圓的有關(guān)性質(zhì)習(xí)題

1、第32章 圓的有關(guān)性質(zhì)一、選擇題1. （2011廣東湛江16,4分）如圖，是上的三點(diǎn)，則 度【答案】602. （2011安徽，7，4分）如圖，O的半徑是1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，BAC=36°，則劣弧的長是（ ）AB C D【答案】B 3. （2011福建福州，9，4分）如圖2,以為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦切小圓于點(diǎn),若,則大圓半徑與小圓半徑之間滿足（ ） A B C D圖2【答案】C4. （2011山東泰安，10 ，3分）如圖，O的弦AB垂直平分半徑OC，若AB=，則O的半徑為（ ）A. B.2 C. D.【答案】A 5. （2011四川南充市，9，3分）在圓柱形油槽內(nèi)裝有

2、一些油。截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油 后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為（ ）（A）6分米 （B）8分米 （C）10分米 （D）12分米【答案】C6. （2011浙江衢州，1,3分）一個(gè)圓形人工湖如圖所示，弦是湖上的一座橋，已知橋 長100m，測得圓周角，則這個(gè)人工湖的直徑為（ ）A. B. C. D. 【答案】B7. （2011浙江紹興，4，4分）如圖，的直徑，點(diǎn)在上，若,則的度數(shù)是（ ） A. B. C. D. (第5題圖)【答案】C8. （2011浙江紹興，6，4分）一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑，截面圓圓心到水面的距離是6

3、，則水面寬是（ ） A.16 B.10 C.8 D.6【答案】A9. （2011浙江省，5，3分）如圖，小華同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圓直徑的測量器，標(biāo)有刻度的尺子OA、OB在O點(diǎn)釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時(shí)，把O點(diǎn)靠在圓周上，讀得刻度OE=8個(gè)單位，OF=6個(gè)單位，則圓的直徑為（ ）A. 12個(gè)單位 B. 10個(gè)單位 C.4個(gè)單位 D. 15個(gè)單位【答案】B10（2011四川重慶，6，4分）如圖，O是ABC的外接圓，OCB40°則A的度數(shù)等于( )A 60° B 50° C 40° D 30°【答案】B11. （2011浙江省嘉興，6，4分）如

4、圖，半徑為10的O中，弦AB的長為16，則這條弦的弦心距為（）（A）6（B）8（C）10（D）12（第6題）【答案】A12. （2011臺(tái)灣臺(tái)北，16）如圖(六)，為圓O的直徑，直線ED為圓O的切線，A、C兩點(diǎn)在圓上，平分BAD且交于F點(diǎn)。若ADE，則AFB的度數(shù)為何？A97 B104 C116 D142【答案】C 13. （2011臺(tái)灣全區(qū)，24）如圖(六)，ABC的外接圓上，AB、BC、CA三弧的度數(shù)比為12：13：11自BC上取一點(diǎn)D，過D分別作直線AC、直線AB的并行線，且交于E、F兩點(diǎn)，則EDF的度數(shù)為何？A 55 B 60 C 65 D 70【答案】14. （2011甘肅蘭州，12

5、，4分）如圖，O過點(diǎn)B、C，圓心O在等腰RtABC的內(nèi)部，BAC=90°，OA=1，BC=6。則O的半徑為A6B13CDABCO【答案】C15. （2011四川成都，7,3分）如圖，若AB是0的直徑，CD是O的弦，ABD=58°， 則BCD=（ B ）(A)116° (B)32° (C)58° （D)64°【答案】B 16. （2011四川內(nèi)江，9，3分）如圖，O是ABC的外接圓，BAC=60°,若O的半徑OC為2，則弦BC的長為A1BC2D2【答案】D17. (2011江蘇南京，6，2分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P的圓心

6、是（2，a）(a2)，半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被P的弦AB的長為，則a的值是ABCD(第6題)ABOPxyy=x【答案】B1. 18. （2011江蘇南通，8，3分）如圖，O的弦AB8，M是AB的中點(diǎn)，且OM3，則O的半徑等于A. 8B. 2C. 10D. 5【答案】D19. （2011山東臨沂，6，3分）如圖，O的直徑CD5cm，AB是O的弦，ABCD，垂足為M，OM：OD3：5，則AB 的長是（ ）A2cm B3cmC4cm D2cm【答案】C20（2011上海，6，4分）矩形ABCD中，AB8，點(diǎn)P在邊AB上，且BP3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

