西工大計(jì)算方法精彩試題06-10(含問題詳解)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案一、考試內(nèi)容線性方程組和非線性方程（組）的求解、矩陣特征值和特征向量的計(jì)算、微積分 的計(jì)算、微分方程定解問題的求解等，都是工程、科技、統(tǒng)計(jì)等實(shí)際問題中大量 碰到的數(shù)學(xué)問題，這些問題的精確解很難求出。而計(jì)算方法則是一門適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算求解的數(shù)值方法，它簡單可行，能有效求出上述數(shù)學(xué)問題的近似 解。通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能掌握利用計(jì)算機(jī)求解基本數(shù)學(xué)問題常用的 數(shù)值計(jì)算方法，學(xué)會(huì)構(gòu)造基本的計(jì)算格式，并能作一定的誤差分析，使學(xué)生具備基本的科學(xué)計(jì)算能力。主要有：1 . 了解計(jì)算方法的認(rèn)務(wù)和特點(diǎn)；2 .熟練掌握方程的的近似解法，包括二分法、迭代法、牛頓迭代法和弦割法3 .熟練掌握線性代數(shù)方程

2、組的解法，直接解法中的高斯消去法、矩陣的直接三 角分解法，平方根分解法，解三對角方程組的追趕法；解線性方程組的迭代法， 簡單迭代法，雅可比迭代法，賽德爾迭代法， SORT法及其收斂性4 .熟練掌握矩特征值和特征向量的計(jì)算，乘幕法與反幕法，古典雅可比方法， 雅可比過關(guān)法5 .熟練掌握插值法，拉格朗日插值法，牛頓插值法，等距節(jié)點(diǎn)插值法，埃爾米 特插值法，三次樣條插值法6 .熟練掌握最小二乘法與曲線擬合，掌握矛盾方程組與最小二乘法，數(shù)據(jù)的多 項(xiàng)式擬合，可化為線性擬合模型的曲線擬合7 .熟練掌握數(shù)值積分與數(shù)值微分，包括牛頓-柯特斯求積公式、復(fù)化求積公式、 龍貝格求積算法、高斯型求積公式和數(shù)值微分；8

3、.熟練掌握常微分方程初值問題數(shù)值解法，包括歐拉法與梯形法、泰勒展開法 與龍格-庫塔法、線性多步法文檔大全2006-2007 第一學(xué)期一.填空*1)近似數(shù)x = 1.253關(guān)于真值x = 1.249有位有效數(shù)字；1nn1f (x)dx r Akf(Xk)、 Ak2)設(shè)有插值公式k。 ，則y =；(只算系數(shù))*er (*") 三3)設(shè)近似數(shù)xi =°.0235, x2 =2.5160都是有效數(shù)，則相對誤差 x24)求方程x=cosx的根的牛頓迭代格式為 ;x1 + x2 = 1，x1 一 x2 = 12x1 2x2 =2x1 一 x2 二15)矛盾方程組H +2x2 = -1與

4、儼+2% = -1得最小二乘解是否相同x用迭代法(方法不限)求方程 xe =1在區(qū)間(0, 1)內(nèi)根的近似值，要求2先論證收斂性，誤差小于10時(shí)迭代結(jié)束。2 x三.用最小二乘法y=ax +be中的常數(shù)a和b,使該函數(shù)曲線擬合與下面四個(gè) 點(diǎn)(1, -0.72 ) (1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第四位)四.用矩陣的直接三角分解法求解線性方程組五.設(shè)要給出"x)=cosx的如下函數(shù)表xiXo -hXoXo +hf (xi)f(Xo -h)f (Xo)f (Xo +h)用二次插值多項(xiàng)式求f(x)得近似值，問步長不超過多少時(shí)，誤差小于

