八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)

1、數(shù)學(xué)英才=中考+名校自主招生+競賽英才成長之路你希望成為英才嗎？請從這里出發(fā)?。ò四昙壟鄡?yōu)專題）全等三角形2過關(guān)練習(xí)13角平分線的性質(zhì)142、全等三角形及其應(yīng)用253、等腰三角形344、用提公因式法把多項式進行因式分解435、運用公式法進行因式分解466、用分組分解法進行因式分解547、用十字相乘法把二次三項式分解因式608、因式分解小結(jié)669、分式的概念、分式的基本性質(zhì)7210、分式的運算7611、公式變形與字母系數(shù)方程8212、分式方程及其應(yīng)用8713、分式總復(fù)習(xí)9314、如何做幾何證明題101初中數(shù)學(xué)競賽專題輔導(dǎo) 根式及其運算112初中數(shù)學(xué)競賽專題輔導(dǎo) 幾何不等式124八年級數(shù)學(xué)競賽綜合

2、訓(xùn)練01134八年級數(shù)學(xué)競賽綜合訓(xùn)練02137八年級數(shù)學(xué)競賽綜合訓(xùn)練03140八年級數(shù)學(xué)競賽綜合訓(xùn)練04143八年級數(shù)學(xué)競賽綜合訓(xùn)練05147八年級數(shù)學(xué)競賽綜合訓(xùn)練06150八年級數(shù)學(xué)競賽綜合訓(xùn)練07152八年級數(shù)學(xué)競賽綜合訓(xùn)練08155全等三角形1.1全等三角形重要知識點點撥對應(yīng)邊，對應(yīng)角以及對應(yīng)線段的理解；（初學(xué)時注意書寫）全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角對應(yīng)線段相等，運用這個性質(zhì)，幫助尋找全等三角形的邊與角，為解決問題提供條件。精典例題例1，如圖，ABNACM，B和C是對應(yīng)角，AB與AC是對應(yīng)邊。寫出其他對應(yīng)邊及對應(yīng)角。例2. 如圖，若ABCDEF，回答下列問題：（1）若ABC的周長為17 cm

3、，BC=6 cm，DE=5 cm，則DF = cm（2）若A =50°，E=75°，則B= 例3. 如圖：RtABC中， A=90°，若ADBEDBEDC，則C= 過關(guān)練習(xí)如圖，是對應(yīng)角。（1）,寫出其他對應(yīng)邊及對應(yīng)角(2),BD與CE相等嗎?相等嗎?為什么?2. 如圖所示，若OADOBC,O=65°,C=20°,則OAD= . 3.如圖EFGNMH,F和M是對應(yīng)角.在EFG中，F(xiàn)G是最長邊. 在NMH中，MH是最長邊.EF=2.1,EH=1.1,HN=3.3. （1）寫出其他對應(yīng)邊及對應(yīng)角.（2）求線段MN及線段HG的長. 1.2三角形全等的

4、條件(SSS)重要知識點點撥（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形 ，簡寫為“ ”或“ ”、用數(shù)學(xué)語言表述：在ABC和中, ABC ( )(2)，三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，在找對應(yīng)邊的過程中，要善于觀察圖形中有些線段要通過加或減或者尋找公共邊，轉(zhuǎn)化為要證明的兩個三角形的條件，要善于利用全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角以及對應(yīng)線段相等解決問題。精典例題例1如圖，ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連結(jié)點A與BC中點D的支架求證：ABDACD證明：D是BC = 在 和 中AB= BD= AD= ABD ACD( )溫馨提示：證明的書寫步驟：準備條件：證全等時需要用的間接條件要先證好；三角形全等書寫三步驟：A、

