圓錐曲線高考?？碱}型

1、圓錐曲線高考常考題型：一、 基本概念、基本性質(zhì)題型二、 平面幾何知識與圓錐曲線基礎(chǔ)知識的結(jié)合題型三、 直線與圓錐曲線的相交關(guān)系題型（一） 中點(diǎn)、中點(diǎn)弦公式（二） 弦長（三） 焦半徑與焦點(diǎn)三角形四、 面積題型（一） 三角形面積（二） 四邊形面積五、 向量題型（一） 向量數(shù)乘形式（二） 向量數(shù)量積形式（三） 向量加減法運(yùn)算（四） 點(diǎn)分向量（點(diǎn)分線段所成的比）六、 切線題型（一） 橢圓的切線（二） 雙曲線的切線（三） 拋物線的切線七、最值問題題型 （一）利用三角形邊的關(guān)系 （二）利用點(diǎn)到線的距離關(guān)系一、基本概念題型：主要涉及到圓錐曲線定義、焦點(diǎn)、焦距、長短軸、實(shí)虛軸、準(zhǔn)線、漸近線、離心率等基本概念知

2、識的考查。例1：已知橢圓的焦距為2，準(zhǔn)線為，則該橢圓的離心率為 例2：已知雙曲線方程的離心率為，則漸近線方程為 例3：已知雙曲線方程為，則雙曲線離心率取值范圍為 例4：已知拋物線方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為 例5：已知橢圓C：上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為 ，到右準(zhǔn)線的距離為 例6：已知雙曲線M：上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為2，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為 二、平面幾何知識與圓錐曲線基本知識的結(jié)合。該考點(diǎn)主要涉及到平面幾何知識中的中位線、中垂線、角平分線定理，射影定理、勾股定理、余弦定理 、相似三角形、三角形四心性質(zhì)、等腰梯形、直角梯形性質(zhì) 、圓的性質(zhì)、長度和坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換等當(dāng)然還會涉及圓錐曲

3、線基本知識，包括定義、基本概念、基本性質(zhì)。例1：過三點(diǎn)，的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則（ ）A2 B8 C4 D10設(shè)點(diǎn)M（,1），若在圓O:上存在點(diǎn)N，使得OMN=45，則的取值范圍是_.已知點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的兩焦點(diǎn)，若,則橢圓的離心率為 例2：已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，M(2，0),PM為的角平分線，則= 例3：已知P為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的交點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，,則 例4：已知為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（),為等角三角形，則橢圓的離心率為 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，M F1與 軸垂直，sin ,則E的離心率為（A） （B） （C） （D）2已知A，B為雙

4、曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ）A B C D例5：已知橢圓方程為，點(diǎn)A為橢圓右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的中垂線經(jīng)過右焦點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍為 例6：已知（-c，0）、(c,0)為橢圓C:的左右焦點(diǎn)，若在直線存在一點(diǎn)P使得線段的中垂線經(jīng)過,則橢圓離心率的取值范圍為 例7：已知斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)且與y軸的交點(diǎn)為A，若OAF的面積為4，則拋物線方程為 三、直線與圓錐曲線（一）直線與圓錐曲線相交，中點(diǎn)，中點(diǎn)弦公式1、直線與圓錐曲線相交，即有兩個(gè)交點(diǎn)，一般設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，方程有兩個(gè)根，以下三點(diǎn)

5、需注意： 聯(lián)立時(shí)，直線一般采用斜截式，將y用kx+m替換，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)然也可以將x用y的表達(dá)式替換，得到關(guān)于y的一元二次方程； 聯(lián)立得到的一元二次方程中，暗含了一個(gè)不等式，； 我們很少需要求解，一般通過韋達(dá)定理得到的值 或者表達(dá)式。2、兩交點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)：M()=（聯(lián)立、韋達(dá)定理）=3、中點(diǎn)弦公式：（所謂中點(diǎn)弦公式是直線與圓錐曲線相交時(shí)，兩交點(diǎn)中點(diǎn)與弦所在直線的關(guān)系，一般不聯(lián)立方程，而用點(diǎn)差法求解）橢圓：焦點(diǎn)在x軸上時(shí) 直線與橢圓相交于點(diǎn)A、B設(shè)點(diǎn)A(),B()A、B在橢圓上 則 即 -得： 即 則 （其中M為A、B中點(diǎn)，O為原點(diǎn)）同理可以得到當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，即橢圓方程為當(dāng)直線

