微分方程建模(楊起帆)

1、微分方程模微分方程模 型3.1 微分方程的幾個簡單實例微分方程的幾個簡單實例 在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數(shù)關(guān)系在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導出包含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的關(guān)系式較較為困難，但導出包含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題，為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題， 本節(jié)將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的本節(jié)將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學工具之一。用的數(shù)學工具之一。

2、 例例1 （理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微（理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。 從圖從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為中不難看出，小球所受的合力為mgsin，根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律可得：可得： sinmlmg 從而得出兩階微分方程：從而得出兩階微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（3.1）這是理想單擺應(yīng)這是理想單擺應(yīng)滿足的運動方程滿足的運動方程 （3.13.1）是一個兩階非線性方程，不是一個兩階非線性方程，不易求解。當易求解。當很小時，很小時，sin，此時，此時，可考察（可考察（3.1

3、3.1）的近似線性方程：）的近似線性方程： 00(0)0, (0)gl（3.2）由此即可得出由此即可得出2gTl （3.23.2）的解為）的解為: : (t)= 0cost gl其中其中 當當 時時,(t)=04Tt 42g Tl故有故有MQPmgl圖圖3-1 （3.13.1）的）的近似方程近似方程例例2 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為6060哩，潛水艇最哩，潛水艇最大航速為大航速為3030節(jié)而巡邏艇最大航速為節(jié)而巡邏艇最大航速為6060

4、節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。水艇。 這一問題屬于對策問題，較為復雜。討論以下簡單情形：這一問題屬于對策問題，較為復雜。討論以下簡單情形： 敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標已暴露后，立即下潛，并沿著直敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標已暴露后，立即下潛，并沿著直 線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 設(shè)巡邏艇在設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標，以處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，為極點，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為程為r=r()，見圖，見圖3-2。BAA1drdsd圖3-2由題意，由題意

5、， ，故，故ds=2dr2dsdrdtdt圖圖3-2可看出，可看出， 222()()()dsdrrd故有故有:2223()()drrd即即:3rdrd（3.3）解為：解為：3rAe（3.4） 先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離,然然后按后按（3.4）對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：追趕方法如下：例例3 一個半徑為一個半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開始時盛滿了的半球形容器內(nèi)開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為水，但由于其底部一個面積為Scm2的小孔在的小孔在t=0時刻時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總

6、共被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？需要多少時間？ 解解: 以容器的底部以容器的底部O點為點為 原點，取坐標系如圖原點，取坐標系如圖3.3所所示。令示。令h(t)為為t時刻容器中水的高度，現(xiàn)建立時刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的滿足的微分方程。微分方程。 設(shè)水從小孔流出的速度為設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學定律，在不計水，由力學定律，在不計水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：( )0.6 2tgh因體積守衡，又可得：因體積守衡，又可得： 2dVr dhs dt 易見：易見： 22()rRRh故有：故有： 2() 0.

7、62RRhdhSghdt220.62() ShgdhdtRRh 即：即： 這是可分離變量的一階微分方程，得這是可分離變量的一階微分方程，得 220() 0.62RRRhTdhSgh302(2)0.62RR hhdhSg53520224214350.6292RRRhhSgSgRxySO圖圖3-3hr例例4 一根長度為一根長度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為端的溫度恒為T1，另一端溫度恒為，另一端溫度恒為T2，（，（T1、T2為常數(shù)，為常數(shù)，T1 T2）。金屬桿橫截面積為）。金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長度為，截面的邊界長度為B，它

8、完全暴露在，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為空氣中，空氣溫度為T3，（，（T3釷釷234-24天天-釙釙234-6/5分分-鈾鈾234-257億年億年-釷釷230-8萬年萬年-鐳鐳226-1600年年-氡氡222-19/5天天-釙釙218-3分分-鉛鉛214-27分分-釙釙214-鉛鉛210-20年年-鉍鉍210-5天天-釙釙210-138天天-鉛鉛206（一種非放射性物質(zhì)）（一種非放射性物質(zhì)）注：時間均為半衰期注：時間均為半衰期 (2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷系中的各種

