數學建模飲酒駕車問題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上飲酒駕車的數學模型摘要本文解決的是一個司機安全駕車與飲酒的問題，目的是通過建立一個數學模型（結合新的國家駕駛員飲酒標準）分析司機如何適量飲酒不會影響正常的安全駕駛。根據一定合理的假設，建立人體內酒精濃度隨時間變化的微分方程模型，并通過擬合曲線對數據進行分析。在不同飲酒方式下進行分類討論，得出體內酒精濃度隨時間的變化函數。在討論過程中，我們得到兩個結論：在短時間喝酒形式下，達到最大值的時間為1.23小時，與喝酒量無關；在長時間喝酒形式下，喝酒結束時酒精含量最高。最后，我們討論了模型的優(yōu)缺點，并結合新的國家標準寫一篇關于司機如果何適量飲酒的一篇短文 。關鍵詞：微分方程、模

2、型、房室系統。 一、問題重述 飲酒駕車問題主要是分析駕駛員在喝過一定量的酒后，酒精在體內被吸收后，血液中酒精含量上升，影響司機駕車，所以司機飲酒后需經過一段時間后才能安全駕車，國家標準新規(guī)定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升為飲酒駕車，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車，司機大李在中午12點喝下一瓶啤酒，6小時后檢查符合新標準，晚飯地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2點駕車，被檢查時定為飲酒駕車，為什么喝相同量的酒，兩次結果不一樣？討論問題：1、 對大李碰到的情況做出合理解釋；2、 在喝三瓶啤酒或半斤白酒后多長時間內駕車會違反標準，喝酒時間

3、長短不同情況會怎樣？3、 分析當司機喝酒后何時血液中的酒精含量最高；4、 如果該司機想天天喝酒還能否開車；5、 結合模型和國家新標準寫一篇關天司機如何駕車的忠告。 二、模型假設1、 酒精從胃轉移到體液的速率與胃中的酒精濃度成正比。2、 酒精從體液轉移到體外的速率與體液中的酒精濃度成正比。3、 酒精從胃轉移到體液的過程中沒有損失。4、 測量設備完善，不考慮不同因素所造成的誤差。5、 酒精在體液中均勻分布。三、符號說明k:酒精從體外進入胃的速率；f(t):酒精從胃轉移到體液的速率；f(t):酒精從體液轉移到體外的速率；X(t):胃里的酒精含量；Y(t)：體液中酒精含量；V:體液的容積；K:酒精從胃

4、轉移到體液的轉移速率系數；K:酒精從體液轉移到體外的轉移速率系數；C(t):體液中的酒精濃度。：短時間喝酒情況下進入胃中的初始酒精量。T：較長時間喝酒所用的時間或達到濃度最大值所需時間。四、模型的分析與建立（一）、模型分析： 假設酒精先以速率進入胃中，然后以速率從胃進入體液，再以速率f(t)從體液中排到體外。根據假設可以建立如圖一所示的帶有吸收室的單房室系統，其中胃為吸收室，體液為中心室。 圖一（二）模型建立：用x(t)與y(t)分別表示酒精在胃、體液中的酒精量，c(t)表示酒精在體液中的濃度。根據酒精從胃進入體液的速度f(t)與胃中的酒精量成正比，速率系數為K；酒精從血液中排出的速率f(t)

5、與血液中的酒精量y(t)成正比，速率系數為K，可以建立方程如下： （1） （2） （3）將（1）式代入（3）式可得： （4）通過移項，上式可以轉化為； （5）利用一階線性常微分方程的常數變易法對（5）式求解，可以得到； （6）又因為 ，聯合（6）式可得： （7） 又對中心室（即體液）可建立方程組如下； （8）將（2）式代入（8）式可得；將上式轉化為：因為，將其代入上式可得到： （9）求解（11）式可得； （10）（其中 ， ，）又酒精濃度為酒精量與體液容積之比，即： （11）（其中 ，）。（三）模型的討論：1、 當酒是在較短時間內喝時此時有，。因為有 ，所以經計算整理后可得：，將A，B，C代入

6、式（11）可以得到：酒在較短時間內喝下去時，體液中的酒精濃度與時間的函數關系式如下所示： （12）（其中 ）當t比較大時，顯然K1>>K2,因此可認為：利用數表一：時間(小時)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量153437.5414138.534342925.52520.5時間(小時)678910111213141516酒精含量1917.51412.597.5653.53.52（表一）通過Matlab進行曲線擬合可得：，根據查閱資料可知：一瓶啤酒的酒精量一般為640ml，密度為810mg/ml酒精濃度為84.5%所以兩瓶啤酒的酒精總量由于體重為70kg