5、寫出在哪兩個三角形中，B、擺出三個條件用大括號括起來，C、寫出全等結(jié)論。例2、如圖，OAOB，ACBC. 求證：AOCBOC.、例3 尺規(guī)作圖。已知：AOB. 求作：DEF,使DEF=AOB、例4,AB=AC,D是BC的中點，DEAC于E,DFAB于F.求證BDF=CDE過關(guān)練習(xí)1、如圖，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求證：ABC ADE。2、已知：如圖，AD=BC,AC=BD. 求證：OCD=ODC3、下列說法中，錯誤的有（ ）個（1）周長相等的兩個三角形全等。（2）周長相等的兩個等邊三角形全等。（3）有三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（4）有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等A、1 B、2

6、 C、3 D、44.如圖，點B、E、C、F在同一直線上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，請將下面說明ABCDEF的過程和理由補充完整。解：BE=CF （_）BE+EC=CF+EC即BC=EF在ABC和DEF中 AB=_ （_） _=DF（_） BC=_ ABCDEF （_）5如圖，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，則EFD=BCA，請說明理由。6.如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC的中點，點E在AD上，找出圖中全等的三角形，并說明它們?yōu)槭裁词侨鹊? 7如圖，AD=BC，DE=BF，AF=CE。求證：DEBF8如圖，AB=DE，AC=DF，B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，請?zhí)硪粋€條

7、件，使 ABDE，并說明理由9，如圖，AB=CD，AD=BC，B=450，求BAD的度數(shù)。1.2三角形全等的判定（SAS）1、兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“ ”或“ ”2兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。必須滿足對應(yīng)相等的角必須是對應(yīng)相等的兩邊的夾角，否則兩個三角形不一定全等精典例題例1、如圖，在ABC中，B=2C,AD是ABC的角平分線，1=C,求證AC=AB+CE例3例4如圖，已知BD，CE是ABC的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB。試說明AP=AQ，且APAQ。過關(guān)練習(xí)1，如圖，已知CA=CB,AD=BD,M、N分別是CA、CB的

8、中點，求證：DM=DN2，AB=AE，BD=EC，BCE=800，求BDE的度數(shù)3，如圖，在ABC中，D是BC的中點，DEDF試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由4、如圖，已知OA=OB,應(yīng)填什么條件就得到AOCBOD(允許添加一個條件) 5如圖，在ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE，連結(jié)BC，DE。試判BC，DE斷線段的數(shù)量關(guān)系，并證明6，如圖，在ABC中，D是AB上一點，E是AC的中點，連DE，并延長DE至F，使DE=EF，AB與CF有何位置關(guān)系？并說明理由11.2三角形全等的判定(ASA、AAS)精典例題1、例1、如下圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC，

9、B=C求證：AD=AE例2已知：點D在AB上，點E在AC上， BEAC, CDAB,AB=AC，求證：BD=CE例3，在ABC中，BAC=900,AB=AC,BE平分ABC,CEBE.求證；CE=BD點撥：要證明CE=BD，有兩種思路，一是將CE延長一倍，證明延長后的線段等于BD;二是取BD的中點，證明它的一半等于CE,觀察圖形，若取BD的中點，則難以用上已知條件。故采用延長的辦法來證明。例4，在ABC中，ACB =900,BC=AC, BECD. ADCD請找出圖中一對全等三角形并證明點撥，首先觀察圖中哪些三角形可能會全等，然后再找條件，ACD與CBE可能會全等例5；在直角三角形ABC中，A

10、CB =900，BAC的角平分線交BC于D,CEAB于點E,交AD于點F，取BG = CD,連接FG,求證：FGAB 點撥 ，證要FGAB，可以先證明B=FGC,也可以證明CFG=900，構(gòu)造一個與CFG全等的三角形，可以考慮作DPAB過關(guān)練習(xí)1、如圖，在ABC中，B=2C,AD是ABC的角平分線，1=C,求證AC=AB+CE3滿足下列哪種條件時,就能判定ABCDEF ( )A. AB=DE,BC=EF, AE; B. AB=DE,BC=EF, CFA F C D12EBC. AE,AB=EF, BD; D. AD,AB=DE, BE4.如圖所示,已知AD,12,那么要得到ABCDEF,還應(yīng)給