5、107六.設(shè)有微分方程初值問題y' = 2y -4x,0 <x E0.2)(0) =21 ）寫出歐拉預(yù)估一校正法的計(jì)算格式；2）取步長h=0.1 ,用歐拉預(yù)估校正法求該初值問題的數(shù)值解（計(jì)算結(jié)果保留 4位小數(shù)）。1 dx七.設(shè)有積分取11個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)0和1）,列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 （小 數(shù)點(diǎn)侯保留4位）；用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大?。ㄐ?數(shù)點(diǎn)侯保留4位）。八.對方程組1 .用雅可比迭代法求解是否對任意初始向量都收斂？為什么?2 .取初始向量x =（0，0，0）T,用雅可比迭代法求近似解x（i）,使xi(D x(k &l

6、t;10， (i =1,2,3)九.設(shè)f(x)在區(qū)間a, b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0 ,試證明1omax f(x)二9 - a) max f (x) a *2b8a :：x _b參考答案：1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023xk 1 = xkxk -cosxkxk sin xk cosxk(4)1 sin xk1 sin xk,k =0,1,2,.(5)2.方程的等價(jià)形式為x=e”,迭代格式為x«=e0_ e* _ e° = 1收斂性證明；當(dāng)x-。1）時(shí)，eW（x）| = e7 <e° =1所以依據(jù)全局性收斂定理，可知迭代格式收

7、斂取迭代初值為x。=0.5,迭代結(jié)果如下nxn| xn - xn00.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006312.71828 "-0.72-4.481690.027.38906J0.6112.18249_0.32矛盾方程組為-6.25對應(yīng)的正則方程組為3.xn11.52.02.52 xn12.254.06.25exn2.718284.481697.3890612.18249一 12.254.061.125118.4989 a _3.765

8、118.4989 230.4859 |b - 6.538196 解得 a = 2.0019, b -1.0009所以擬和曲線方程為y = 2.0019x2 - 1.0009ex4.由矩陣Doolittle分解的緊湊記錄形式有1 0 2 05 '10 2 05、0 10 130 10 1312 4 31712 2 16；0 1 0 37T101024>回代求解得4 c1Cx4 = = 2x3 = (6-1 x4)=23 -'0x3 -dx4x2 二二 11225 -0x2 -2x3 -0x4x1 二二 11方程組的解向量為x =（1,1,2, 2）T.maxLA xk 1父

9、琢小5.令一方f(3)(。/、/、/、八(x xkj)(x xk)(x xk+) W10可求得h <0.2498 (或3!h <0.2289)6. y* =1.6, yi =1.62, y20) =1.256, y =1.27247. 0.6932R(f) <1.3333x10 50-22B J = 一10-18.(1) Jacobi迭代法的迭代矩陣為、一2 -20譜半徑P(BJ)=0<1.此時(shí)Jacobi迭代法對任意初始向量都收斂(2)18、-6 x(3)J720(4) x209. 以x0 =a,x1 =b為插值節(jié)點(diǎn)，做 Lagrange 插值1. .1.f(x)=

10、Li(x), f ( )(x -a)(x -b) =, f ( )(x-a)(x-b)其中-(x)-a,bo故max f(x) -maxf V)(x-a)(x-b) wmax f "(x)max(x-a)(x-b) -1(b-a)2max f ”(x) ag空a至0 2!2 a£至a三8ag空2007-2008 第一學(xué)期1填空（15分）1）設(shè)近似數(shù)x* =9.2270 ,=0.8009都是四舍五入得到的，則相對誤差,* *、er(XiX2)三2）擬合三點(diǎn)A（3,1）, B（1,3）, C（2,2）的平行于y軸的直線方程為- 一 . 、一 、.一、3）近似數(shù)x =0.0351

11、關(guān)于真值x = 0.0349有 位有效數(shù)字.1n .Jf （x）dxrAkf （xj4）插值型求積公式V至少有 次代數(shù)精確度.5） Simpson（辛浦生）求積公式有 次代數(shù)精確度.322. （10分）已知曲線y=x +2.89與y = 2，x +0.51x在點(diǎn)（1.6,6.9 ）附近相切, 試用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值xn七當(dāng)“*一xn匕10誤差小于1?！睍r(shí)停 止迭代。3. （10分）用最小二乘法確定y = ax2+blnx中的常數(shù)a和b,使得該函數(shù)曲線 擬合于下面四個(gè)點(diǎn)（1 , 2.01）, （2 , 7.3）, （3,16.9）, （4,30.6）（ 計(jì)算結(jié)果保留 到小數(shù)點(diǎn)后4位）