6、交橢圓于A、B兩點(diǎn)，M為A、B中點(diǎn)則用文字描述：直線AB的斜率與中點(diǎn)M和原點(diǎn)O所成直線斜率的乘積等于下的系數(shù)比上下的系數(shù)的相反數(shù)。例：已知直線x+y-=0過橢圓C:的右焦點(diǎn)且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且直線OP的斜率為，求橢圓方程。雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線方程：同理，焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線方程：例：已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(-12,-15),則E的方程為( )（A） （B） （C） （D）已知、為雙曲線E：的左右頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則= 是雙曲線：上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線的斜率之積為

7、.（I）求雙曲線的離心率；（II）過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上的一點(diǎn)，滿足，求的值.拋物線焦點(diǎn)在x軸上，拋物線方程：同理，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線方程：例：已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為（2，2），則直線的方程為_.（二）弦長1、弦長的一般形式設(shè)A(),B()弦長= = 橢圓弦長 雙曲線弦長 相切條件：聯(lián)立圓錐曲線方程與直線方程，消掉x或者y達(dá)到關(guān)于y或者x的一元二次方程，用韋達(dá)定理表示出，代入弦長公式即可。例：已知直線y=x-1與雙曲線C：交于A、B兩點(diǎn)，求例2：已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上

8、，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.（I）當(dāng)t=4，時(shí)，求AMN的面積；（II）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.2、過焦點(diǎn)的弦長過焦點(diǎn)的弦長一般處理成兩部分焦半徑的和（利用第二定義求解） 坐標(biāo)形式焦半徑（已知圓錐曲線上一點(diǎn)P（） 橢圓焦半徑 雙曲線焦半徑 利用第二定義：到焦點(diǎn)的距離與到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比為離心率求解得出 角度形式焦半徑 3.焦點(diǎn)三角形 ， 隨著x的增大先增大后減小，在上頂點(diǎn)處取得最大值 例：已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 當(dāng)點(diǎn)p在橢圓外時(shí)， 當(dāng)點(diǎn)p在橢圓上時(shí)， 當(dāng)點(diǎn)p在橢圓內(nèi)時(shí)， 例：已知P為

9、橢圓C：上的點(diǎn)，、為橢圓的左右焦點(diǎn)，若為直角三角形，則滿足條件的P點(diǎn)有 個(gè) 已知、為橢圓C: 的左右焦點(diǎn)，若只能在橢圓內(nèi)部找到一點(diǎn)P使得=120，則橢圓離心率的取值范圍為 設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為（ ）A. B. C. D. 已知F1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，,則P到x軸的距離為A、 B、 C、 D、4、拋物線的特殊特征在計(jì)算弦長的過程中，我們需要聯(lián)立方程，對于拋物線而言，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)特殊的規(guī)律：當(dāng)直線經(jīng)過拋物線對稱軸上一個(gè)定點(diǎn)與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)無論直線斜率如何改變，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積

10、為一個(gè)確定的常數(shù)。，M為對稱軸上一點(diǎn)(),過M做直線交拋物線與A、B兩點(diǎn)，令A(yù)、B(），求x 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)， 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB為聯(lián)立得則（AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)隨著斜率絕對值的增大而減?。?總之 即時(shí)，過() 時(shí)，過 例：過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，,且,則 設(shè)拋物線=2x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C，=2，則BCF與ACF的面積之比= 延伸：在拋物線對稱軸上存在定點(diǎn)（2p，0）,使得以過該點(diǎn)與拋物線相交的弦為直徑的圓過原點(diǎn)。張占龍：過拋物線上一點(diǎn)P做兩條相互垂直的直線分別于拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的連線恒過()四、面積（一