7、 ）(A) 點(diǎn)B、C均在圓P外； (B) 點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)；(C) 點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外； (D) 點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)【答案】C21. （2011四川樂山6，3分）如圖（3），CD是O的弦，直徑AB過CD的中點(diǎn)M，若BOC=40°，則ABD= A40° B60° C70° D80°【答案】 C22. （2011四川涼山州，9，4分）如圖，點(diǎn)C在上，且點(diǎn)C不與A、B重合，則的度數(shù)為（ ）A B或 C D 或【答案】D23. （2011廣東肇慶，7，3分）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點(diǎn)，若BAD 105&#

8、176;，則DCE的大小是ABCDEA 115°B 105°C 100°D 95°【答案】B24. （2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，9，3分）如圖， AB 為 O 的直徑， CD 為弦， AB CD ，如果BOC = 70 ，那么A的度數(shù)為（ ） A . B . C . D . 【答案】B25. （2011重慶市潼南,3,4分）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C在O上,A=30°,則B的度數(shù)為 A15° B. 30° C. 45° D. 60°【答案】D26. （2011浙江省舟山，6，3分）如圖，半徑為10的O中，弦

9、AB的長為16，則這條弦的弦心距為（ ）（A）6（B）8（C）10（D）12（第6題）【答案】A二、填空題1. （2011浙江省舟山，15，4分）如圖，AB是半圓直徑，半徑OCAB于點(diǎn)O，AD平分CAB交弧BC于點(diǎn)D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：ACOD；ODEADO；其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （第16題）【答案】2. （2011安徽，13，5分）如圖，O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則O的半徑是 【答案】3. （2011江蘇揚(yáng)州，15,3分）如圖，O的弦CD與直徑AB相交，若BAD=50°，則ACD= 【答案】40°4. （

10、2011山東日照，14，4分）如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個(gè)邊長為1的內(nèi)接正方形CDEF，則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是 【答案】如：x2-x+1=0；5. （2011山東泰安，23 ，3分）如圖，PA與O相切，切點(diǎn)為A，PO交O于點(diǎn)C，點(diǎn)B是優(yōu)弧CBA上一點(diǎn)，若ABC=320，則P的度數(shù)為 ?！敬鸢浮?606. （2011山東威海，15，3分）如圖，O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，若AE=5,BE=1,則AED= . 【答案】 30°7. （2011山東煙臺(tái)，16,4分）如圖，ABC的外心坐標(biāo)是_.OxyBCA【答案】（2，1）8. （2011浙江杭州，14，4）如

11、圖，點(diǎn)A，B，C，D都在O上，的度數(shù)等于84°，CA是OCD的平分線，則ABD十CAO= °【答案】53°9. （2011浙江溫州，14，5分）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C，D都在O上，連結(jié)CA，CB，DC，DB已知D=30°，BC3，則AB的長是 【答案】610（2011浙江省嘉興，16，5分）如圖，AB是半圓直徑，半徑OCAB于點(diǎn)O，AD平分CAB分別交OC于點(diǎn)E，交弧BC于點(diǎn)D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：SAEC=2SDEO；AC=2CD；線段OD是DE與DA的比例中項(xiàng)；其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （第16題）【答案】11. （2011福建泉州，1

12、6，4分）已知三角形的三邊長分別為3，4，5，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)所有可能的情況是.（寫出符合的一種情況即可）【答案】 2（符合答案即可）12. （2011甘肅蘭州，16，4分）如圖，OB是O的半徑，點(diǎn)C、D在O上，DCB=27°，則OBD= 度。ODBC【答案】63°13. （2011湖南常德，7，3分）如圖2，已知O是ABC的外接圓，且C =70°，則OAB =_.【答案】20°14. （2011江蘇連云港，15，3分）如圖，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)O為邊AB上一點(diǎn)，AD=DO.以O(shè)為圓心，OD長為半徑作半圓，交AC于另一點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)

13、F，G，連接EF.若BAC=22º，則EFG=_.【答案】15. （2011四川廣安，19，3分）如圖3所示，若O的半徑為13cm，點(diǎn)是弦上一動(dòng)點(diǎn)，且到圓心的最短距離為5 cm，則弦的長為_cm【答案】2416. （ 2011重慶江津， 16，4分）已知如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,B=30º,則D=_.ABCD第16題圖【答案】150°17. (2011重慶綦江，13，4分) 如圖,已知AB為O的直徑，CAB30°,則D .【答案】：60° 18. （2011江西南昌，13，3分）如圖，在ABC中，點(diǎn)P是ABC的內(nèi)心，則PBC+PCA+PA