9、放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在地衰減，補充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于含量高于23%的。的。 簡化假定：簡化假定：本問題建模是為了鑒定幾幅不超過本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫

10、，為了使模型年的古畫，為了使模型盡可能簡單，可作如下假設(shè)：盡可能簡單，可作如下假設(shè)： (1)由于鐳的半衰期為由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過年，經(jīng)過300年左右，應(yīng)用微分年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個常數(shù)。假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個常數(shù)。 (2)鉛鉛210210的衰變?yōu)椋旱乃プ優(yōu)椋?鉛鉛210T=22年年釙釙210鉛鉛206T=138天天若畫為真品，顏料應(yīng)有若畫為真品，顏料應(yīng)有300年左右或年左右或300年以上的歷史，容易年以上的歷史，容易證

11、明：每克白鉛中釙證明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差的分解數(shù)（相差極微，已無法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳?，因釙的半衰期較短，極微，已無法區(qū)別）。可用前者代替后者，因釙的半衰期較短，易于測量易于測量 。建模：建模： (1)記提煉白鉛的時刻為記提煉白鉛的時刻為t=0，當時每克白鉛中鉛，當時每克白鉛中鉛210的分子的分子數(shù)為數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時間分解數(shù)相同?？梢酝扑愠霎敃r每克白鉛中鉛與鉛的單位時間分解數(shù)相同?？梢酝扑愠霎敃r每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于每分鐘分解數(shù)

12、不能大于30000個。個。0030000uUy若若20030000 60 24 3651.02 10uU則則（個）這些鈾約重這些鈾約重 20231.02 102380.046.02 10（克）即每克白鉛約含即每克白鉛約含0.040.04克鈾，含量為克鈾，含量為4% 4% 以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。于不能斷定畫一定是真品。 (2)設(shè)設(shè)t時刻時刻1克白鉛中鉛克白鉛中鉛210含量為含量為y(t)，而鐳的單位時間分，而鐳的單位時間分解數(shù)為

13、解數(shù)為r（常數(shù)），則（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：滿足微分方程： dyyrdt 由此解得：由此解得：00()()0( )1t tt try tey e00()()0( )1t tt tyy t er e故：故： 畫中每克白鉛所含鉛畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)目前的分解數(shù)y(t)及目前鐳的分及目前鐳的分解數(shù)解數(shù)r均可用儀器測出，從而可求出均可用儀器測出，從而可求出y0的近似值，并利用（的近似值，并利用（1）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。判斷這樣的分解數(shù)是否合理。Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大學的科學家們利用上述模型對部分有疑問大學的科學家們利用上述模型對部

14、分有疑問的油畫作了鑒定，測得數(shù)據(jù)如下（見表的油畫作了鑒定，測得數(shù)據(jù)如下（見表3-13-1）。）。 油畫名稱油畫名稱210210分解數(shù)（個分解數(shù)（個/ /分）分）鐳鐳226226分解數(shù)（個分解數(shù)（個/ /分）分）1 1、在埃牟斯的門徒、在埃牟斯的門徒 8.5 2 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看樂譜的女人、看樂譜的女人10.34 4、演奏曼陀琳的女、演奏曼陀琳的女人人70.175 5、花邊織工、花邊織工1.46 6、笑女、笑女6.0計算計算y0 （個（個/ /分）分）9805098

15、0501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 對對“在埃牟斯的門徒在埃牟斯的門徒”，y y0 09805098050（個（個/ /每克每分鐘），它必定是一每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（幅偽造品。類似可以判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是贗品。而（）也是贗品。而（5 5）和（）和（6 6）都不會是幾十年內(nèi)偽制品，因為放射性物質(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的都不會是幾十年內(nèi)偽制品，因為放射性物質(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀和二十世紀的任何作