12、4.（10分）用乘幕法求矩陣21033 23 46 11的按模最大的特征值%的第k次近似（k）值以及相應(yīng)的特征向量v(k) (A T -I T九出*。要求取初始向量u0 -(1,2,1)，且1(,三0.105. （10分）設(shè)有方程組a13I XI 6I(a=0)1a2x2= b2-3 2 a四h 寫出與Jacobi迭代法對應(yīng)的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩陣為：當(dāng)參數(shù)a滿足什么條件時(shí)，Jacobi方法對任意的初始向量都收斂。6. （10分）已知四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y = f（x）的如下數(shù)據(jù):xi12f(xi)05f'(xi)110''試求滿

13、足插值條件p(xi) =f(xi),p(xi) =f (xi)的三次插值多項(xiàng)式p(x),并寫出截?cái)嗾`差R(x) =f (x) -p(x)的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式(不必證明)。I - 2 3axdY7. (15分)設(shè)有積分I xedx1)取7個(gè)等距節(jié)點(diǎn)(包括端點(diǎn)1和2),列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表(小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位)；2)用復(fù)化simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小。8. (10分)給定初值問題y(1) =1,1 ： x _ 1.4寫出歐拉(Euler)預(yù)估-校正的計(jì)算格式;取步長h =02 ,求y(1.4)的近似值9. (10分)用迭代法的思想證明：(等號左邊有k個(gè)

14、2)lim_2 <2 川 2 =21: (1)6.78 X10-5, (2) x=2 (3) 2(4) n-2 (5) 3一 222.切線斜率相等：3x =4.8x+0.51, 3x -4.8x 0.51=023xn -4.8xn0.51牛頓迭代格式:64 -4.8取 x0 =1.6 得 x1 =1.70625,x2 =1.70002,x3 =1.70000, x4 =1.70000a =2.014a +bln 2 =7.39a bln3 =16.93.矛盾方程組：l16a+b1n4=30.835434.84081672.91、正則方程組：484081 3.60921 人b廠 £

15、;6.04713j a ： 1.9997,b : -1.00424.取初始向量V ° =(1 2 1)T ,用乘幕法公式進(jìn)行計(jì)算，且取(k),1Vi(k -1)二可% 生 11.0 x -V(4) = (13516,27032,20226)T5.(1)迭代格式為x，1)= 1b1 -x2k) -3x3k) a1(k 1)(k)=-b2-x1-2x3a(k 1)乂3b3 3x；k 1) 一 2x2k 1) a(2)Jacobi迭代法的迭代矩陣為I -Bj譜半徑.由p(bJ -得a >2此時(shí)Jacobi迭代法對任意初始向量都收斂.6.3_p(x) = x -2x 1, R(x) =

16、 f (x) - p(x)=f(4)( )4!2 一 2一(x-1) (X-2) , (x) (1,2)7.20.2174 R(f) -0.00488.(1) Euler預(yù)-校法的計(jì)算格式為y；01 = ynhf (Xn , Vn)h (o)iVn 1 = Vn 2 f %跖)f % .14 1) h =0.2 , f (x, y)=(2x代入，則yn01yn 12=yn 0.2 也 xn2 2(0) 2、=yn +0.l'n- + (yn4)、xnxn J1 代入X。y0 H得；y0 =1.2y(i.2)-yi-1.22"2° =1.4681y(1.4)% y2