11、出的條件是:( )A. BE B.ED=BCC. AB=EF D.AF=CD4，已知,如圖ADAB,ACAE,AD=AB,C=E,求證：DCBE5，如圖,點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB延長線上一點，且EAAF,證明:F=AED6.如圖,已知點C在線段AB上，在AB的同側(cè)作等邊三角形ACM和BCN,連接AN,BNMBN=380.求ANB的大?。?08）7.ABC中, BAC=900，AB=AC,D為AC的中點，AEBD,垂足為F,延長AF交BC于E.求證：ADF=CDE8，ABC中, BAC=900，AB=AC，AFBD,點D在AC邊上，點F在BC邊上，且1=2, 求證；AD=C

12、D11.2三角形全等的判定（HL）判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫：HL）強調(diào) 1. HL只對直角三角形適用. 2. 判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SSS，SAS，ASA，AAS，HL. 首選HL，再選其它方法.3.在使用HL判定時、直角邊分別對應(yīng)相等，如果是“有兩邊對應(yīng)相等的兩個直角”就不一定全等，如在直角ABC中，與直角DEF中，AB=EF,AC=DF,顯然直角ABC與直角DEF就不全等。精典例題例1，在RtABC和RtABD中，AB為斜邊，BC,AD相交于點E，AE=BE.求證BAC=ABD例2，過四邊形ABCD的頂點C作CEAB,CFAD,交AD的延長線

13、與F，且有CE=CF,2AE=AB+AD,求，ABC+ADC的度數(shù)BAC=ABD思路點撥：要證BAC=ABD，則要證BCEDCF.那么還要找一組對應(yīng)角相等或一組對應(yīng)邊相等，從已知來看，線段相等的較多，故可從對應(yīng)邊相等入手。過關(guān)練習(xí)1、如圖，ABC中，AB=AC，AD是高，則ADB與ADC （填“全等”或“不全等” ）根據(jù) （用簡寫法）2、判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（ ）A、兩條直角邊對應(yīng)相等 B、斜邊和一銳角對應(yīng)相等C、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等 D、兩個銳角對應(yīng)相等3、如圖，B、E、F、C在同一直線上，AFBC于F，DEBC于E，AB=DC，BE=CF，你認為AB平行于CD嗎？說說

14、你的理由答：AB平行于CD理由： AFBC，DEBC （已知） AFB=DEC= °（垂直的定義）BE=CF，BF=CE在Rt 和Rt 中 （ ） = （ ） （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）4.如圖1，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DEAC于E點，BFAC于F點，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M點。（1）求證：MB=MD,ME=MF;(2)當E、F兩點移動至圖2所示的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？若成立，給予證明。 5如圖，CEAB，DFAB，垂足分別為E、F，（1）若AC/DB，且AC=DB，則ACEBDF，根據(jù) （2）若AC/DB，且AE=BF，則ACEBDF

15、，根據(jù) （3）若AE=BF，且CE=DF，則ACEBDF，根據(jù) （4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。則ACEBDF，根據(jù) （5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），則ACEBDF，根據(jù) 角平分線的性質(zhì) 定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。 定理：到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上。 如上圖：在P在OC上，PDOA，PEOB條件下，當，反之：。 總之：角的平分線是到角兩邊距離相等的點的集合，不在角平分線上的點到兩邊距離一定不等。 例1. 求證：三角形三條內(nèi)角平分線交于一點。 已知：中，AD、BE、CF為的角平分線。 求證：AD、BE、CF交于一點。 證明：設(shè)AD、BE交于