11、）三角形面積直線與圓錐曲線相交，弦和某個(gè)定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積處理方法：一般方法：（其中為弦長，d為頂點(diǎn)到直線AB的距離） =（直線為斜截式y(tǒng)=kx+m） =特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著x軸或者y軸拆分成兩個(gè)三角形，不過在拆分的時(shí)候給定的頂點(diǎn)一般在x軸或者y軸上，此 時(shí)，便于找到兩個(gè)三角形的底邊長。 例：已知橢圓C:，直線y=x+1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),求OAB的面積。例2：已知過拋物線交點(diǎn)F的動(dòng)直線交拋物線與A、B兩點(diǎn)，P（2,0），求PAB面積的取值范圍。四邊形面積在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見的情況是四邊形的兩對角線相互垂直，此時(shí)我們借助棱形面積公式，四邊形面積

12、等于兩對角線長度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，此時(shí)可以拆分成兩個(gè)三角形，借助三角形面積公式求解。例1：平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓M:右焦點(diǎn)F的直線l交與A,B兩點(diǎn)，C,D為M上的兩點(diǎn)，且CDAB，（1）若直線CD過點(diǎn)（0,1），求四邊形ABCD的面積（2）求四邊形ACBD面積的最大值例2：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且ACBD，垂足為P，求四過形ABCD的面積的最小值。例3：已知橢圓C：，過點(diǎn)（）做兩條相互垂直的直線交橢圓于A、C、B、D四個(gè)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的取值范圍。例4：設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂

13、點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值五、 向量在這里我們用到的基本都是向量的坐標(biāo)運(yùn)算，包括向量的加減、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算，以及用向量翻譯直線垂直，角度的大小、面積等問題。（一） 向量的數(shù)乘形式：（符號代表方向相同或相反數(shù)值表示兩向量模的大小關(guān)系）（1）常見處理方法：利用相似三角形找出或者（可正可負(fù)），利用構(gòu)建，聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解） 根據(jù)相似三角形找出點(diǎn)的坐標(biāo)帶入求解例1：已知直線與x軸交于點(diǎn)M，與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且,求橢圓的離心率。例2：已知拋物線的準(zhǔn)線為，過且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為若，則 已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，

14、,則斜率k為 .已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)焦點(diǎn)，若，則= 例3：過雙曲線的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線交雙曲線的兩條漸近線分別于B、C兩點(diǎn)，且,則雙曲線的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、例4、設(shè),分別是橢圓C:的左,右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.（2）特殊處理方法：利用第二定義求解 例1：已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)若，則( )(A)1 （B） （C） （D）2已知斜率為的直角過橢圓C：的右焦點(diǎn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且,橢圓

15、的離心率為 。 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，且，則的離心率為 。 例2：已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若,則的離心率為 .w.w.k.s.5.u.c.o.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若,則的離心率 m 例3：已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)設(shè)，則與的比值等于 2過拋物線的焦點(diǎn)F做斜率為直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且，則 （二） 向量的數(shù)量積形式兩種處理方式：幾何運(yùn)算形式： 代數(shù)坐標(biāo)形式：例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓 的右焦點(diǎn)，直線 與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且 ,則該橢圓的離心率是 . 已知斜率為2

16、的直線交拋物線與A、B兩點(diǎn),M（2,0），求的取值范圍。例2：已知過橢圓上焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，M為橢圓的右頂點(diǎn)，當(dāng)AMB為鈍角時(shí)，求直線l斜率的取值范圍。 例3：橢圓有兩頂點(diǎn)A(-1，0)、B(1，0)，過其焦點(diǎn)F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q(I)當(dāng)|CD | = 時(shí)，求直線的方程；(II)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證： 為定值例4：已知直線l過雙曲線左焦點(diǎn)交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，滿足，求直線l的斜率。（三） 向量的加減法運(yùn)算向量加法的平行四邊形法則，一般用來進(jìn)行幾何翻譯 例：已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)

