2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編14：導(dǎo)數(shù)與積分

1、2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編14：導(dǎo)數(shù)與積分 一、選擇題 （2013年高考湖北卷（理）已知為常數(shù),函數(shù)有兩個極值點,則（）AB CD【答案】D （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是（）AR,B函數(shù)的圖像是中心對稱圖形C若是的極小值點,則在區(qū)間上單調(diào)遞減D若是的極值點,則【答案】C （2013年高考江西卷（理）若則的大小關(guān)系為（）AB CD【答案】B （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）設(shè)函數(shù)（）A有極大值,無極小值B有極小值,無極大值 C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值【答案

2、】D （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）設(shè)函數(shù)的定義域為R,是的極大值點,以下結(jié)論一定正確的是（）AB是的極小值點 C是的極小值點D是的極小值點 【答案】D （2013年高考北京卷（理）直線l過拋物線C: x2=4y的焦點且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于（）AB2CD【答案】C （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）已知為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則（）A當(dāng)時,在處取得極小值B當(dāng)時,在處取得極大值 C當(dāng)時,在處取得極小值D當(dāng)時,在處取得極大值 【答案】C 二、填空題 （2013年高考江西卷（理）設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且,則

3、_【答案】2 （2013年高考湖南卷（理）若_.【答案】3 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）若曲線在點處的切線平行于軸,則_.【答案】 三、解答題（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）已知函數(shù).()設(shè)是的極值點,求,并討論的單調(diào)性;()當(dāng)時,證明.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）已知函數(shù)(I)求證: (II)若恒成立,求實數(shù)取值范圍.（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）本小題滿分16分.設(shè)函數(shù),其中為實數(shù).(1)若在上是單調(diào)減函數(shù),

4、且在上有最小值,求的取值范圍;(2)若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）設(shè)函數(shù)(其中).() 當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;() 當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.（2013年高考江西卷（理）已知函數(shù),為常數(shù)且.(1)證明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱;(2)若滿足,但,則稱為函數(shù)的二階周期點,如果有兩個二階周期點試確定的取值范圍;(3)對于(2)中的和, 設(shè)x3為函數(shù)f(f(x)的最大值點,A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(x3,0),記ABC的面積為S(a),討論S(a)的單調(diào)性.（2013年普通高等

5、學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）設(shè),其中,曲線在點處的切線與軸相交于點.(1)確定的值; (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.（2013年高考四川卷（理）已知函數(shù),其中是實數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點,且.()指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()若函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直,且,求的最小值;()若函數(shù)的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍.（2013年高考湖南卷（理）已知,函數(shù).(I)記求的表達式;(II)是否存在,使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.【答案】解: () (II)由前知,y=f(x)的圖像是由兩段反比例函數(shù)的圖像組成

6、的.因此,若在圖像上存在兩點滿足題目要求,則P,Q分別在兩個圖像上,且. 不妨設(shè) 所以,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的極值.【答案】解:函數(shù)的定義域為,. ()當(dāng)時, , 在點處的切線方程為, 即. ()由可知: 當(dāng)時,函數(shù)為上的增函數(shù),函數(shù)無極值; 當(dāng)時,由,解得; 時,時, 在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上:當(dāng)時,函數(shù)無極值 當(dāng)時,函數(shù)在處取得極小值,無極大值. （2013年高考新課標(biāo)1（理）(本小題滿分共12分)已知

7、函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線()求,的值;()若-2時,求的取值范圍.【答案】()由已知得, 而=,=,=4,=2,=2,=2; ()由()知, 設(shè)函數(shù)=(), =, 有題設(shè)可得0,即, 令=0得,=,=-2, (1)若,則-2<0,當(dāng)時,<0,當(dāng)時,>0,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在=取最小值,而=0, 當(dāng)-2時,0,即恒成立, (2)若,則=, 當(dāng)-2時,0,在(-2,+)單調(diào)遞增,而=0, 當(dāng)-2時,0,即恒成立, (3)若,則=<0, 當(dāng)-2時,不可能恒成立, 綜上所述,的取值范圍為1,. （2013年高考湖北卷（理）設(shè)是

