第四講-全等三角形與角平分線(20220216051831)

1、第四講全等三角形與角平分線【知識(shí)回憶】1全等三角形的性質(zhì)與判定2、角平分線的性質(zhì)與判定【講解與練習(xí)】1如圖，四邊形 ABCD中，/ BAD= / BCD=90 ° AB=AD，假設(shè)四邊形 ABCD的面積為 24cm2,貝V AC 長(zhǎng)是cm .2 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=10cm ,0C=6cm . F 是線段0A上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn) O出發(fā)，以1cm/s的速度沿OA方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q在線段 AB上A、Q兩點(diǎn)間的距離是 0、F兩點(diǎn)間距離的a倍假設(shè)用a, t表示經(jīng)過(guò)時(shí)間 ts時(shí)， OCF、A FAQ、 CBQ中有兩個(gè)三角形全等.請(qǐng)寫出a, t

2、的所有可能情況.3. 如圖， ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn) 0,延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D,使AD=AO，連接DO , 假設(shè)BD=BC，/ ABC=54 °那么/ BCA的度數(shù)為 °4. 如下列圖，AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE，/ 1=24° / 2=36° 那么/ 3=.那么厶ABC 6.如圖，點(diǎn) D在BC 上, DE丄AB于點(diǎn)E, DF丄BC交AC于點(diǎn)F, BD=CF , BE=CD .假 設(shè)/ AFD=145。，那么/ EDF=.7.如圖，五邊形 ABCDE 中，/ ABC= / AED=90 ° AB=CD=AE=BC +D

3、E=2，那么五邊形ABCDE的面積為&如圖，在5X 5的正方形網(wǎng)絡(luò)，在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)F,使得 DEF與厶ABC全等，這樣的格點(diǎn)三角最多可以畫出 個(gè).9 .如圖，0是厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，且0到三邊 AB、BC、CA的距離 OF=OD=OE，假設(shè)/ BAC=70 ° Z BOC=.10. 如圖， ABC的周長(zhǎng)是12, OB、OC分別平分Z ABC和Z ACB , OD丄BC于D，且OD=3，那么 ABC的面積是.11. 如圖，OC 平分Z AOB , Z AOC=20 ° P 為 OC 上一點(diǎn)，PD=PE, OD 工 OE, Z OPE=110°那么Z ODP=&#

4、176;12.如圖， ABC中，Z A=60 ° AB >AC，兩內(nèi)角的平分線 CD、BE交于點(diǎn)O, OF平分Z BOC 交 BC 于 F, 1Z BOC=120 °2連 AO，那么 AO 平分Z BAC ; 3A、O、F 三點(diǎn)在同一直線上，4OD=OE ,5BD+CE=BC .其中正確的結(jié)論是 填序號(hào).13.如圖 1, ABC 中，AB=AC , Z BAC=90 邊PE、PF分別交AB、CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E、F .，直角Z EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩1求證：AE=CF ;2求證： EPF是等腰直角三角形;3求證：Z FEA + Z PFC=45°4求證

5、：S PFC- Sa pbe=SaABC .14.如圖， ACO為等腰直角三角形.1假設(shè)C- 1, 3，求A點(diǎn)坐標(biāo)；2過(guò)A作AE丄AC,假設(shè)/ FEO= / COE，求/ EOF的度數(shù)；3當(dāng)厶ACO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，過(guò) C作CN丄y軸，M為AO的中點(diǎn)，/ MNO的大小是否 發(fā)生變化？15. 如圖，在 ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，AD平分/ BAC，在AB上截取 AE=AC，連 接DE, DE=2cm , BD=3cm，求線段 BC的長(zhǎng).16. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AC 平分/ DAE , DA / CE, AB=CB .1試判斷BE與AC有何位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論；2假設(shè)/ DAC=2

6、5 °求/ AEB的度數(shù).17. 如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC，請(qǐng)利用線段之比可轉(zhuǎn)化為面積之比的思路方法,求證:BD_AB工心.18. 如圖， ABC 中，/ C=60 ° AD , BE 分別平分/ CAB , / CBA、AD、BE 交于點(diǎn) P.求 證：1/ APB=120 °2點(diǎn)P在/ C的平分線上;3AB=AE +BD.19. 1如圖1，在 ABC中，/ ABC= / ACB , AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)N，交BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M,假設(shè)/ BAC=40 °求/ AMB的度數(shù)；2如圖1，如果將1中的/ BAC的度數(shù)改為70°