17、軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過點(diǎn)，延長線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由向量加減法的代數(shù)坐標(biāo)運(yùn)算 例1：已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求，的值；（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？例2：是雙曲線：上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線的斜率之積為.（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上的一點(diǎn)，滿足，求的值.16. 已知橢

18、圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與=（3，-1）共線（1）求橢圓的離心率（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且證明：為定值（四）點(diǎn)分線段（向量）所成的比點(diǎn)P分向量所成的比為，即: 例：已知點(diǎn)P分向量所成的比為-2，則點(diǎn)A分向量所成的比。已知點(diǎn)分向量所成的比，同時(shí)知道向量起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，求解點(diǎn)P的坐標(biāo)。已知：點(diǎn)P分向量所成的比為解：令P(x,y) 點(diǎn)P分向量所成的比為則 即 即故P的坐標(biāo)為（，） 例：設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)，求的值。六、 切線不管是哪一種圓錐曲線的切線，其本質(zhì)都是圓錐曲線與直

19、線只有一個(gè)交點(diǎn)，即聯(lián)立圓錐曲線方程與直線方程所得到的一元二次方程有且僅有一個(gè)根，即，相信這對于大家來說都不是問題，在這里我們對圓錐曲線的切線做一些總結(jié)，以方便大家在最短的時(shí)間內(nèi)解決題目。（一）橢圓的切線：在點(diǎn)P()處的切線方程為過橢圓外一點(diǎn)Q（）可以做橢圓的兩條切線，兩切點(diǎn)所在的直線方程為直線與橢圓相切時(shí)，滿足例：已知P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的最小值與最大值。（二）雙曲線的切線：在點(diǎn)P()處的切線方程為過橢圓外一點(diǎn)Q（）可以做橢圓的兩條切線，兩切點(diǎn)所在的直線方程為直線與橢圓相切時(shí)，滿足（三）拋物線的切線： 上某點(diǎn)P（）的切線斜率為,點(diǎn)P()，則切線方程為 ，即，通過觀察我們知道:與x軸的

20、交點(diǎn)為，切線與x軸的截距為切點(diǎn)處橫坐標(biāo)的一半，與y軸的交點(diǎn)為，在y軸上的截距為切點(diǎn)縱坐標(biāo)的相反數(shù)。 A（），B（）均在拋物線上，請推證A、B處兩切線及其兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)。 A點(diǎn)處切線 B點(diǎn)處切線兩條切線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（）我們發(fā)現(xiàn)：i、兩切線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為兩個(gè)切點(diǎn)的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)ii、根據(jù)前面弦長知識點(diǎn)可知，直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)滿足：(為直線與對稱軸的截距)，那么我們得到：兩切線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)()與直線與對稱軸的截距互為相反數(shù) 延伸一：過拋物線對稱軸上一點(diǎn)(0,b)做直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別做拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)Q，通過幾何畫板作圖我們發(fā)現(xiàn)：不論直線繞P(0,b)如何旋轉(zhuǎn)，

21、兩切線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為-b證明：令過P的直線為，聯(lián)立 得設(shè)A點(diǎn)處切線, B點(diǎn)處切線則兩條切線的焦點(diǎn)坐標(biāo)Q（）證 畢延伸二、過點(diǎn)Q（）做拋物線的兩條切線分別切拋物線于點(diǎn)A、B，直線AB與y軸的截距為-b斜率切點(diǎn)弦方程為：對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，求切線一般聯(lián)立方程，利用求解。需要需注意的是：過拋物線外一點(diǎn)做與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條：除了兩條切線之外還有一條與x軸平行（即斜率為0的直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)。例1: 在拋物線上取橫坐標(biāo)為，的兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 例2： 已知拋物線C：y=(x+1)2與圓M：（x-1）2+()2=r2(r0)有一個(gè)公共點(diǎn)，且在A處兩曲線的切線為同一直線l