14、B= 度.【答案】9019. (2011江蘇南京，13，2分)如圖，海邊有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的弓形（弓形的弧是O的一部分）區(qū)域內(nèi)，AOB=80°，為了避免觸礁，輪船P與A、B的張角APB的最大值為_°ABOP(第13題)【答案】40 20（2011上海，17，4分）如圖，AB、AC都是圓O的弦，OMAB，ONAC，垂足分別為M、N，如果MN3，那么BC_【答案】621. （2011江蘇無錫，18，2分）如圖，以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，D為第一象限內(nèi)O上的一點(diǎn)，若DAB = 20°，則OCD = _yxOAB

15、DC（第18題）【答案】6522. （2011湖北黃石，14，3分）如圖（5），ABC內(nèi)接于圓O，若B300.AC，則O的直徑為 ?！敬鸢浮?23. （2011湖南衡陽，16，3分）如圖，的直徑過弦的中點(diǎn)G，EOD=40°，則FCD的度數(shù)為 【答案】 2024. （2011湖南永州，8，3分）如圖，在O中，直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，連接OB,CB，已知O的半徑為2，AB=,則BCD=_度（第8題）【答案】3025. (20011江蘇鎮(zhèn)江,15,2分)如圖,DE是O的直徑,弦ABDE,垂足為C,若AB=6,CE=1,則OC=_,CD=_.答案：4，926. （2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，1

16、4，4分）如圖，是半徑為 6 的D的圓周，C點(diǎn)是 上的任意一點(diǎn)， ABD是等邊三角形,則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是 【答案】27. （2011河北，16，3分）如圖7，點(diǎn)O為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心，AOC=108°，點(diǎn)D在AB的延長線上，BD=BC,則D=_°【答案】2728. （2011湖北荊州，12，4分）如圖，O是ABC的外接圓，CD是直徑，B40°，則ACD的度數(shù)是.【答案】50°三、解答題1. （2011浙江金華，21，8分）如圖，射線PG平分EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作O，分別與EPF兩邊相交于A、B和C、D，

17、連結(jié)OA，此時(shí)有OAPE.（1）求證：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以圖中已標(biāo)明的點(diǎn)（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個(gè)點(diǎn)為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)點(diǎn)為 或 或 .證明：（1）PG平分EPF，DPO=BPO ， OA/PE，DPO=POA ， BPO=POA，PA=OA； 2分解：（2）過點(diǎn)O作OHAB于點(diǎn)H，則AH=HB=AB，1分 tanOPB=，PH=2OH， 1分設(shè)OH=，則PH=2，由（1）可知PA=OA= 10 ，AH=PHPA=210， ， 1分解得（不合題意，舍去），AH=6， AB=2AH=12； 1分（3）P、A、O、C；A

18、、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.2分(寫對(duì)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)得1分，寫對(duì)4個(gè)得2分)HPABCODEFG2.（2011浙江金華，24，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DBAB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF.（1）當(dāng)AOB30°時(shí)，求弧AB的長；（2）當(dāng)DE8時(shí)，求線段EF的長；（3）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）

19、連結(jié)BC,A（10，0）, OA=10 ,CA=5,AOB=30°,ACB=2AOB=60°,弧AB的長=; 4分OBDECFxyA（2）連結(jié)OD,OA是C直徑, OBA=90°,又AB=BD,OB是AD的垂直平分線,OD=OA=10,在RtODE中，OE=,AE=AOOE=10-6=4,由 AOB=ADE=90°-OAB，OEF=DEA，得OEFDEA,即，EF=3；4分（3）設(shè)OE=x，當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，當(dāng)ECF=BOA時(shí)，此時(shí)OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，即O

20、E=，E1（，0）；當(dāng)ECF=OAB時(shí)，有CE=5-x, AE=10-x，CFAB,有CF=,ECFEAD,即,解得：,E2（，0）;OBDFCEAxyOBDFCEAxy當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，ECFBOA，要使ECF與BAO相似，只能使ECF=BAO，連結(jié)BE，BE為RtADE斜邊上的中線，BE=AB=BD,BEA=BAO,BEA=ECF,CFBE, ,ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ,而AD=2BE, ,即, 解得, 0（舍去），E3（，0）;OBDFCEAxy當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，BOA=EOFECF .要使ECF與BAO相似，只能使ECF=BAO連結(jié)BE，得