7、,體重的65%左右，體液密度為1.05mg/ml，所以可得體液的總體積為毫克/百毫升。由可求得：。可得短時間內喝下兩瓶啤酒時血液中的酒精含量與時間的關系式如下； （13）用Matlab軟件畫出圖形為：（圖二：擬合曲線）2、 當酒是在較長時間內喝時我們可將其進行分段討論。當t時，同樣可以得到： （14）但此時，x（0）=0，y（0）=0可得：（其中A=，）根據上式可得到：（ 其中 ， A=， ） 即：可以求得： A= B=28.所以可得 : 當t時，則此時血液中的濃度與時間關系式如下： 其中綜上所述，可得，當時 （17）五、問題的解答問題一：假設大李第一次喝酒是在短時間內喝的，根據所建立模型，可

8、知人體中血液中的酒精含量與時間的函數關系式如下；根據求解可得，。所以可求得，當時，可以求得，小于國家規(guī)定的新標準，所以第一次遭遇檢查時沒有被認定為是飲酒駕駛，見圖二圖三接著，大李在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，此時大李體內還留有第一次喝后殘留酒精，所以第二次體內的酒精含量，應該是二喝酒后體內酒精的疊加，此時我們認為大李是在較長時間內喝的，根據所建模型，有：已知，A=59.27295,k2=0.1940,k1=2.114,T=6.所以可以求出當t=14時，大于國家新規(guī)定的20mg/100ml,所以第二次雖然遲了二個小時，但檢查出來時，酒精還是超標的，見下圖：圖四所以從以上分析可知，雖然大李是喝相同量的

9、酒，且第二次檢查時離喝酒時間比第一次延長了二個小時，但由于第一次喝后體內還留有第一次剩余的酒精，并且第二次是較長時間內喝的比第一次短時間內喝的達到標準所需時間要大，所以第二次會被認定是飲酒駕車，大李的這種遭遇我們可知，一個人人體內血液中的酒精含量不僅與所喝的酒量有關，而且還與喝酒所用的時間快慢及體內血液中原來的酒精含量也有關。問題二（1）當酒是在較短時間內喝時，根據已建立的基本模型，可知，人體血液中的酒精含量與時間的函數關系式為： （18）因為是短時間喝，此時，所以上式可轉化為： （19）由于，所以 （20）因為喝了三瓶啤酒，則有，。 所以： 當時，可求得。所以當駕駛員在較短時間內喝下三瓶啤酒

10、時，必須經過11.261小時后開車才不會被認為是飲酒駕車。（2）當酒是在較長時間內喝時，根據模型可知，人體中血液內灑精的含量與時間的關系式為：且此時，所以上式可轉化為：因為已知，百毫升，當時，可以求出小時，所以當駕駛員在較長時間（如二個小時）喝下三瓶啤酒后，必須經過13.407小時后開車才不被認為是飲酒駕車。問題三：（1） 短時間內喝酒時根據所建立模型可知： 當的導數等于0時，可解得： （21）所以當時，取得最大值，因為T只與k1,k2有關，從表達式可知當在較短時間內喝酒時濃度達到最大值的時間與喝酒量無關。（2）、當酒是在較長時間內喝時當時， 求導得：由K1大于K2知，體液中酒精濃度不可能在（

11、0，T）內達到最大值。當時，其中當T比較大時，趨向于，趨向于，現對求導得： 可以由上式推出： 由K1大于K2知，體液中酒精濃度不可能在t>T時達到最大值。綜上所述，長時間喝酒時，血液中的酒精含量當喝酒結束時達到最大值。所以當喝酒時間是二個小時時，在第二小時時含量最高。問題四:假設天天喝酒,每次喝酒的量為均勻的,每隔T時間喝一次酒;當喝酒n次后,則時間t=nT,T>1.23小時.所以將根據所建的模型,可以進行n次模型疊加,即表示為:當n時,上式可近似為如果要使駕駛員,天天喝酒還能開車不被認定為是引飲酒駕車,則必: A=所以所以可設啤酒瓶數為 a。綜上所述,如果駕駛員想天天喝酒,天天開

12、車的話,那么必需每天飲酒數量不超過1.7瓶.模型的評價及推廣1、 所建立的模型簡潔、明了，便于使用數學工具，如Matlab LINDO等，降低了編程求解的難度，縮短了運行時間，提高了工作效率。2、 易于推廣，模型是根據酒精在血液里的變化消耗減小規(guī)律得出了酒精在血液中的濃度變化類似藥物，進入人體內起藥里作用的濃度變化，所以該模型可進一步的推廣到藥物在人體中的濃度隨時間的變化，對醫(yī)學和臨床的治療，給藥等提供了很好的參考價值。3、 不足之處，受到的限制的條件太多，實際情況時人的主觀因素影響很大。給司機朋友的忠告對于喜愛飲酒的司機朋友來說，只要在飲酒時把握住適量的尺度，便不會出現飲酒駕車的尷尬場面，在

