充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量PPT通用課件

1、1.2 充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量 一一 充分統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量 在數(shù)理統(tǒng)計中，由樣本來推斷總體的前提是：樣本在數(shù)理統(tǒng)計中，由樣本來推斷總體的前提是：樣本包含了總體分布的信息。樣本中包含的關于總體分布包含了總體分布的信息。樣本中包含的關于總體分布的信息可分為：的信息可分為：1、關于總體結構的信息，即反映總體分布的類型。、關于總體結構的信息，即反映總體分布的類型。如總體服從正態(tài)分布，則來自該總體的樣本相互獨如總體服從正態(tài)分布，則來自該總體的樣本相互獨立并均服從該正態(tài)分布，即樣本包含了總體分布為立并均服從該正態(tài)分布，即樣本包含了總體分布為正態(tài)分布的信息。正態(tài)分布的信息。 2 2、關

2、于總體未知參數(shù)的信息，這是由于樣本的分、關于總體未知參數(shù)的信息，這是由于樣本的分布中包含了總體分布中的未知參數(shù)。布中包含了總體分布中的未知參數(shù)。 為了推斷總體分布的未知參數(shù)，需要把樣本中為了推斷總體分布的未知參數(shù)，需要把樣本中關于未知參數(shù)的信息關于未知參數(shù)的信息“提煉提煉“出來，即構造合適出來，即構造合適的統(tǒng)計量的統(tǒng)計量樣本的函數(shù)樣本的函數(shù) f(X1,X2,Xn) 例例 為研究某個運動員的打靶命中率，我們對該為研究某個運動員的打靶命中率，我們對該運動員進行測試，觀測其運動員進行測試，觀測其10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余次未命中外，其余8次都命中。這樣的觀測結果包次都命

3、中。這樣的觀測結果包含了含了兩兩種信息：種信息：(1)(1)打靶打靶1010次命中次命中8 8次；次；(2)2(2)2次不命中分別出現(xiàn)在第次不命中分別出現(xiàn)在第3 3次和第次和第6 6次打靶上。次打靶上。 第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的。什么幫助的。 一般地，設我們對該運動員進行一般地，設我們對該運動員進行n 次觀測，得次觀測，得到到 x1, x2, xn，每個，每個xj 取值非取值非0即即1，命中，命中1，不，不命中為命中為0。 令令 T = x1+xn ，T為觀測到的命中次數(shù)。為觀測到的命中次數(shù)。在這種場合僅僅記錄使用在這種場合僅僅記錄

4、使用T 不會丟失任何與命中不會丟失任何與命中率率 有關的信息。有關的信息。 顯然，一個顯然，一個“好好”的統(tǒng)計量應該能夠將樣本的統(tǒng)計量應該能夠將樣本中所包含的關于未知參數(shù)的信息全部提煉出來，中所包含的關于未知參數(shù)的信息全部提煉出來，而不沒有任何有用信息損失，這就是英國著名統(tǒng)而不沒有任何有用信息損失，這就是英國著名統(tǒng)計學家計學家Fisher于于19221922年提出的一個重要的概念年提出的一個重要的概念-充分統(tǒng)計量。充分統(tǒng)計量。 樣本樣本X1,X2,Xn 有一個樣本分布有一個樣本分布F (x)，這個，這個分布包含了樣本中一切有關分布包含了樣本中一切有關 的信息。統(tǒng)計量的信息。統(tǒng)計量T =T(X1

5、,X2,Xn) 也有一個抽樣分布也有一個抽樣分布F T(t) 。 當我們期望用統(tǒng)計量當我們期望用統(tǒng)計量T 代替原始樣本并且不代替原始樣本并且不損失任何有關損失任何有關 的信息時，也就是期望抽樣分布的信息時，也就是期望抽樣分布F T(t) 像像 F (x) 一樣概括了有關一樣概括了有關 的一切信息。的一切信息。 這即是說在統(tǒng)計量這即是說在統(tǒng)計量T 的取值為的取值為 t 的情況下的情況下樣本樣本 x 的條件分布的條件分布F (x|T=t) 已不含已不含 的信息，的信息，這正是統(tǒng)計量具有充分性的含義。這正是統(tǒng)計量具有充分性的含義。()(1),0,1, .kknknP n XkC ppkn 設設 nx

6、xx,21, ,為樣本觀測值，其中為樣本觀測值，其中0,1.ix 如果已如果已知知nkX 則樣本則樣本 nXXX,21的條件概率的條件概率 11221122(,)(,)()nnnnkPXxXxXxXnkPXxXxXxXnkPXn 112211(,),()0,nnniiniiP XxXxXxxkP n Xkxk如 果，如 果， 112211(,),()0,nnniiniiP XxXxXxxkP n Xkxk如 果，如 果， 1111(1),(1)0,nniiiixnxnikknkinniippxkCppxk如 果，如 果， 111,0 ,nikinniixkCxk如果，如果，與與 p 無關，所以