21、BE=AB，BEA=BAOECF=BEA,CFBE,又ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ，而AD=2BE, , 解得, 0（舍去）,點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上, E4（，0）,綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似,此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）4分OBDFCEAxy3. （2011山東德州22,10分）觀察計(jì)算當(dāng)，時(shí)， 與的大小關(guān)系是_當(dāng)，時(shí)， 與的大小關(guān)系是_探究證明如圖所示，為圓O的內(nèi)接三角形，為直徑，過C作于D，設(shè)，BD=b（1）分別用表示線段OC，CD；（2）探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）ABCOD歸

22、納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計(jì)算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：_實(shí)踐應(yīng)用要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值【答案】觀察計(jì)算:>， =. 2分ABCOD探究證明：（1），3分AB為O直徑,.， A=BCD. 4分.即,. 5分（2）當(dāng)時(shí), =；時(shí), >6分結(jié)論歸納: 7分實(shí)踐應(yīng)用設(shè)長方形一邊長為米,則另一邊長為米,設(shè)鏡框周長為l米，則 9分當(dāng),即（米）時(shí),鏡框周長最小此時(shí)四邊形為正方形時(shí),周長最小為4 米. 10分4. （2011山東濟(jì)寧，19，6分）如圖，為外接圓的直徑，垂足為點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，連接，.(1) 求證：； (2) 請(qǐng)判斷，三

23、點(diǎn)是否在以為圓心，以為半徑的圓上？并說明理由.(第19題)【答案】（1）證明：為直徑，. 3分（2）答：，三點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上. 4分理由：由（1）知：，.，.6分由（1）知：.，三點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上. 7分5. （2011山東煙臺(tái)，25,12分）已知：AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)G，E是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、G重合），直線DE交O于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)P.設(shè)O的半徑為r.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直徑AB上時(shí)，試證明：OE·OPr2（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB（或BA）的延長線上時(shí)，以如圖2點(diǎn)E的位置為例，請(qǐng)你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（1）中的結(jié)論

24、是否成立？請(qǐng)說明理由.ABCDE.OG（圖2）ABCDEFP.OG（圖1）【答案】（1）證明：連接FO并延長交O于Q，連接DQ.FQ是O直徑，F(xiàn)DQ90°.QFDQ90°. CDAB，PC90°.QC，QFDP.FOEPOF，F(xiàn)OEPOF.OE·OPOF2r2.（2）解：（1）中的結(jié)論成立.理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交O于M，連接CM.FM是O直徑，F(xiàn)CM90°，MCFM90°.CDAB，ED90°.MD，CFME. POFFOE，POFFOE.，OE·OPOF2r2.6. （2011寧波市，25

25、，10分）閱讀下面的情境對(duì)話，然后解答問題（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？（2）在RtABC 中， ACB90°，ABc，ACb，BCa，且ba，若RtABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，AB是O的直徑，C是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓的中點(diǎn)，CD在直徑AB的兩側(cè)，若在O內(nèi)存在點(diǎn)E使得AEAD，CBCE求證：ACE是奇異三角形；當(dāng)ACE是直角三角形時(shí)，求AOC的度數(shù)【答案】解：（1）真命題（2）在RtABC 中a2b2 c2，cba02c2a2b2，2a2c2b2若RtABC是奇異三角形，一定

26、有2b2c2 a22b2a2（a2b2）b22a2得：bac2b2 a23a2caa：b：c1：(3)AB是O的直徑ACBADB90°在RtABC 中，AC2BC2AB2在RtADB 中，AD2BD2AB2點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)ADBDAB2AD2BD22AD2AC2CB22AD2又CBCE，AEADAC2CE22AE2ACE是奇異三角形由可得ACE是奇異三角形AC2CE22AE2當(dāng)ACE是直角三角形時(shí)由（2）可得AC：AE：CE1：或AC：AE：CE： 1（）當(dāng)AC：AE：CE1：時(shí)AC：CE1：即AC：CB1：ACB90°ABC30°AOC2ABC 60°