7、;其余條件不變，再求/ AMB的 度數(shù).20. 在 ABC中，AD是/ BAC的平分線.1如圖，求證:AC2如圖 ，假設(shè)BD=CD，求證：AB=AC ;3如圖 ，假設(shè) AB=5 , AC=4 , BC=6 .求BD的長(zhǎng).【作業(yè)】1. 石門福地小區(qū)有一塊直角梯形花園，測(cè)量 花園面積為平方米.AB=20 米，/ DEC=90 ° / ECD=45 ° 貝U該2. 如圖，在 ABC中，AB=AC，/ BAC=90 ° AE是過(guò) A點(diǎn)的一條直線， CE丄AE于E,BD 丄 AE 于 D, DE=4cm , CE=2cm，貝U BD=3. 如圖，在 Rt ABC中，AC=B

8、C，/ C=90 ° AB=8，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn) D、E分 別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持 AD=CE，連接DE、DF、EF .在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，以下結(jié)論中正確的結(jié)論是 1 DFE是等腰直角三角形；2四邊形CDFE不可能為正方形；3DE長(zhǎng)度的最小值是4;4四邊形CDFE的面積保持不變；5 CDE面積的最大值為 4.4. 在直角坐標(biāo)系中，如圖有厶 ABC，現(xiàn)另有一點(diǎn)D滿足以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC全等，那么D點(diǎn)坐標(biāo)為AD=2cm , AB +BC=8 ,5. 如下列圖，在 ABC中，/ A=90 ° BD平分/ ABC ,Sa abc =.F, DE=DG

9、, ADG 和厶 AED 的面6. 如圖，AD是厶ABC的角平分線，DF丄AB ,垂足為 積分別為50和38,那么厶EDF的面積為 .7. 如圖，在 ABC 中，/ ABC=90 ° AB=BC , A 4, 0，B 0, 2圏1ffiiH31如圖1,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；2如圖2, BC交x軸于點(diǎn) M , AC交y軸于點(diǎn)N，且BM=CM，求證：/ AMB= / CMN ;3如圖3,假設(shè)點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以 OB、AB為直角邊在 第一、第二象限作等腰直角厶 BOF與等腰直角 ABE，連接EF交y軸于P點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)B 在y軸正半軸上移動(dòng)時(shí)，BP的長(zhǎng)度是否變化？假設(shè)變化請(qǐng)說(shuō)

10、明理由，假設(shè)不變化，請(qǐng)求出 其長(zhǎng)度.&如圖，在厶ABC中，/ B= / C, AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).點(diǎn) P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q在線段CA上由C點(diǎn)向 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).1假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，那么經(jīng)過(guò)1s, BPD與厶CQP是否全等？ 請(qǐng)說(shuō)明理由；2假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使9.如圖，AD / BC,/ D=90 °1如圖1,假設(shè)/ DAB的平分線與/ CBA的平分線交于點(diǎn) P,試問(wèn)：點(diǎn)P是線段CD的 中點(diǎn)嗎？為什么？2如圖2，如果P是DC的中點(diǎn)

11、，BP平分/ ABC，/ CPB=35 °求/ PAD的度數(shù)為多少？10.觀察、猜測(cè)、探究：在厶 ABC 中，/ ACB=2 / B.1如圖 ，當(dāng)/ C=90 ° AD為/ BAC的角平分線時(shí)，求證：AB=AC +CD ;2如圖，當(dāng)/ CM 90° AD為/ BAC的角平分線時(shí)，線段 AB、AC、CD又有怎樣的 數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜測(cè)；3如圖，當(dāng)AD ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請(qǐng)寫出你的猜測(cè)，并對(duì)你的猜測(cè)給予證明.L/A.ZsD (圖? s75c s cd圖遛參考答案與試題解析1.J - cm. 2.解： 當(dāng)