16、品中。平衡不可能發(fā)生在十九世紀和二十世紀的任何作品中。 判定判定結(jié)果：結(jié)果： 利用放射原理，還可以對其他文物的年代進行測定。例利用放射原理，還可以對其他文物的年代進行測定。例如對有機物（動、植物）遺體，考古學上目前流行的測定如對有機物（動、植物）遺體，考古學上目前流行的測定方法是放射性碳方法是放射性碳14測定法，這種方法具有較高的精確度，測定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳性碳14（C14）。有

17、機物存活時，它們通過新陳代謝與外）。有機物存活時，它們通過新陳代謝與外界進行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的界進行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C14處于放射性平衡中。一旦有處于放射性平衡中。一旦有機物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，機物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對比測定，可以估計出它們生存的年代。例如，通過對比測定，可以估計出它們生存的年代。例如，1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)王朝字樣的木炭，經(jīng)測定，其測定，其C14衰減數(shù)為衰減數(shù)為4.09個個/每克每分鐘，而新砍伐燒成每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中的木炭中C14衰減數(shù)為

18、衰減數(shù)為6.68個個/每克每分鐘，每克每分鐘，C14的半衰期為的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于年，由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。年前。 例例6 6 新產(chǎn)品的推廣新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟學家和社會學家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速經(jīng)濟學家和社會學家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個數(shù)學模型來描述它，并由此析度問題。怎樣建立一個數(shù)學模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導生產(chǎn)呢？以下是第二次世界出一些有用的結(jié)果以指導生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。 設(shè)需求量有一個上界，并記此上界為設(shè)需

19、求量有一個上界，并記此上界為K，記，記t時刻已銷售出的時刻已銷售出的電飯包數(shù)量為電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為，則尚未使用的人數(shù)大致為Kx(t)，于是由統(tǒng)，于是由統(tǒng)計籌算律：計籌算律： ()dxx Kxdt記比例系數(shù)為記比例系數(shù)為k k，則則x(t)滿足：滿足： ()dxkx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解為：模型，解為： ( )1KktKx tCe還有兩個奇解還有兩個奇解: x=0和和x=K 對對x(t)求一階、兩階導數(shù)：求一階、兩階導數(shù)： 22( )(1)KktKktcK kex tCe323(1)( )(1)KktKktKktCK k eC

20、ex tCex(t)0，即，即x(t)單調(diào)增加。單調(diào)增加。令令x(t0)=0，有，有2)(0Ktx當當tt0時，時，x(t)單調(diào)減小。單調(diào)減小。在銷出量小于最大需求量的一在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半銷出量達到最大需求量的一半時，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷時，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。售速度將開始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有以廣告宣傳；從有20%20%用戶到有用戶到有80%80%用戶這段時期，應(yīng)該大批量用戶這段時期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣生產(chǎn)

21、；后期則應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效果。做可以取得較高的經(jīng)濟效果。 3.33.3 為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構(gòu)造數(shù)學模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多構(gòu)造數(shù)學模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？ 1 1、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星? ? （1 1）衛(wèi)星能在軌道上運動的最低速度）衛(wèi)星能在軌道上運動的最低速度 假設(shè)：假設(shè)：（i i） 衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星衛(wèi)星軌道為過地球中心

22、的某一平面上的圓，衛(wèi)星 在此軌道上作勻速圓周運動。在此軌道上作勻速圓周運動。 （iiii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi) 星的引力忽略不計。星的引力忽略不計。 分析：分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為: 2kmFr在地面有在地面有: :2kmmgR得得: : k=gR2 R R為地球半徑，為地球半徑，約為約為64006400公里公里 故引力故引力: : 2RFmgr假設(shè)(ii)dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心

23、力故又有故又有: :2mFr從而從而: :gRr設(shè)設(shè)g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，得，得: : 衛(wèi)星離地面高度衛(wèi)星離地面高度 ( (公里公里) )衛(wèi)星速度衛(wèi)星速度 ( (公里公里/ /秒秒) )100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推進力及速度的分析）火箭推進力及速度的分析 假設(shè)：假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計火箭重力及空氣阻力均不計 分析：分析：記火箭在時刻記火箭在時刻t的質(zhì)量和速度分別為的質(zhì)量和速度分別為m(t)和和(t) 2(

