醫(yī)統(tǒng)：3-2正態(tài)分布及其應用

1、1正態(tài)分布及其應用正態(tài)分布及其應用Normal Distribution and its ApplicationsMedical statistics醫(yī)學統(tǒng)計學公共衛(wèi)生學院公共衛(wèi)生學院 趙華碩趙華碩Department of Public Health 2主要內(nèi)容主要內(nèi)容(Content)v隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布v正態(tài)分布的概念及圖形正態(tài)分布的概念及圖形v正態(tài)分布的特征正態(tài)分布的特征v正態(tài)分布曲線下面積的規(guī)律正態(tài)分布曲線下面積的規(guī)律v標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布v正態(tài)分布的應用正態(tài)分布的應用v總結(jié)總結(jié)3隨機變量v變量和隨機變量v變量取值的相對頻率說明了具有某個性質(zhì)的觀察對象的出現(xiàn)的可

2、能性。v隨機變量離散型：性別、血型、子女數(shù)、事故數(shù)連續(xù)型：身高、體重4例：密度函數(shù)和分布函數(shù)v拋兩枚硬幣，0.250.25AB0.25AB0.250.750.5PPPPPP兩 枚 均 正 面 朝 上兩 枚 均 反 面 朝 上正 面反 面 朝 上反 面正 面 朝 上至 少 有 一 枚 正 面 朝 上恰 好 有 一 枚 正 面 朝 上密度函數(shù)分布函數(shù)5例：密度函數(shù)和分布函數(shù)x6隨機變量的概率分布v概率函數(shù)（Probability Function)，或者說概率密度函數(shù)（Probability Density Function) 、密度函數(shù)。v在統(tǒng)計學中，我們說變量具有分布函數(shù)(Distributi

3、on Function)。用此函數(shù)的大小來說明變量取某些值的可能性。v當變量的取值包括了所有可能的取值時，分布函數(shù)為1。v當變量具備了以上兩個函數(shù)之后，稱它具有某種分布（Distribution)7正態(tài)分布的概念及圖形(a)(b)(d)(c)8正態(tài)分布的概念及圖形vNormal distributionvGauss發(fā)現(xiàn)v最早用于物理學、天文學vGaussian distribution9正態(tài)分布的概率密度函數(shù)v如果隨機變量X的概率密度函數(shù) 則稱X服從正態(tài)分布,記作XN(,2),其中， 為分布的均數(shù)， 為分布的標準差。Xf Xe22()21()2 (- X +) 10正態(tài)分布圖示x0.1.2.3

4、.4f(x)11方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示213312Xf Xe22()21()2 12均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示213312Xf Xe22()21()2 13正態(tài)分布的特征v單峰分布；高峰在均數(shù)處；v以均數(shù)為中心，均數(shù)兩側(cè)完全對稱。v正態(tài)分布有兩個參數(shù)(parameter)，即位置參數(shù)(均數(shù))和變異度參數(shù)(標準差)。v有些指標本身不服從正態(tài)分布，但經(jīng)過變換之后可以服從正態(tài)分布。v正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律。 14正態(tài)曲線下的面積規(guī)律正態(tài)曲線下的面積規(guī)律vX軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1 。v對稱區(qū)域面積相等。對稱區(qū)域面積相等。S(-, -X)S( +

5、X,)S(-, -X)15正態(tài)曲線下的面積規(guī)律v對稱區(qū)域面積相等。S( -x1, -x2)-x1 -x2 +x2 + x1S( -x1, -x2)= S( +x1, +x2)16正態(tài)曲線下的面積規(guī)律 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 - + +2 +3 S(- , -3 )=0.0013S(- , -2 )=0.0228S(- , -1 )=0.1587S(- , )=0.5S(- , +3 )=0.9987S(- , +2 )=0.9772S(- , +1 )=0.8413S(- , )=117正態(tài)曲線下的面積規(guī)律 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2

6、 - + +2 +3 1-S( -3 , +3 )=0.00261-S( -2 , +2 )=0.04561-S( - , + )=0.317418正態(tài)曲線下的面積規(guī)律 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 - + +2 +3 S(- , -3 )=0.0013S(- , -2 )=0.0228S(- , -1 )=0.1587S(- , )=0.5S(- , +3 )=0.9987S(- , +2 )=0.9772S(- , +1 )=0.8413S(- , )=119正態(tài)曲線下的面積規(guī)律v正態(tài)分布的一個顯著特點 其曲線下面積完全決定于以標準差為單位從點x到的離差。2023

7、1X2=-2X2X1=-1X1X3=-3X30.15870.15870.158721正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-1.96+1.962.5%2.5%95%22正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-1.64+1.645%5%90%23正態(tài)曲線下的面積規(guī)律-2.58+2.580.5%0.5%99%24正態(tài)曲線下的面積規(guī)律正態(tài)曲線下的面積規(guī)律v正態(tài)曲線下面積總和為正態(tài)曲線下面積總和為1；v正態(tài)曲線關于均數(shù)對稱；對稱的區(qū)域內(nèi)面積相等；正態(tài)曲線關于均數(shù)對稱；對稱的區(qū)域內(nèi)面積相等；v對任意正態(tài)曲線，按標準差為單位，對應的面積相等對任意正態(tài)曲線，按標準差為單位，對應的面積相等v -1.64 +1.64 內(nèi)面積為內(nèi)面積為90%；v

8、-1.96 +1.96 內(nèi)面積為內(nèi)面積為95%；v -2.58 +2.58 內(nèi)面積為內(nèi)面積為99%。next25S(-,2-1.101.5)？S(-,2-1.11.5)2S(-,-1.10)05 . 11 . 1 1 . 1問問 題題 的的 提提 出？出？26標準正態(tài)分布v標準正態(tài)分布(standard normal distribution)是均數(shù)為0，標準差為1的正態(tài)分布。v記為N(0,1)。v標準正態(tài)分布是一條曲線。v概率密度函數(shù)：uXe221()2 (- u +) 27正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布v若 XN(,2)，作變換： 則u服從標準正態(tài)分布。vu稱為標準正態(tài)離差(standard