12、厶COF和厶FAQ全等時(shí),OC=AF , OF=AQ 或 OC=AQ , OF=AF ,6=1 () - + rMa/t/ OC=6 , OF=t, AF=10 - t, AQ=at，代入得：?或，解得：t=4, a=1,或 t=5 ,a= 一， 1,4，匕，5； 同理當(dāng) FAQ 和厶 CBQ 全等時(shí)，必須 BC=AF , BQ=AQ ,10=10 - t, 6 - at=at,此時(shí)不存在； 因?yàn)?CBQ最長(zhǎng)直角邊 BC=10，而 COF的最長(zhǎng)直 角邊不能等于10，所以 COF和厶BCQ不全等，F(xiàn), Q, A三點(diǎn)重合，此時(shí) COF和厶 CBQ 全等，此時(shí)為0,10故答案為：1 , 4，

13、7;, 5， 0,10.53.42 ° 4.60° .5.A DCB ，/ DCB . 6.55°延長(zhǎng) DE 至 F, 使 EF=BC，連 AC , AD , AF , v AB=CD=AE=BC +DE , / ABC= / AED=90 ° 由題中條件可得 Rt ABC也Rt AEF , ACD AFD , SABCDE =2SAadf =2 X ?DF?AE=2 X X 2X 2=4.2 2故答案為：4.&4 個(gè).9.125° . 10.18 . 11 .130 ° 12. 124 5填序號(hào).£13.證明：1連

14、結(jié)AP , EF;v ABC為等腰直角三角形，且點(diǎn)P為斜邊BC的中點(diǎn), PA=PB=PC , PA丄 BC ;而/ EPF=90° ° APF= / BPE , / PAC= / PBA=45 ° °/ PAF=Z PBE=135 °APF BPE ASA, AF=BE ,而 AB=AC , AE=CF .2 APF 也厶 BPE , PF=PE ,而/ EPF=90 ° ,EPF 為等腰直角三角形.3 APF 也厶 BPE , PFA= / PEB , FEA + Z PFC=ZFEA+Z PEB=45 °4 / APF

15、= BPE, Sa apf=S pbe , Sapfc- Sa pbe=SapfcSAAPF=sAAPC ,而(2,pfc- SapbeSaabc .14.解：1作CD丄y軸，AB丄DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)B ,vZ BAC +Z BCA=90 ° , Z BCA +Z DCO=90 ° Z BAC= Z DCO , ABC CDOAAS， BC=OD=3 , AB=CD=1 , A 點(diǎn)坐標(biāo)-4 , 2；2 / EOF=45 °3不變，理由如下：作 MK丄ON于K點(diǎn)，MF丄NC于F點(diǎn)，連接:81MC , vZ MFC= Z CNO= Z MKN=90 ° Z FM

16、K=90 °四邊形 MKNF為矩形，vAC=CO , M 是 AO 中點(diǎn)，/ CMO=90 °, CM=MO , vZ CMO= Z CMK +Z KMO , Z FMK= Z FMC + Z CMK ,/ KMO= / FMC , FMC KMOAAS，/ FM=MK ,矩形 MKNF為正方形，/ MNO=45 °15. 解：T AD 平分/ BAC BAD= / CAD ADE ADC SAS DE=DC BC=BD +DC=BD +DE=2 +3=5 cm.16. 1答：BE 垂直平分 AC,證明：T AC 平分/ DAE，/ DAC= / EAC ,/ D

17、A / CE,DAC= / ACE，/ ACE= / EAC , EA=EC , E 在 AC 的垂直平分線上，t AB=CB， B在AC的垂直平分線上， BE垂直平分 AC ;2解：t AC 是/ DAE 的平分線，/ DAC= / CAE=25 ° 又t DA / E/ DAC= / ACE=25 °CAE= / ACE=25 AE=CE，/ AEC=130 ° AEB CEB， / AEB= / CEB， / AEBj 360° / AEC=115° 17面積法丄/ ABC+/ BAC丄1802 218. 證明：1t/ C=60 

