系 衡水 名師新作2分析法從讓求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的 ，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證

2、的不等式成立，這種證明方法叫分析法分析法的思想是“ ”：即從求證的不等式出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式采用分析法證明不等式時(shí)，常用“ ”的符號，有時(shí)，若為充要條件時(shí)，也常用“ ”的符號證明過程常表示為“要證只要證”充分條件執(zhí)果索因衡水 名師新作3綜合法所謂綜合法，就是從 和已經(jīng)證明過的基本不等式和不等式的 推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，可簡稱為 在使用綜合法證明不等式時(shí)，要注意基本不等式的應(yīng)用常用的基本不等式有：(1)|a|0，a20，(ab)20，(a，bR)；(2)a2b22ab，(ab)20，(a，b ，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號)；題設(shè)條件性質(zhì)由因?qū)Ч鸕衡水 名師新作0 0

3、 ab0 ab0 衡水 名師新作4反證法先假設(shè) 不成立，即要證的不等式的反面成立如要證不等式MN，先假設(shè) ，由題設(shè)及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定MN是正確的凡涉及到要證明的不等式為否定性命題、唯一命題或含“至多”、“至少”等字句時(shí)，可考慮用反證法所要證明的不等式MN衡水 名師新作5換元法換元法是對結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、量與量之間的關(guān)系不甚明了的命題，通過恰當(dāng)引入新變量，代換原題中的部分式子，簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式常見的換元法有 、 、 等換元方法，換元后要注意 變化三角換元均值換元設(shè)差換元范圍衡水 名師新作6放縮法欲證AB，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個(gè)或多個(gè)中間量使用BB1

4、，B1B2，BiA或AA1，A1A2，AiB，再利用傳遞性，以達(dá)到欲證的目的，這種方法叫放縮法具體放縮方法有公式放縮和利用某些函數(shù)的單調(diào)性放縮等常用技巧有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)；在和或積中換大(或換小)某些項(xiàng)；擴(kuò)大(或縮小)分式的分子(或分母)等，放縮時(shí)要注意不等式的一致性衡水 名師新作7判別式法判別式法是根據(jù)已知或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法8其他方法最值法：xy恒成立xymax；xy恒成立xymin.構(gòu)造法：根據(jù)欲證不等式的具體結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)或圖形等，達(dá)到促進(jìn)轉(zhuǎn)化、簡

5、化證明的目的，這種方法叫構(gòu)造法，另外還有導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)學(xué)歸納法等衡水 名師新作衡水 名師新作3綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單，條理清楚，所以實(shí)際證題時(shí)，可將分析法、綜合法結(jié)合起來使用，即：用分析法分析，用綜合法書寫4用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的衡水 名師新作(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾、

6、有的與假設(shè)矛盾、有的與已知事實(shí)相違背等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 衡水 名師新作5換元法多用于條件不等式的證明，變量較多，一個(gè)變量難以用另一個(gè)變量來表示，這樣換元后可以達(dá)到減元的目的，使問題化難為易，化繁為簡，在換元時(shí)，必須遵守一個(gè)原則，就是必須確保原來變量的范圍不發(fā)生變化6用放縮法時(shí)，放縮要有目標(biāo)，才能放縮適度，認(rèn)真總結(jié)放縮技巧，充分利用不等式的性質(zhì)及均值不等式，絕對值不等式和已知條件是進(jìn)行放縮的關(guān)鍵7在用判別式法時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，往往要按其為零和不為零兩種情況分類討論.衡水 名師新作衡水 名師新作題型一利用比較法證明不等式思維提示靈活應(yīng)用作差比較法或作商比較法.分析觀察可知，通過作

7、差后，可以較快地因式分解，從而證明不等式；也可利用作商法證明衡水 名師新作衡水 名師新作衡水 名師新作規(guī)律總結(jié)本題的兩種證法就是比較法中的作差法和作商法用比較法中的作差法證明不等式時(shí)，為了說明差式的符號，有下列三種常用的方法：將差式因式分解，通過判斷簡單因式的符號來判斷差式符號；將差式通過配方寫成一些正(負(fù))數(shù)的和；把差式中的某一字母視為自變量，構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)值恒正或恒負(fù)用比較法中的作商法證明不等式時(shí)，關(guān)鍵是對商進(jìn)行合理的變形，然后比較它與1的大小，需特別注意的是，用作商法證明不等式時(shí)，應(yīng)要求不等式的兩邊同號. 衡水 名師新作備選例題 1已知a0，b0，m0，n0.求證：amnbmnamb

8、nanbm.證明：amnbmnambnanbmam(anbn)bm(bnan)(anbn)(ambm)a0，b0，m0，n0，當(dāng)ab時(shí)，(anbn)(ambm)0，amnbmnambnanbm；當(dāng)ab時(shí)，(anbn)(ambm)0，amnbmnambnanbm.綜上可知：amnbmnambnanbm. 衡水 名師新作題型二用分析法、綜合法證明不等式思維提示從題設(shè)或不等式性質(zhì)及變形出發(fā)，逐步推出所要證明的不等式；“正難則反”，從所要證明的不等式出發(fā)，逐步尋找使之成立的不等式.衡水 名師新作分析可采用綜合法或分析法證明，要注意應(yīng)用已知條件ab1.衡水 名師新作衡水 名師新作衡水 名師新作衡水 名師

9、新作規(guī)律總結(jié)本題用的兩種證法分別是綜合法與分析法，用綜合法證明不等式時(shí)，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)囊阎坏仁阶鳛橐罁?jù)，其中基本不等式是最常用的當(dāng)要證明的不等式比較復(fù)雜時(shí)，兩端差異難以消去或者已知條件信息太少，已知與待證之間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般可以采用分析法，分析法是步步尋找不等式成立的充分條件，而實(shí)際操作時(shí)往往是從要證明的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的充分條件，直到找到一個(gè)已知的或非常明顯成立的不等式 衡水 名師新作衡水 名師新作衡水 名師新作衡水 名師新作題型三利用放縮法證明不等式思維提示根據(jù)證題需要，同時(shí)放大或同時(shí)縮小分析考慮不等式自身的特點(diǎn)，可用放縮法、構(gòu)造函數(shù)法或數(shù)學(xué)歸納法

10、衡水 名師新作衡水 名師新作衡水 名師新作衡水 名師新作規(guī)律總結(jié)放縮法、構(gòu)造法是證明不等式的常用方法，放縮法證明不等式時(shí)，放縮要適度，必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，常用的放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)，利用分式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，函數(shù)的性質(zhì)等，構(gòu)造法證明不等式，往往利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，幾何圖形的性質(zhì)等解決問題. 衡水 名師新作衡水 名師新作題型四換元法證明不等式思維提示三角換元法或整體代換法分析本題為條件不等式的證明，觀察條件可知，用三角換元法較合適衡水 名師新作衡水 名師新作規(guī)律總結(jié)(1)換元時(shí)注意要等價(jià)，如本題中|r|1.(2)有些問題直接證明較困難，但若通過換元的思想去解就很方便，換元法多用于條件不等式的證明，換元法中常見的是三角換元當(dāng)題目條件為：a2b21，ab1，a2b21等時(shí)常用三角換元法. 衡水 名師新作備選例題 4在本例條件下，求證：|3x28xy3y2|5.證明：x2y21，可設(shè)xrcos，yrsin(|r|1,02)|3x28xy3