9、normal deviation)Xu28標準正態(tài)分布曲線下面積(u) u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08-3.00.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.50.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.00.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.90.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.60.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.00.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.50.3085

10、 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 00.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.46810uback29正態(tài)分布的判定 許多統(tǒng)計方法都要求數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，在進行指標選擇和應用這些統(tǒng)計方法之前對數(shù)據(jù)進行正態(tài)分布的判定就顯得很有必要 v判定方法圖示法，正態(tài)性假設檢驗 30（一）圖示法 1. 直方圖 在樣本比較大時，可根據(jù)直方圖和對應正態(tài)概率密度曲線的形狀大致判斷資料是否服從正態(tài)分布，如圖3-1。 圖圖3-1 1403-1 140例疑診冠心病患者平例疑診冠心病患者平板運動后心率（次板運動后心率（次/ /分）的直方圖分）的直方圖312. P-P圖

11、和Q-Q圖 vP-P圖是指頻率-頻率圖（proportion-proportion plot，P-P圖），是以實際觀測值的累計頻率為橫軸，以正態(tài)分布的理論或期望累計概率為縱軸繪制散點圖；v Q-Q圖是指分位數(shù)-分位數(shù)圖（quantile-quantile plot，Q-Q 圖），是以實際觀測值的分位數(shù)（PX）為橫軸，以正態(tài)分布的理論或期望分位數(shù)為縱軸繪制散點圖，采用樣本均數(shù)和標準差估計正態(tài)分布的總體均數(shù)和標準差 32圖3-6 140例疑診冠心病患者平板運動后心率的P-P圖和Q-Q圖 33圖3-7 704名60歲以上居民體內(nèi)稀有元素硒含量的P-P圖和Q-Q圖34（二）檢驗法 可以根據(jù)偏度系數(shù)（c

12、oefficient of skewness）和峰度系數(shù)（coefficient of kurtosis）對資料的對稱性和正態(tài)峰進行檢驗，理論上，總體偏度系數(shù)為0為對稱，大于0為正偏態(tài)，小于0為負偏態(tài)；總體峰度系數(shù)等于0為正態(tài)峰，大于0為尖峭峰，小于0為平闊峰， 35圖3-8 偏度的形狀 圖3-9 峰度的形狀36正態(tài)分布的應用正態(tài)分布的應用v估計頻數(shù)分布估計頻數(shù)分布v確定臨床參考值范圍確定臨床參考值范圍37總結(jié)v正態(tài)分布是描述個體變異的重要分布之一，也是統(tǒng)計學理論中的重要分布之一；v正態(tài)分布是由兩個參數(shù)決定：均數(shù)和標準差；v正態(tài)分布曲線下的面積是有規(guī)律的，且與標準正態(tài)分布曲線下的面積對應(以標

13、準正態(tài)離差為單位)。38估計頻數(shù)分布v某市嬰兒出生體重均數(shù)某市嬰兒出生體重均數(shù)3200g，標準差為，標準差為s=350g。設該資料服從正態(tài)分布，試求該地。設該資料服從正態(tài)分布，試求該地低體重兒占該地所有出生嬰兒的比例。低體重兒占該地所有出生嬰兒的比例。（低體重兒標準：出生體重低于低體重兒標準：出生體重低于2500g2500g為低體重兒為低體重兒） 39首先計算標準離差：查標準正態(tài)分布表: (-2)=0.0228結(jié)果：估計低體重兒的比例為2.28%.250032002350u 40參考值范圍(reference interval)v參考值范圍又稱正常值范圍參考值范圍又稱正常值范圍(normal

14、range)。v什么是參考值范圍：什么是參考值范圍：是絕大多數(shù)正常人的某觀察指標所在的范圍。是絕大多數(shù)正常人的某觀察指標所在的范圍。vMost of the observations! 90%，95%，99%等等vNormal People!41v“正常人正常人”的定義：的定義：排除了影響所研究的指標的疾病和有關因素的同排除了影響所研究的指標的疾病和有關因素的同質(zhì)的人群。質(zhì)的人群。v確定參考范圍的意義：確定參考范圍的意義：用于判斷正常與異常。用于判斷正常與異常。42參考值范圍確定的原則參考值范圍確定的原則v選定足夠例數(shù)的同質(zhì)的正常人作為研究對象選定足夠例數(shù)的同質(zhì)的正常人作為研究對象 v控制檢測

15、誤差控制檢測誤差v判斷是否分組判斷是否分組(性別性別,年齡組年齡組) v單、雙側(cè)問題單、雙側(cè)問題 (one sided or two sided)v選擇百分界值選擇百分界值(90%,95%) v確定可疑范圍確定可疑范圍43參考值范圍的估計方法：正態(tài)分布法2.5%2.5%95%-1.96+1.9644參考值范圍的估計方法：百分位數(shù)法P2.5P97.545參考值范圍的估計方法 方法 雙側(cè) 單側(cè)下限單側(cè)上限正態(tài)分布法百分位數(shù)法 P2.5P97.5 P5 P95Xus/2 Xu s Xu s 46例：參考值范圍的計算v某地調(diào)查了200名成年女子的平均血清總蛋白為73.5(g/L)，標準差3.9 (g/L)，試估計該地成年女子血清總蛋白95的參考值范圍。由得95參考值范圍：下限： 1.96s=73.51.963.9=65.9(g/L)上限： 1.96s=73.51.963.9=81.1(g/L)