24、)( )()dmm ttm ttOtdt 有：有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數(shù)），（常數(shù)）， 由動量守恒定理：由動量守恒定理： 2( ) ( )() ()()( ( )dmm ttm tttttOttudt 0 0和和m m0 0一定的情況下，一定的情況下，火箭速度火箭速度(t)(t)由噴發(fā)由噴發(fā)速度速度u u及質(zhì)量比決定。及質(zhì)量比決定。 ddmmudtdt 故：故：由此解得：由此解得：00( )ln( )mtum t( (3.11) ) （2 2）火箭推進力及速度的分析）火箭推進力及速度的分析 現(xiàn)將火箭現(xiàn)將火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：衛(wèi)星系統(tǒng)

25、的質(zhì)量分成三部分： （i）mP（有效負載，如衛(wèi)星）（有效負載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量（結(jié)構(gòu)質(zhì)量如外殼、燃料容器及推進器）。如外殼、燃料容器及推進器）。 最終質(zhì)量為最終質(zhì)量為mP + mS ，初始速度為，初始速度為0，所以末速度：所以末速度：lnOPSmumm根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，能，u只能達到只能達到3公里公里/秒，即使秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過超過6.6公里公里/秒。秒。 目前根本不目前根本不可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進力在加速整個火箭時，其火

26、箭推進力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)實際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中量在燃料燃燒過程中不斷減少，那不斷減少，那么末速度能達到要求嗎？么末速度能達到要求嗎？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假設(shè)：假設(shè)： 記結(jié)構(gòu)質(zhì)量記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在在mS + mF中占的比例為中占的比例為，假設(shè)，假設(shè)火箭能隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以火箭能隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以與（與（1-）的比例同時減少。）的比例同時減少。 建模建模: : 由由 2( ) ( )()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tttttutOtdtdt 得到：得到：(1)dm

27、dmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln( )mtum t 理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP， 所以最終速度為：所以最終速度為： 0(1)lnPmum只要只要m0足夠大，我們可足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度。具有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估考慮到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星要使要使=10.5公里公里/秒才行，則可推秒才行，則可推算出

28、算出m0/ mp約為約為51,即發(fā)射一噸重即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要的衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火噸重的理想火箭箭 3 3、理想過程的實際逼近、理想過程的實際逼近多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級數(shù)為記火箭級數(shù)為n，當?shù)冢數(shù)趇級火箭的燃料燒盡時，第級火箭的燃料燒盡時，第i+1級級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第i級火箭。用級火箭。用mi表表示第示第i級火箭的質(zhì)量，級火箭的質(zhì)量，mP表示有效負載。表示有效負載。 先作如下假設(shè)：先作如下假設(shè)： （i）設(shè)各級火箭具有相同的）設(shè)各級火箭具有相同的 ,即即i級火箭中級火箭中mi為結(jié)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（構(gòu)質(zhì)量，（

29、1-）mi為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。 （ii）設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負載質(zhì)量之比保持不變，設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為并記比值為k k。 考慮二級火箭：考慮二級火箭： 由由3.11式，當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為：式，當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為： 12212lnPPmmmummm當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為：當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為： 2122222122lnlnPPPPPPmmmmmmmuummmmmmm該假設(shè)有點強加該假設(shè)有點強加的味道，先權(quán)作的味道，先權(quán)作討論的方便吧討論的方便吧又由假設(shè)（又由假設(shè)（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上

30、式，代入上式，仍設(shè)仍設(shè)u=3公里公里/秒，且為了計算方便，近似取秒，且為了計算方便，近似取=0.1，則可，則可得：得： 1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，則應(yīng)使秒，則應(yīng)使: 10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm類似地，可以推算出三級火箭：類似地，可以推算出三級火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同樣假設(shè)下在同樣假設(shè)下: : 33113ln9ln0.110.11kkkk要使要使3=10.5