8、正整數(shù),為正有理數(shù).(I)求函數(shù)的最小值;(II)證明:;(III)設(shè),記為不小于的最小整數(shù),例如,.令,求的值.(參考數(shù)據(jù):,)【答案】證明:(I) 在上單減,在上單增. (II)由(I)知:當(dāng)時,(就是伯努利不等式了) 所證不等式即為: 若,則 , ,故式成立. 若,顯然成立. , ,故式成立. 綜上可得原不等式成立. (III)由(II)可知:當(dāng)時, （2013年高考陜西卷（理）已知函數(shù). () 若直線y=kx+1與f (x)的反函數(shù)的圖像相切, 求實數(shù)k的值; () 設(shè)x>0, 討論曲線y=f (x) 與曲線 公共點的個數(shù). () 設(shè)a<b, 比較與的大小, 并說明理由.

9、【答案】解:() f (x)的反函數(shù). 設(shè)直線y=kx+1與相切與點 .所以 () 當(dāng) x > 0,m > 0 時, 曲線y=f (x) 與曲線 的公共點個數(shù)即方程 根的個數(shù). 由, 則 h(x)在 h(x). 所以對曲線y=f (x) 與曲線 公共點的個數(shù),討論如下: 當(dāng)m 時,有0個公共點;當(dāng)m= ,有1個公共點;當(dāng)m 有2個公共點; () 設(shè) 令. ,且 . 所以 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）設(shè)函數(shù)(=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù),).()求的單調(diào)區(qū)間、最大值; ()討論關(guān)于的方程根的個數(shù).【答案】解:(), 由,解得, 當(dāng)時,單調(diào)遞減

10、所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是, 最大值為 ()令 (1)當(dāng)時,則, 所以, 因為, 所以 因此在上單調(diào)遞增. (2)當(dāng)時,當(dāng)時,則, 所以, 因為,又 所以 所以 因此在上單調(diào)遞減. 綜合(1)(2)可知 當(dāng)時, 當(dāng),即時,沒有零點, 故關(guān)于的方程根的個數(shù)為0; 當(dāng),即時,只有一個零點, 故關(guān)于的方程根的個數(shù)為1; 當(dāng),即時, 當(dāng)時,由()知 要使,只需使,即; 當(dāng)時,由()知 ; 要使,只需使,即; 所以當(dāng)時,有兩個零點,故關(guān)于的方程根的個數(shù)為2; 綜上所述: 當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為0; 當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為1; 當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為2. （2013年普通高等學(xué)

11、校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）已知,函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程;(2)當(dāng)時,求的最大值.【答案】解:()由已知得:,且,所以所求切線方程為:,即為:; ()由已知得到:,其中,當(dāng)時, (1)當(dāng)時,所以在上遞減,所以,因為; (2)當(dāng),即時,恒成立,所以在上遞增,所以,因為 ; (3)當(dāng),即時, ,且,即2+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增所以,且 所以, 所以; 由,所以 ()當(dāng)時,所以時,遞增,時,遞減,所以,因為 ,又因為,所以,所以,所以 ()當(dāng)時,所以,因為,此時,當(dāng)時,是大于零還是小于零不確定,所以 當(dāng)時,所以,所以此時; 當(dāng)時,所以,所以此時 綜上所述:. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對）已知函數(shù)(I)若時,求的最小值;(II)設(shè)數(shù)列【答案】（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知函數(shù). () 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; () 證明: 對任意的t>0, 存在唯一的s, 使. () 設(shè)()中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為, 證明: 當(dāng)時, 有.【答案】 （2013年高考北京卷（理）設(shè)L為曲線C:在點(1,0)處的切線.(I)求L的方程;(II