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文檔簡介

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)下冊常用常見知識點第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)(一) 向量及其線性運算1、 向量,向量相等,單位向量,零向量,向量平行、共線、共面;2、 線性運算:加減法、數(shù)乘;3、 空間直角坐標系:坐標軸、坐標面、卦限,向量的坐標分解式;4、 利用坐標做向量的運算:設(shè),則 , ; 5、 向量的模、方向角、投影:1) 向量的模:;2) 兩點間的距離公式:3) 方向角:非零向量與三個坐標軸的正向的夾角4) 方向余弦:5) 投影:,其中為向量與的夾角。(二) 數(shù)量積,向量積1、 數(shù)量積:1)2)2、 向量積:大?。?,方向:符合右手規(guī)則1)2)運算律:反交換律 (三) 曲面及其方

2、程1、 曲面方程的概念:2、 旋轉(zhuǎn)曲面:(旋轉(zhuǎn)后方程如何寫)面上曲線,繞軸旋轉(zhuǎn)一周:繞軸旋轉(zhuǎn)一周:3、 柱面:(特點)表示母線平行于軸,準線為的柱面4、 二次曲面(會畫簡圖)1) 橢圓錐面:2) 橢球面:旋轉(zhuǎn)橢球面:3) *單葉雙曲面:4) *雙葉雙曲面:5) 橢圓拋物面:6) *雙曲拋物面(馬鞍面):7) 橢圓柱面:8) 雙曲柱面:9) 拋物柱面:(四) 空間曲線及其方程1、 一般方程:2、 參數(shù)方程:,如螺旋線:3、 空間曲線在坐標面上的投影,消去,得到曲線在面上的投影(五) 平面及其方程(法向量)1、 點法式方程: 法向量:,過點2、 一般式方程:(某個系數(shù)為零時的特點)截距式方程:3、

3、 兩平面的夾角:, 4、 點到平面的距離:(六) 空間直線及其方程(方向向量)1、 一般式方程:2、 對稱式(點向式)方程: 方向向量:,過點3、 參數(shù)式方程:4、 兩直線的夾角:, 5、 直線與平面的夾角:直線與它在平面上的投影的夾角, 第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(一) 基本概念1、 距離,鄰域,內(nèi)點,外點,邊界點,聚點,開集,閉集,連通集,區(qū)域,閉區(qū)域,有界集,無界集。2、 多元函數(shù):,圖形,定義域:3、 極限:4、 連續(xù):5、 偏導(dǎo)數(shù):6、 方向?qū)?shù): 其中為的方向角。7、 梯度:,則。8、 全微分:設(shè),則(二) 性質(zhì)1、 函數(shù)可微,偏導(dǎo)連續(xù),偏導(dǎo)存在,函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系:偏導(dǎo)

4、數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義122342、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)3、 微分法1) 定義: 2) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):鏈式法則 若,則 ,3) 隱函數(shù)求導(dǎo):a.兩邊求偏導(dǎo),然后解方程(組),b.公式法(三) 應(yīng)用1、 極值1) 無條件極值:求函數(shù)的極值解方程組 求出所有駐點,對于每一個駐點,令, 若,函數(shù)有極小值,若,函數(shù)有極大值; 若,函數(shù)沒有極值; 若,不定。2) 條件極值:求函數(shù)在條件下的極值令: Lagrange函數(shù)解方程組 2、 幾何應(yīng)用1) 曲線的切線與法平面曲線,則上一點(對應(yīng)參數(shù)為)處的切線方程為:法平面方程為:2) 曲

5、面的切平面與法線曲面,則上一點處的切平面方程為: 法線方程為:第十章 重積分(一) 二重積分1、 定義:2、 性質(zhì):(6條)3、 幾何意義:曲頂柱體的體積。4、 計算:1) 直角坐標X型區(qū)域:,Y型區(qū)域:,*交換積分次序(課后題)2) 極坐標 (二) 三重積分1、 定義: 2、 性質(zhì):3、 計算:1) 直角坐標 -投影法“先一后二” -截面法“先二后一”2) 柱面坐標,3) *球面坐標*(三) 應(yīng)用曲面的面積:第十一章 曲線積分與曲面積分(一) 對弧長的曲線積分1、 定義:2、 性質(zhì):1) 2) 3)在上,若,則4) ( l 為曲線弧 L的長度)3、 計算:設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù),的參數(shù)方程