31、公里公里/秒，則秒，則(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。 三級火箭比二級火箭三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半幾乎節(jié)省了一半 是否三級火箭就是最省是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進對四級、五級等火箭進行討論。行討論。考慮考慮N N級火箭：級火箭： 記記n級火箭的總質(zhì)量（包含有效負載級火箭的總質(zhì)量（包含有效負載mP）為）為m0 ，在，在相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的m0/ mP的值，見表的值，見表3-2n（級數(shù)）（級數(shù)）1 2 3 4 5 （理想）（理想） 火

32、箭質(zhì)量（噸）火箭質(zhì)量（噸）/ 149 77 65 60 50表3-2由于工藝的復雜性及每節(jié)火箭由于工藝的復雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進器，所以使都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最算的，三級火箭提供了一個最好的方案。好的方案。當然若燃料的價錢很便宜當然若燃料的價錢很便宜而推進器的價錢很貴切且而推進器的價錢很貴切且制作工藝非常復雜的話，制作工藝非常復雜的話，也可選擇二級火箭。也可選擇二級火箭。4 4、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計 3 3中已經(jīng)能說過假設(shè)中已經(jīng)能說過假設(shè)(ii)(ii)有點強加的味道；現(xiàn)去掉該有點強加的

33、味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)，在各級火箭具有相同假設(shè)，在各級火箭具有相同的粗糙假設(shè)下，來討論火箭的粗糙假設(shè)下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計。結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計。 W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mPWn= mn+ mPWn+1= mP記記應(yīng)用（應(yīng)用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度： 1212231lnnnnnWWWumWmWmW1121,nnnWWkkWW記記112121ln1111nnnnnWWWWuWWWW則則11211 21231nnnWWWWk kkWWWW又又問題化為，在問題化為，在n一定的條件下，求使一定的條件下，求使k1 k2kn最小最小 1ln(1)(1)nnk

34、kukk解條件極值問題：解條件極值問題： 12121min. .(1)(1)nnnk kkk kkstCkk或等價地求解無約束極值問題：或等價地求解無約束極值問題： 12121min(1)(1)nnnk kkk kkaCkk可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計應(yīng)滿足：可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計應(yīng)滿足： 12nkkk火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計討論火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計討論中我們得到與假設(shè)（中我們得到與假設(shè)（ii）相符的結(jié)果，這說明前相符的結(jié)果，這說明前面的討論都是有效的！面的討論都是有效的！3.43.4 藥物在體內(nèi)的分布藥物在體內(nèi)的分布 何為房室系統(tǒng)？何為房室系統(tǒng)？ 在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種在用微分方程研究實際問

35、題時，人們常常采用一種叫叫“房室系統(tǒng)房室系統(tǒng)”的觀點來考察問題。根據(jù)研究對象的特的觀點來考察問題。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€相互存在著某種體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。 房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室中考察對象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部房室中考察對象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換交

36、換”且交換滿足著總量且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來研究另一問題。法來研究另一問題。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布 藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認為是與藥物當前的藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認為是與藥物當前的濃度成正比的，即：濃度成正比的，即： dxkxdt出藥物分布的單房室模型藥物分布的單房室模型 單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時刻單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時刻都

37、是均勻分布的，設(shè)都是均勻分布的，設(shè)t時刻體內(nèi)藥物的總量為時刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種；系統(tǒng)處于一種動態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：動態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式： dxdxdxdtdtdt入出 藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來研究一下在幾種常關(guān)。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。 機體環(huán)境藥物總量( )x tdxdt入dxdt出圖3-8 假設(shè)藥物均勻分布情況情況1 1 快速靜脈注射快速靜脈注射機體環(huán)境( )x tdxdt出(0)xD只輸出不輸入房室其解為：其解為：( )ktx tDe藥物

38、的濃度：藥物的濃度： ( )ktDc teV 與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學上將血漿藥物濃度衰減一半所需與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時間稱為藥物的血漿半衰期：的時間稱為藥物的血漿半衰期： 12ln2tk負增長率的Malthus模型 在快速靜脈注射時，總量為在快速靜脈注射時，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機體的體積為設(shè)機體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：滿足微分方程： 0(0)dxk