13、現實生活中由于酒后駕車而造成的事故占總交通事故的一半以上，另據統計,我國道路交通事故死亡人數在全國總死亡人數居第七位.世界衛(wèi)生組織認為,交通事故的“魁首”是酒后駕車，因此道路交通的執(zhí)法人員對此很重視。為此我們建立一個數學模型，通過該模型讓廣大司機朋友能對自己的飲酒情況有所了解，并作出判斷自己是否能夠駕車。酒精在血液中的含量隨時間的變化而減少，從而可以推算出當一名司機在飲酒后，經過多長時間后駕車不影響其正常駕駛，也就是當司機飲酒后血液中的酒精濃度經過t時間后，要小于20毫克/百毫升。當以題中的大李為例，當他在中午12點喝酒后其身體內血液中酒精含量升高，經過6小時，血液中的酒精大部分已排出體外，即

14、血液中酒精含量低于20毫克/百毫升，符合新的駕車標準，但其體血液中仍存在部分酒精，當其晚上再次喝酒時，血液中的酒精濃度又一次升高，使二次進入血液中的酒精相疊加，再經過8小時，血液中酒精濃度便高于20毫克/百毫升超過國家標準。第二種情況，如果該司機想天天喝酒又能正常開車，假設該司機每次喝酒的量都是一定的，則我們經計算可得出，只要該司機喝啤酒的總數不超過1.7瓶，他便可以天天喝酒，也不會影響開車。根據人體科學驗證,科學家指出適量飲酒有益于身心健康!但是如果飲酒過量或長期酗酒,會導致麻痹腦部神經,影響視覺,聽覺,使人反應遲鈍,肥肉失去控制能力,口齒不清等,酒精能破壞肝臟功能,易造成胃發(fā)炎,嚴重時可造

15、成胃潰瘍和十二指腸潰瘍。尤其是我們的司機朋友，更要引起高度的重視與關注。下面我們就以提問的形式闡述飲酒駕車的危害。為什么不能酒后駕車？從科學理論上說，酒精在人體血液內達到一定的濃度。人對外界的反應能力及控制能力會下降，尤其是處理緊急情況的能力下降。一名駕駛員血液中酒精含量達0.064（每100毫升的血液中含有64毫克酒精）水平時，發(fā)生交通事故的機會較零點水平高3.5倍；達0.08水平時，發(fā)生交通事故的機會較零點水平3.5倍；達0.12水平時，發(fā)生交通事故的機會較零點水平高26倍。對于青年駕駛員而言，血液含量相同的酒精，發(fā)生交通事故的機會更高，交通安全埋下了隱患，極有可能發(fā)生交通事故，既不利于架

16、車者自身的交通安全，也對周圍的交通安全構成了威脅，因此酒后不能架車。我們結合所建立的數學模型和最新頒布的車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗國家標準,給出下面一些特別針對車輛駕駛人員的忠告:(1) 養(yǎng)成良好的生活習慣,經常鍛煉身體,增強體質,不酗酒駕車.(2) 過多地、長時間、長期地飲酒對身體的不利影響很大，使體質減弱，體內器官（特別是肝、膽囊、胃、心臟等）的破壞很大，影響器官的機能。(3) 對車輛的駕駛人員,出車前應不能飲酒.(4) 如果你是一個天天要喝一點酒的駕駛員,喝一瓶啤酒,則你只能呆到5.3小時后,你血液中的酒精濃度才不會高于國家標準.(5) 在你感覺身體不舒服時,不能喝酒. &

17、#160;希望廣大的司機朋友們看了這篇文章后能有所啟示，正確，科學，適量的飲酒，既有益于身心健康，也有益于社會。參考文獻1 楊啟帆 方道元，數學建模，杭州：浙江大學出版社，1999年；2 姜啟源 謝金星，數學建模，北京：高等教育出版社，2003年；3 李 濤 賀勇軍，應用數學篇，北京：電子工業(yè)出版社，2000年。附錄本程序是對圖二曲線的擬合Matlab程序：>> t= 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;y1=82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;y2=log(y1);polyfit(t,y2,1);ans = -0.1940 4.7753短時間內喝下二瓶酒時的酒精濃度與時間關系曲