6、為,其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則(二) 對坐標的曲線積分1、 定義:設(shè) L 為面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,函數(shù),在 L 上有界,定義,.向量形式:2、 性質(zhì): 用表示的反向弧 , 則3、 計算:設(shè)在有向光滑弧上有定義且連續(xù), 的參數(shù)方程為,其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則4、 兩類曲線積分之間的關(guān)系:設(shè)平面有向曲線弧為,上點處的切向量的方向角為:,則.(三) 格林公式1、格林公式:設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有2、為一個單連通區(qū)域,函數(shù)在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則 曲線積分 在內(nèi)與路徑無關(guān)曲線積分 在內(nèi)為某一個函數(shù)的全微分(四)

7、對面積的曲面積分1、 定義:設(shè)為光滑曲面,函數(shù)是定義在上的一個有界函數(shù),定義 2、 計算:“一單值顯函數(shù)、二投影、三代入”,則(五) 對坐標的曲面積分1、 預(yù)備知識:曲面的側(cè),曲面在平面上的投影,流量2、 定義:設(shè)為有向光滑曲面,函數(shù)是定義在上的有界函數(shù),定義 同理,3、 性質(zhì):1),則2)表示與取相反側(cè)的有向曲面 , 則4、 計算:“一投二代三定號”,在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),在上連續(xù),則,為上側(cè)取“ + ”, 為下側(cè)取“ - ”.5、 兩類曲面積分之間的關(guān)系:其中為有向曲面在點處的法向量的方向角。(六) 高斯公式1、 高斯公式:設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 的方向取外側(cè), 函數(shù)在上

8、有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有或2、 *通量與散度*通量:向量場通過曲面指定側(cè)的通量為:散度:(七) *斯托克斯公式*1、 斯托克斯公式:設(shè)光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側(cè)與 G 的正向符合右手法則, 在包含å 在內(nèi)的一個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:2、 *環(huán)流量與旋度*環(huán)流量:向量場沿著有向閉曲線G的環(huán)流量為旋度:第十二章 無窮級數(shù)(一) 常數(shù)項級數(shù)1、 定義:1)無窮級數(shù):部分和:,正項級數(shù):,交錯級數(shù):,2)級數(shù)收斂:若存在,則稱級數(shù)收斂,否則稱級數(shù)發(fā)散3)條件收斂:收斂,而發(fā)散;絕對收斂:收斂。2、 性質(zhì):1) 改變有限

9、項不影響級數(shù)的收斂性;2) 級數(shù),收斂,則收斂;3) 級數(shù)收斂,則任意加括號后仍然收斂;4) 必要條件:級數(shù)收斂.(注意:不是充分條件?。?、 審斂法正項級數(shù):,1) 定義:存在;2) 收斂有界;3) 比較審斂法:,為正項級數(shù),且 若收斂,則收斂;若發(fā)散,則發(fā)散.4) 比較法的推論:,為正項級數(shù),若存在正整數(shù),當時,而收斂,則收斂;若存在正整數(shù),當時,而發(fā)散,則發(fā)散. 5) 比較法的極限形式:,為正項級數(shù),若,而收斂,則收斂;若或,而發(fā)散,則發(fā)散.6) 比值法:為正項級數(shù),設(shè),則當時,級數(shù)收斂;則當時,級數(shù)發(fā)散;當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.7) *根值法:為正項級數(shù),設(shè),則當時,級數(shù)收斂;則

10、當時,級數(shù)發(fā)散;當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.8) 極限審斂法:為正項級數(shù),若或,則級數(shù)發(fā)散;若存在,使得,則級數(shù)收斂.交錯級數(shù):萊布尼茨審斂法:交錯級數(shù):,滿足:,且,則級數(shù)收斂。任意項級數(shù):絕對收斂,則收斂。常見典型級數(shù):幾何級數(shù):p -級數(shù):(二) 函數(shù)項級數(shù)1、 定義:函數(shù)項級數(shù),收斂域,收斂半徑,和函數(shù);2、 冪級數(shù):收斂半徑的求法:,則收斂半徑 3、 泰勒級數(shù) 展開步驟:(直接展開法)1) 求出;2) 求出;3) 寫出;4) 驗證是否成立。間接展開法:(利用已知函數(shù)的展開式)1);2);3);4);5)6)7)8)4、 *傅里葉級數(shù)*1) 定義:正交系:函數(shù)系中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間上積分為零。傅里葉級數(shù):系數(shù): 2) 收斂定

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