39、xdtxD（3.12） 情況情況2 2 恒速靜脈點滴恒速靜脈點滴 機體環(huán)境( )x tdxdt出(0)0 x恒定速率輸入房室0Kdtdx藥物似恒速點滴方式進入體內(nèi)，即藥物似恒速點滴方式進入體內(nèi)，即: : 0dxKdt則體內(nèi)藥物總量滿足：則體內(nèi)藥物總量滿足： 0dxkxKdt（x(0)=0） （3.13） 這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為：這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為： 0( )(1)ktKx tek0( )(1)ktKC teVk或或易見易見：0lim( )KC ttVk 稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度 對于多次點滴，設(shè)點滴時間為對于多次點滴，設(shè)點滴時間為T1，兩次點滴之間的間隔時，兩次點滴之間的間

40、隔時間設(shè)為間設(shè)為T2，則在第一次點滴結(jié)束時病人體內(nèi)的藥物濃度可由上則在第一次點滴結(jié)束時病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后式得出。其后T2時間內(nèi)為情況時間內(nèi)為情況1 1。故：。故：0( )(1)ktKC teVk（第一次） 0tT1 11()0( )(1)kTk t TKC teeVkT1tT1 +T2 類似可討論以后各次點滴時類似可討論以后各次點滴時的情況，區(qū)別只在初值上的的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點滴起，患者不同。第二次點滴起，患者 體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。 情況情況3 3 口服藥或肌注口服藥或肌注 y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機體外部藥物 口服藥

41、或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，物雖然瞬間進入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記，即若記t時刻殘留藥時刻殘留藥物量為物量為y(t)，則，則y滿足：滿足： 1(0)dyk ydtyD D為口服或肌注藥物總量 因而：因而：1( )k ty tDe11(0)k tdxkxk DedtxD所以：所以：

42、解得：解得：111( )()k tktk Dx teekk111( )()()k tktk DC teeV kk從而藥物濃度：從而藥物濃度： 圖圖3-93-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同。時間也不盡相同

43、。圖3-9 我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C C( (t t) )，當然也，當然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，也不難根容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。 新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過較長時間的基礎(chǔ)研究、小新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過較長時間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗、專業(yè)機構(gòu)評審及臨床研究。當一種新藥品、新疫量試制、中間試驗、專業(yè)機構(gòu)評審及臨床研究。當一種新藥品、新疫苗研制出來后，研究人員必須用大量實驗搞清它是否真的有用

44、，如何苗研制出來后，研究人員必須用大量實驗搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時參考。在實驗中研究人員使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時參考。在實驗中研究人員要測定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特要測定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時間及給點找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗據(jù)估計最少也需要數(shù)年時間。在藥次數(shù)等），這些研究與試驗據(jù)估計最少也需要數(shù)年時間。在2003年春夏之交的年春夏之交的SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希

45、望醫(yī)藥部門能趕快（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療拿出一種能治療SARS的良藥或預防的良藥或預防SARS的有效疫苗來，但這只能的有效疫苗來，但這只能是一種空想。是一種空想。SARS的突如其來，形成了的突如其來，形成了“外行不懂、內(nèi)行陌生外行不懂、內(nèi)行陌生”的的情況。國內(nèi)權(quán)威機構(gòu)一度曾認為這是情況。國內(nèi)權(quán)威機構(gòu)一度曾認為這是“衣原體衣原體”引起的肺炎，可以用引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實上，抗生素類藥物對抗生素控制和治療。但事實上，抗生素類藥物對SARS的控制與治療的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅持絲毫不起作用。以鐘南山院士