18、6; AD、BE是厶ABC的角平分線， / ABP=1 / ABC , / BAP=1 / BAC , / BAP+/ MBP=2 2/ C=60 °APB=120 °2丨如圖1,過(guò)P作PF丄AB , PG丄AC , PH丄BC , t AD , BE分別平分/ CAB , / CBA , PF=PG , PF=PH , PH=PG , 點(diǎn) P 在/ C 的平分線上；3如圖2,在 AB上取點(diǎn) M使AM=AE ,連接PM t AD是/ BAC的平分線，PAM= / PAE ,AMP AEP , APM= / APE=180。-/APB=60 ° ,BPM=180。-

19、/ APM +/ APE=60° ° / BPD= / APE=60 ° ° BPM= / BPD ,t BE 是/ ABC 的角平分線,MBP= / DBP,BOM BOD , BM=BD , AB=AM +BM=AE +BD .19. 解：T/ ABC= / ACB , / BAC=40 °，/ ABC=70 ° t AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) N , 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M, AM=BM , / BAM= / ABC=70 ° , / AMB=180。-/ ABC / BAM=40 °2t / AB

20、C= / ACB , / BAC=70 ° , / ABC=55 ° , t AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) N , 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M, AM=BM，/ BAM= / ABC=55 ° , / AMB=180。-/ ABC / BAM=70 °20. 解：1如圖 ，證明：作 DE丄AB于E , DF丄AC于F, t AD是/ BAC的平分線, 弘ABD _尹惻_(tái)AB DE=DF 一ABAB 1%ACD AC，暨, AB=AC ;沁廈D匕QDF乩2t BD=CD , S abd=Saacd 由1的結(jié)論-_丄上1 二訂'二_ 二丄丄 I：

21、-* 二，也8比_即AACD °C由1的結(jié)論SAABD _ABAACD 也 BE AB 5 ， -DC AC 43如圖，過(guò)A作AE丄BC,垂足為E,200. 2. 6cm . 3. 1.4. 2022?吉安模擬在直角坐標(biāo)系中，如圖有厶 頂點(diǎn)的三角形與厶 ABC全等，那么D點(diǎn)坐標(biāo)為ABC，現(xiàn)另有一點(diǎn)D滿足以A、B、D為 0,- 2或2,- 2或2, 2.5.8cm2 . 6.6 7 .解：1作 CD 丄 BO ,/ CBD+Z ABO=90 ° / ABO + Z BAO=90 ° /-Z CBD= / BAO , ABO BCD AAS，/ BD=AO=4 , C

22、D=BO=2 ,/ C 點(diǎn)坐標(biāo)2, - 2；23作EG丄y軸，vZ BAO +Z OBA=90 ° Z OBA + Z EBG=90 ° Z BAO= Z EBG , BAO EBG AAS, BG=AO , EG=OB,v OB=BF，/ BF=EG , EGPA FBP AAS, PB=PG , PB=&解：1點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò) 1秒后， BPD與厶CQP全等,理由是：v AB=AC=10 厘米，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)，/ B= Z C, BD=5 厘米，/ BP=CQ=3t厘米=3 厘米， CP=8 厘米-3 厘米=5 厘米=BD ,

23、 DBPPCQSAS；2設(shè)當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x厘米/時(shí)，時(shí)間是t小時(shí)，能夠使厶BPD與厶CQP全等,v BD=5 厘米，BP=3t 厘米，CP= 8 - 3t厘米，CQ=xt 厘米，Z B= Z C,當(dāng) BP=CQ , BD=CP 或 BP=CP, BD=CQ 時(shí)， BPD 與厶 CQP 全等，即 3t=xt, 5=8 -153t,解得：x=3不合題意，舍去，3t=8 - 3t, 5=xt，解得：,1 %即當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/時(shí)時(shí)，能夠使厶BPD與厶CQP全等.49. 解：1點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn).理由如下：過(guò)點(diǎn) P作PE丄AB于E,/ AD / BC，/ D=90 ° / C=180。/ D=90 ° 即 PC丄 BC,：/ DAB 的平分線與/ CBA 的平分線交于點(diǎn) P,. PD=PE , PC=PE , PC=PD，點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)；2過(guò)點(diǎn) P 作 PE丄 AB 于 E,： AD / BC，/ D=90 ° :丄 C=180 °-/ D=90 ° 即 PC丄 BC . PBE PBC AAS，/ EPB= / CPB=35