27、()當(dāng)AC：AE：CE： 1時(shí)AC：CE： 1即AC：CB： 1ACB90°ABC60°AOC2ABC 120°AOC2ABC 120°AOC的度數(shù)為60°或120°7. （2011浙江麗水，21，8分）如圖，射線PG平分EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作O，分別與EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時(shí)有OAPE.（1）求證：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以圖中已標(biāo)明的點(diǎn)(即P、A、B、C、D、O)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個(gè)點(diǎn)為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)點(diǎn)為 或 或 .【解】（1

28、）PG平分EPF， DPO=BPO， OA/PE， DPO=POA， BPO=POA， PA=OA；（2）過點(diǎn)O作OHAB于點(diǎn)H，則AH=HB， AB=12， AH=6， 由（1）可知PA=OA=10， PH=PA+AH=16， OH=8， tanOPB=；（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8. （2011廣東廣州市，25，14分） 如圖7，O中AB是直徑，C是O上一點(diǎn)，ABC=45°，等腰直角三角形DCE中 DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上（1）證明：B、C、E三點(diǎn)共線； （2）若M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：MN=OM； （3）將

29、DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°90°）后，記為D1CE1（圖8），若M1是線段BE1的中點(diǎn)，N1是線段AD1的中點(diǎn)，M1N1=OM1是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，說明理由ABCDEMNO圖7ABCD1E1M1ON1圖8【答案】（1）AB為O直徑ACB=90°DCE為等腰直角三角形ACE=90°BCE=90°+90°=180°B、C、E三點(diǎn)共線（2）連接BD，AE，ONACB=90°，ABC=45°AB=ACDC=DEACB=ACE=90°BCDACEAE=BD，DBE=EACDBE+BEA=90

30、°BDAEO，N為中點(diǎn)ONBD，ON=BD同理OMAE，OM=AEOMON，OM=ONMN=OM（3）成立證明：同（2）旋轉(zhuǎn)后BCD1=BCE1=90°ACD1所以仍有BCD1ACE1，所以ACE1是由BCD1繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，故BD1AE1其余證明過程與（2）完全相同9. （2011浙江麗水，24，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DBAB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF.（1）當(dāng)AOB30

31、76;時(shí)，求弧AB的長；（2）當(dāng)DE8時(shí)，求線段EF的長；（3）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解】(1)連結(jié)BC，A(10，0)，OA=10，CA=5， AOB=30°， ACB=2AOB=60°， 的長=；（2）連結(jié)OD，OA是C的直徑，OBA=90°， 又AB= BD， OB是AD的垂直平分線， OD= OA=10， 在RtODE中， OE=6， AE= AOOE =106=4， 由AOB=ADE= 90°OAB， OEF=DEA， 得OEFDEA， =，即=

32、，EF=3；(3)設(shè)OE=x， 當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似， 有ECF=BOA或ECF=OAB，當(dāng)ECF=BOA時(shí)，此時(shí)OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，即OE=， E1(，0)；當(dāng)ECF=OAB時(shí)，有CE=5x，AE=10x，CF/AB，有CF=AB， ECFEAD， =，即=，解得x=，E2(，0)；當(dāng)交點(diǎn)E在C的右側(cè)時(shí)，ECF>BOA要使ECF與BAO相似，只能使ECF=BAO，連結(jié)BE，BE為RtADE斜邊上的中線，BE=AB=BD，BEA=BAO，BEA=ECF，CF/BE，=，ECF=BAO，F(xiàn)EC=DEA=Rt， CEFAED，=

33、， 而AD=2BE，=，即=，解得x1=，x2=<0（舍去），E3(，0)；當(dāng)交點(diǎn)E在O的左側(cè)時(shí)，BOA=EOF>ECF要使ECF與BAO相似，只能使ECF=BAO，連結(jié)BE，得BE=AD=AB， BEA=BAO，ECF=BEA，CF/BE，=，又ECF=BAO，F(xiàn)EC=DEA=Rt， CEFAED，=， 而AD=2BE，=，=，解得x1=，x2=<0（舍去），點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，E4(，0)，綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0).10（2011江西，21，8分）如圖，已知O的半徑為2，