46、為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅持認為認為SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個月后（是病毒感染引起的肺炎，兩個月后（4月月16日），世界衛(wèi)日），世界衛(wèi)生組織正式確認生組織正式確認SARS是冠狀病毒的一個變種引起的非典型性肺炎是冠狀病毒的一個變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認并非是由權(quán)威機構(gòu)定義的，而是經(jīng)對猩猩的多次實驗（注：這種確認并非是由權(quán)威機構(gòu)定義的，而是經(jīng)對猩猩的多次實驗證實的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預防證實的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預防的辦法當然就更困難了，企圖幾個月解決問題注定只能是一種不切實的辦法當然就更困難了，企圖幾個月解決問題

47、注定只能是一種不切實際的幻想。際的幻想。 上述研究是將機體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故上述研究是將機體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機體事實上并不是這樣。藥物進入血被稱單房室模型，但機體事實上并不是這樣。藥物進入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個部位，又通過交液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進入各個器官。因此，要建立更接近實際情況的數(shù)學模換進入各個器官。因此，要建立更接近實際情況的數(shù)學模型就必須正視機體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，型就必須正視機體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k

48、21兩房室系統(tǒng)圖3-10 圖圖3-103-10表示的是一種常見的兩房室模型，表示的是一種常見的兩房室模型，其間的其間的k k1212表示由室表示由室I I滲透到室滲透到室IIII的變化率前的變化率前的系數(shù)，而的系數(shù)，而k k2121則表示由室則表示由室IIII返回室返回室I I的變化的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當用實驗測定，使之盡可能地接近實其值應(yīng)當用實驗測定，使之盡可能地接近實際情況。際情況。 當差異較大的部分較多當差異較大的部分較多時，可以類似建立多房時，可以類似建立多房室系統(tǒng)，即室系統(tǒng)，即N N房室系統(tǒng)房室系統(tǒng)hy3.53.

49、5 傳染病模型傳染病模型 傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。 醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳時，醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳

50、時，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明。相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明。 問題的提出：問題的提出： 設(shè)某地區(qū)共有設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時刻共有人，最初時刻共有i人得病，人得病，t時刻已時刻已感染（感染（infective）的病人數(shù)為）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單，假定每一已感染者在單位時間內(nèi)將疾病傳播給位時間內(nèi)將疾病傳播給k個人（個人

51、（k稱為該疾病的傳染強度），稱為該疾病的傳染強度），且設(shè)此疾病既不導致死亡也不會康復且設(shè)此疾病既不導致死亡也不會康復模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫(yī)學上有一定的參考價值，但隨著時間的的病人增長情況，在醫(yī)學上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。推移，將越來越偏離實際情況。 已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對

52、每一類中的個體則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。 ( )odikidti oi則可導出：則可導出：故可得：故可得： ( )ktoi ti e（3.15） 模型模型2 記記t時刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)時刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別分別為為i(t)與與s(t)，初始時刻的病人數(shù)為，初始時刻的病人數(shù)為 i。根據(jù)病人不死也不會。根據(jù)病人不死也不會康復的假設(shè)及（競爭項）統(tǒng)計籌算律，康復的假設(shè)及（競爭項）統(tǒng)計籌算律， 1oooicni 其中：其中：(1)(1)(1)( )1k ntok ntoc nei tc e解得：解得：（3.17）( )( )1

53、( )odikisdti ts tni oi可得：可得：（3.16） 統(tǒng)計結(jié)果顯示，統(tǒng)計結(jié)果顯示，(3.17)(3.17)預報結(jié)果比預報結(jié)果比(3.15)(3.15)更接近實際情況。醫(yī)學上稱曲線更接近實際情況。醫(yī)學上稱曲線 為傳染病為傳染病曲線，并稱曲線，并稱 最大值時刻最大值時刻t1為此傳染病的流行為此傳染病的流行高峰。高峰。ditdtdidt220d idt令：令：1ln(1)octk n 得：得：此值與傳染病的實際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學上的預報公式。 模型模型2 2仍有不足之處，它仍有不足之處，它無法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)無法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當時間趨與無窮時，象，且當時間趨與無窮