7、無關，所以 X為為 p 的充分統(tǒng)計量的充分統(tǒng)計量. 二、二、 因子分解定理因子分解定理 根據充分統(tǒng)計量的含義，在對總體未知參數(shù)進根據充分統(tǒng)計量的含義，在對總體未知參數(shù)進行推斷時，應在可能的情況下盡量找出關于未知參行推斷時，應在可能的情況下盡量找出關于未知參數(shù)的充分統(tǒng)計量。數(shù)的充分統(tǒng)計量。 但從定義出發(fā)來判別一個統(tǒng)計量是否是充分統(tǒng)但從定義出發(fā)來判別一個統(tǒng)計量是否是充分統(tǒng)計量是很麻煩的。計量是很麻煩的。 為此，需要一個簡單的判別準則。下面給出一為此，需要一個簡單的判別準則。下面給出一個定理個定理因子分解定理因子分解定理，運用這個定理，判別甚，運用這個定理，判別甚至尋找一個充分統(tǒng)計量有時會很方便。至

8、尋找一個充分統(tǒng)計量有時會很方便。 例例1.4 根據因子分解定理證明例根據因子分解定理證明例1.3。 證明證明 樣本的聯(lián)合分布律為樣本的聯(lián)合分布律為 niiNIixnxnnppxXxXxXP11)1(,2211 niixnppp1)1()1( 若取若取 niinxnxxxT1211),( 1),(21 nxxxh nTnnppppxxxTg)1()1();,(21 則有則有 nnxXxXxXP ,2211 );,(),(2121pxxxTgxxxhnn 由由 因因 子子 分分 解解 定定 理理 知知 ， niinXXnXXXT1211),(是是p的的充充 分分 統(tǒng)統(tǒng) 計計 量量 。 若取若取 n

9、iinxnxxxT1211),( niinxxxxh121!1),( nnTnexxxTg );,(21 則則 nnxXxXxXP ,2211 );,(),(2121 nnxxxTgxxxh 由由因因子子分分解解定定理理知知，XXXXTn ),(21是是 的的充充分分統(tǒng)統(tǒng)計計量量。 證明證明 樣本樣本),(21nXXX的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 證明證明 樣本的聯(lián)合分布密度為樣本的聯(lián)合分布密度為 niinxL122)(21exp)2(1)( niinnxnx122222221exp)2(1 );,(),(2121 nnxxxTgxxxh ， 其中1),(21 nxxxh， 而而);,(21

10、nxxxTg顯然是顯然是),(12 niixxT和和),(2 的函數(shù)。的函數(shù)。 三、完備統(tǒng)計量三、完備統(tǒng)計量 為了介紹完備統(tǒng)計量的概念，首先需要引入完備為了介紹完備統(tǒng)計量的概念，首先需要引入完備分布函數(shù)族的概念。分布函數(shù)族的概念。 完備統(tǒng)計量的含義不如充分統(tǒng)計量那么明確，但由完備統(tǒng)計量的含義不如充分統(tǒng)計量那么明確，但由定義可見它有如下特征：定義可見它有如下特征： 1)()(21 TgTgP ， )()(21TgETgE ， ， 但反之不成立，但反之不成立， 對于一般的統(tǒng)計對于一般的統(tǒng)計),(21nXXXTT ，總有，總有 設設)(Xg使得使得 nkknkknpppCnkgXgE00)1()(，

11、對一切，對一切10 p， 即即 01)1(0 kknnknppCnkgp，對一切，對一切10 p 或或 010 kknnkppCnkg，對一切，對一切10 p。 上式是關于上式是關于 pp1的多項式，對一切的多項式，對一切10 p要使多項式值要使多項式值為零， 只能是它的每項系數(shù)為零， 即為零， 只能是它的每項系數(shù)為零， 即), 2 , 1 , 0(0nknkg 。所以所以X是完備統(tǒng)計量。是完備統(tǒng)計量。 如果一個統(tǒng)計量既是充分的，又是完備的，如果一個統(tǒng)計量既是充分的，又是完備的，則稱為則稱為充分完備統(tǒng)計量充分完備統(tǒng)計量。在尋求總體分布中未知。在尋求總體分布中未知參數(shù)的優(yōu)良估計中，充分完備統(tǒng)計量扮演著重要參數(shù)的優(yōu)良估計中，充分完備統(tǒng)計量扮演著重要的角色。的角色。 四、指數(shù)型分布族四、指數(shù)型分布族與式（與式（1.9）比較有）比較有 neC )(， niinxxxxh121!1),(， niinxxnxxxT1211),(， ln)(nb 。 因此，樣