34、弦BC的長為，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（B，C兩點(diǎn)除外）。求BAC的度數(shù)；求ABC面積的最大值.（參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos30°=，tan30°=.）【答案】（1）過點(diǎn)O作ODBC于點(diǎn)D, 連接OA.因?yàn)锽C=，所以CD=.又OC=2，所以=，即=，所以DOC=60°.又ODBC，所以BAC=DOC=60°.（2）因?yàn)锳BC中的邊BC的長不變，所以底邊上的高最大時(shí)，ABC面積的最大值,即點(diǎn)A是的中點(diǎn)時(shí)，ABC面積的最大值.因?yàn)锽AC=60°，所以ABC是等邊三角形，在RtADC中，AC=，DC=,所以AD=3.所以ABC

35、面積的最大值為×3×=3.11. （2011湖南常德，25，10分）已知 ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓、P是AB的中點(diǎn).（1）如圖8，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點(diǎn)E、F，使則有結(jié)論 四邊形是菱形.請(qǐng)給出結(jié)論的證明；（2）如圖9，若（1）中ABC是任意三角形，其它條件不變，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；（3）如圖10，若PC是的切線，求證：BD【答案】（1） 證明：BC是O2直徑，則O2是BC的中點(diǎn)又P是AB的中點(diǎn).P O2是ABC的中位線P O2 =AC又AC是O1直徑P O2= O1C=AC同理P O1= O2C =BCAC

36、 =BCP O2= O1C=P O1= O2C四邊形是菱形（2） 結(jié)論成立，結(jié)論不成立 證明：在（1）中已證PO2=AC，又O1E=AC PO2=O1E 同理可得PO1=O2FPO2是ABC的中位線PO2ACPO2B=ACB同理P O1A=ACBPO2B=P O1AAO1E =BO2FP O1A+AO1E =PO2B+BO2F即P O1E =F O2 P（3） 證明：延長AC交O2于點(diǎn)D，連接BD. BC是O2的直徑，則D=90°， 又PC是的切線，則ACP=90°， ACP=D 又PAC=BAD，APCBAD又P是AB的中點(diǎn)AC=CD在RtBCD中，在RtABD中，12.

37、 （2011江蘇蘇州，26,8分）如圖，已知AB是O的弦，OB=2，B=30°，C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長CO交O于點(diǎn)D，連接AD.（1）弦長AB=_（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）當(dāng)D=20°時(shí)，求BOD的度數(shù)；（3）當(dāng)AC的長度為多少時(shí)，以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)寫出解答過程.【答案】解：（1）2.（2）解法一：BOD是BOC的外角，BCO是ACD的外角，BOD=B+BCO，BCO=A+D.BOD=B+A+D.又BOD=2A，B=30°，D=20°，2A=B+A+D=A+50°，A

38、=50°，BOD=2A=100°.解法二：如圖，連接OA.OA=OB，OA=OD，BAO=B，DAO=D，DAB=BAO+DAO=B+D.又B=30°，D=20°，DAB=50°，BOD=2DAB=100°.（3）BCO=A+D，BCOA，BCOD.要使DAC與BOC相似，只能DCA=BCO=90°.此時(shí)，BOC=60°，BOD=120°，DAC=60°.DACBOC.BCO=90°，即OCAB，AC=AB=.13. （2011江蘇蘇州，27,8分）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形

39、，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PA、PB、PC、PD.（1）如圖，當(dāng)PA的長度等于_時(shí)，PAB=60°； 當(dāng)PA的長度等于_時(shí)，PAD是等腰三角形；（2）如圖，以AB邊所在的直線為x軸，AD邊所在的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（點(diǎn)A即為原點(diǎn)O），把PAD、PAB、PBC的面積分別記為S1、S2、S3.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），試求2S1S3-S22的最大值，并求出此時(shí)a、b的值.【答案】解：（1）2；2或.（2）如圖，過點(diǎn)P分別作PEAB，PFAD，垂足分別為E、F，延長FP交BC于點(diǎn)G，則PGBC.P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），PE=b，P

40、F=a，PG=4-a.在PAD、PAB及PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，AB是直徑，APB=90°.PE2=AE·BE，即b2=a（4-a）.2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16.當(dāng)a=2時(shí)，b=2，2S1S3-S22有最大值16.14. （2011江蘇泰州，26，10分）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點(diǎn)M，OM的延長線與BC相交于點(diǎn)N（1）點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)嗎？為什么？（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的