54、時，模型預測最終所有人都得模型預測最終所有人都得病，與實際情況不符。病，與實際情況不符。 為了使模型更精為了使模型更精確，有必要再將確，有必要再將人群細分，建立人群細分，建立多房室系統(tǒng)多房室系統(tǒng)infectiverecoveredsusceptiblekl (1) (2)( )( )( )1 (3), ( )0odiksilidtdrlidts ti tr tni(o)i r o（3.18） l 稱為傳染病恢復系數(shù) 求解過程如下：求解過程如下： 對（對（3）式求導，由（）式求導，由（1）、（）、（2）得：）得： dskdrksisdtldt ( )( )kr tlos ts e解得：解得：記：

55、記： lk則：則：1( )( )r tos ts e 將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染者和已恢復者（者和已恢復者（recovered）。分別記）。分別記t時刻的三類人數(shù)時刻的三類人數(shù)為為s(t)、i(t)和和r(t)，則可建立下面的三房室模型：，則可建立下面的三房室模型： 模型模型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得： didsdsdslidtdtdts dt 從而解得：從而解得：1( )( )( )( )ln( )( )1( )( )ooor tos ti tiss tss t

56、s er tni ts t 積分得：積分得：( )( )( )lnooos ti tiss ts（3.19） 不難驗證，當t+時，r(t)趨向于一個常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。 為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改寫成：）式改寫成： ()diki sdt 其中其中 通常是一個與疾病種類有關(guān)的通常是一個與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。較大的常數(shù)。kl下面對下面對 進行討論，請參見右圖進行討論，請參見右圖0didt如果如果 ，則有，則有 ，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來。，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來。os如果如果 ，則開始時，則開

57、始時 ，i(t)單增。但在單增。但在i(t)增加的同增加的同時，時，伴隨地有伴隨地有s(t)單減。當單減。當s(t)減少到小于等于減少到小于等于 時，時， i(t)開始減開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。小，直至此疾病在該地區(qū)消失。os0didt鑒于在本模型中的作用，鑒于在本模型中的作用， 被被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。的閥值。 的引入解釋了為什的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。的所有人。圖3-14 綜上所述，模型綜上所述，模型3 3指出了傳染病的以下特征：指出了傳染病的以下特征： （1 1）當人群中有人得了某種傳染病時，此

58、疾病并不一定流）當人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定流傳，僅當易受感染的人數(shù)與超過閥值時，疾病才會流傳起來。傳，僅當易受感染的人數(shù)與超過閥值時，疾病才會流傳起來。 （2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為缺少傳播者才停止傳播的，否則將導致所有人得病。缺少傳播者才停止傳播的，否則將導致所有人得病。 （3 3）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。 模型檢驗：模型檢驗： 醫(yī)療機構(gòu)一般依據(jù)醫(yī)療機構(gòu)一般依據(jù)r(t)來統(tǒng)計疾病的波及人數(shù)來統(tǒng)計疾病的波及人數(shù) ，從廣義上，從廣義上理解，理解，r(t)為為t時

59、刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復還是死亡對時刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復還是死亡對模型并無影響。模型并無影響。(1)drlinrsdt rloSS e及：及：注意到：注意到：可得可得：(1)rodrl nrs edt （3.20） 通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有：一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有： r211()2rrre 代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：2112oooSSdrrl nSrdt 積分得：積分得：21( )1tanh()2ooS

60、r tmmltS 其中：其中：1222(1)1oooSS nSm 11tanh1oSm這里雙曲正切函數(shù)這里雙曲正切函數(shù) ：tanhuuuueeuee2222()()4tanh()()uuuuuuuudeeeeudueeee而：而：對對r(t)求導求導 ：2221sec22odrlmhmltdtS（3.21）曲線曲線 2221sec22odrlmhmltdtS在醫(yī)學上被稱為疾病傳染曲線。在醫(yī)學上被稱為疾病傳染曲線。圖圖3-14給出了（給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實際登錄數(shù)進行比較擬合得最優(yōu)曲線。實際登錄數(shù)進行比較擬合得最優(yōu)曲線。 圖3-14（a）