17、=1.497989.證明考慮迭代格式x0 =0, X" r2+xk,k =01,，則、2=后行，,Xk=G2"2 + J2+日仲"個(gè)2)設(shè)中(x)=d2+x ,則當(dāng) x0,2時(shí)，甲(x) w 9(0),邛(2)=&，2 0,2 ；1：(x) 一由2j2+x,則當(dāng)xw0,2時(shí),1yx)一二工門所以，由迭代格式x0 =0,xk+2 + xk產(chǎn)生的序列收斂于方程 x=<'2+x在0,2 內(nèi)的根口.設(shè)kimxk=a,則有支二萬工，即a2=2+a.解之得口=2戶=-1 .舍去不合題意的負(fù)根,lim xk =2T k ,口 lim 222：Q +、J2

18、- 2=2即 k 二 -誠信保證本人知曉我?？紙鲆?guī)則和違紀(jì)處分條例的有關(guān)規(guī)定，保證遵守考場規(guī)則，誠實(shí)做人。本人簽字： 編號：學(xué)號：班號：姓名：成績西北工業(yè)大學(xué)考試試題(卷)2009 2010學(xué)年第2學(xué)期開課學(xué)院：理學(xué)院課 程：計(jì)算方法學(xué)時(shí)：322010年04月30日考試時(shí)間：2小時(shí) 閉卷(A卷)(共9道題，注意檢查)1.(每小題3分，共15分)填空*_(1) 設(shè)近似數(shù)Xi =9.2270 , X2 =0.8009都是“四舍五入”得來的，則相對誤差 |er(x； x；)K；(2)擬合三點(diǎn) A (3 , 1), B (1 ,3), C (2 , 2)的平行于 y軸的直線方程為;(3) 近似數(shù)x =

19、0.0351關(guān)于真值 x = 0.0349有 位有效數(shù)字；1n(4) 插值型求積公式 f(x)dx &Z Akf(Xk)至少有次代數(shù)精確度；1k =1(5) Simpson (辛浦生)求積公式有 次代數(shù)精確度。2. (10 分)已知曲線y = x3+2.89 與 y = 2.4x2 +0.51X 在點(diǎn)(1.6,6.9)附近相一一 一_5切。試用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值xn書，當(dāng)xn書-xn < 10 時(shí)停止迭代。西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙3. (10分)用最小二乘法確定y = ax2+bln x中的常數(shù)a和b,使該函數(shù)曲線擬合于下列四個(gè)點(diǎn)：(1 , 2.01) , (2,7.3

20、) , (3,16.9) , (4,30.6)(計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第4位)。西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙3 23 4的按模最大的特征值6 h2 24. (10分)用乘備法求矩陣A = 101及相應(yīng)的特征向量x1k)。要求取初始向量U0 = (1 ,2 ,1)T ,且所以：=,x1k)定 t(1 ,)T ,t¥0西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8 頁 第3 頁5. (10分)設(shè)有方程組a13 丫 x1"b11a2 I x2 =b2(a#0)32立人。/1b3 /(1)寫出與Jacobi迭代法對應(yīng)的 Gauss-Seidel方法的迭代格式;(1) Jacobi方法的迭代矩陣為:(2)當(dāng)參

21、數(shù)a滿足什么條件時(shí) Jacobi方法對任意初始向量都收斂?西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8頁 第4 頁6. (15分)已知四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) y= f(x)的如下數(shù)據(jù)：xi12f(xi)05f (xi)110試求滿足插值條件p( % ) = f ( Xi ) , p ( Xi ) = f (xi)的三次插值多項(xiàng)式 P(x), 并寫出截?cái)嗾`差 R(x) = f(x) - p(x) 的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式(不必證明)。西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8 頁 第5頁2.7. (15分)設(shè)有積分I =x exdx i(1)取7個(gè)等距節(jié)點(diǎn)(包括端點(diǎn) 1和2),列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表(小數(shù)點(diǎn)后至少保留 4位)；(2)用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小。西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8頁 第6 頁8. (10分)給定初值問題2y * - - = 0 , y(l) = l , 1 < x < 1.4 x(1) 將y(Xn +)在Xn作二階Taylor展開，由此建立求解該初值問題的計(jì)算格式;(2) 取步長h =0.2,用上述方法求y(1.2)、y(1.4)的近似值。西北工業(yè)大學(xué)命題專用紙共8 頁 第7 頁9. (