41、半徑【答案】解：(1)N是BC的中點(diǎn)。原因：AD與小圓相切于點(diǎn)M，OMAD，又ADBC，ONBC，在大圓O中，由垂徑定理可得N是BC的中點(diǎn)(2)連接OB，設(shè)小圓半徑為r，則有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在RtOBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得r=7cm.小圓的半徑為7cm.15. （2011四川成都，27,10分）已知：如圖，以矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作0，O經(jīng)過B、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BKAC，垂足為K過D作DHKB，DH分別與AC、AB、O及CB的延長線相交于點(diǎn)E、F、G、H(1)求證：AE=C

42、K； (2)如果AB=，AD= (為大于零的常數(shù))，求BK的長；(3)若F是EG的中點(diǎn)，且DE=6，求O的半徑和GH的長【答案】解：（1）DHKB，BKAC，DEAC，四邊形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，EAD=KCB，RtADERtCBK，AE=CK.（2）在RtABC中，AB=，AD=BC=，=，SABC=AB×BC=AC×BK，BK=.（3）連線OG，ACDG，AC是O的直接，DE=6，DE=EG=6，又EF=FG，EF=3；RtADERtCBK，DE=BK=6，AE=CK，在ABK中，EF=3，BK=6，EFBK，EF是ABK的中位線，AF=BF，AE=EK

43、=KC；在RtOEG中，設(shè)OG=，則OE=，EG=6，.在RtADFRtBHF中，AF=BF，AD=BC，BFCD，HF=DF，F(xiàn)G=EF，HF-FG=DF-EF，HG=DE=6.16. （2011四川宜賓,23，10分）已知：在ABC中，以AC邊為直徑的O交BC于點(diǎn)D，在劣弧上到一點(diǎn)E使EBC=DEC，延長BE依次交AC于G，交O于H（1）求證：ACBH；（2）若ABC=45°，O的直徑等于10，BD=8，求CE的長（23題圖）【答案】證明：連接AD DAC=DEC EBC=DECDAC=EBC又AC是O的直徑ADC=90°DCA+DAC=90°EBC+DCA=

44、90°BGC=180°-(EBC+DCA)=180°-90°=90°ACBHBDA=180°-ADC=90°ABC=45°BAD=45°BD=ADBD=8AD=8又ADC=90° AC=10（第23題解答圖）由勾股定理，得.BC=BD+DC=8+6=14又BGC=ADC=90° BCG=ACD BCGACD 連接AE，AC是直徑 AEC=90°又EGACCEGCAE .17. （2011江西南昌，21，8分）如圖，已知O的半徑為2，弦BC的長為，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)

45、（B，C兩點(diǎn)除外）。求BAC的度數(shù)；求ABC面積的最大值.（參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos30°=，tan30°=.）【答案】（1）過點(diǎn)O作ODBC于點(diǎn)D, 連接OA.因?yàn)锽C=，所以CD=.又OC=2，所以=，即=，所以DOC=60°.又ODBC，所以BAC=DOC=60°.（2）因?yàn)锳BC中的邊BC的長不變，所以底邊上的高最大時(shí)，ABC面積的最大值,即點(diǎn)A是的中點(diǎn)時(shí)，ABC面積的最大值.因?yàn)锽AC=60°，所以ABC是等邊三角形，在RtADC中，AC=，DC=,所以AD=3.所以ABC面積的最大值為×3×=3

46、.18. （2011上海，21，10分）如圖，點(diǎn)C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA3，AC2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點(diǎn)M、N（1）求線段OD的長；（2）若，求弦MN的長【答案】（1）CDAB， OAB=C，OBA=DOA=OB，OAB=OBAC=DOC=ODOA=3，AC=2，OC=5OD=5（2）過點(diǎn)O作OECD，E為垂足，連接OM在RtOCE中，OC=5，設(shè)OE=x，則CE=2x由勾股定理得，解得x1=，x2=（舍去）OE=在RtOME中，OM=OA=3，ME=2。MN=2ME=419. （2011湖北黃岡，22，8分）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點(diǎn)，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E求證ABD為等腰三角形求證ACAF=DFFE 第22題圖BAFEDCM【答案】由圓的性質(zhì)知MCD=DAB、DCA=DBA，而MCD=DCA，所以DBA=DAB，故ABD為等腰三角形DBA=DAB弧AD=弧BD又BC=AF弧BC=弧AF、CDB=FDA弧CD=弧DFCD=DF再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對(duì)角”知AFE=DBA=DCA，F(xiàn)AE=BDECDA=CDBBDA=FDABDA=BDE=FAE 由得DCAFAEA