16、點I，過點I作IPAB于P，IQBC于Q，IRCA于R。 AD平分BAC（已知） IPIR（角平分線上的點到角兩邊距離相等） 同理：IPIQ IQIR（等量代換） IQCB，IRCA，IQIR 點I在BCA的平分線上 （到角兩邊距離相等的點在角的平分線上） 即點I在CF上 AD、BE、CF交于一點I。 注：I叫做的內(nèi)心 例2. 已知：如圖，四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD，且BD180°。 求證：BCCD。 證明：過C作CEAD于E，CFAB于F AC平分BAD CECF（角平分線上的點到角兩邊距離相等） BADC180°（已知） CDEADC180°（鄰補

17、角定義） BCDE 又CFAB CFB90° 同理，CED90° CFBCED 在中， 例3， 已知：中，ABAC，A90°，BE是ABC的平分線，CDBE于D。 求證：BE2CD 證明：延長CD交BA延長線于F 在中， 即 同理， 在中， BE2CD（等量代換）過關(guān)練習(xí),1， 已知：中，BD平分ABC，CBAC，DEAB于E，AB6cm。 求：的周長。2， 已知：如圖，ABAC，AD平分BAC，E在AD上，EFBD于F，EGCD于G。 求證：EFEG3，. 已知中，D、E、F分別在三邊上（如圖），DF平分BDE，EF平分DEC。 求證：AF平分BAC專題輔導(dǎo)全等

18、三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線

19、段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE. 應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE

20、，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由二、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2、如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD3、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,AD

21、CD，BD平分，求證： 5、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC應(yīng)用：三、平移變換例1 AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.例2 如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.應(yīng)

22、用：1、如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù)

23、. 例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為 ；應(yīng)用：1、已知四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證當繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）2、（西城09年一模）已知:PA=

24、,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當APB=45°時,求AB及PD的長;(2)當APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.1)1)3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)

25、論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示） 2、全等三角形能力拓展【知識精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點?；ハ嘀睾系倪吔袑?yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，記作 “ABCABC其中，“”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；4. 尋找對應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對應(yīng)頂點找如果兩個

26、三角形全等，那么，以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點為端點的邊是對應(yīng)邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應(yīng)頂點的字母都寫在對應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（3）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過下列各種運動而形成的。翻折 如圖（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA

27、繞著點O旋轉(zhuǎn)180°得到的；平移 如圖（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問題：（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應(yīng)相等；（2）不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應(yīng)相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識?！痉?/p>

28、類解析】全等三角形知識的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等 例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ACDABE，而BF和FC分別位于DBF和EFC中，因此先證明ACDABE，再證明DBFECF，既可以得到BF=FC.證明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形對應(yīng)角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD分析

29、：要證ABCD，需證CA，而要證CA，又需證ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.顯然證明ABFCDE條件已具備，故可先證兩個三角形全等，再證CA,進一步證明ABCD.證明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90° （垂直的定義）在ABF與CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形對應(yīng)角相等) ABCD （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在 ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和C

30、E. 求證：CD=2CE分析：()折半法：取CD中點F，連接BF，再證CEBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個條件。證明：取CD中點F，連接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位線定理） ACB2 (兩直線平行內(nèi)錯角相等)又 AB=AC ACB3 （等邊對等角） 32在CEB與CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形對應(yīng)邊相等）即CD=2CE （）加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等) BFAC (內(nèi)錯角相等兩直線平行) ACB+CBF=180o,

31、ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的補角相等）在CFB與CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE說明：關(guān)于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點F，連BF(如圖)（B為AD中點是利用這個辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出

32、的結(jié)論正確。通過觀察，可以猜測：AO=BC，AOBC.證明：延長AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等） AODCOE （對頂角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考點撥：例1如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結(jié)ED，并延長ED到點F，使DFDE，連結(jié)FC求證：FA分析：證明兩個角相等，常證明這兩個角所在的兩個三角形全等，在已知圖形中A、F不在全等的兩個三角形中，但由已知可證得EFAC，因此把A通過同位角轉(zhuǎn)到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可

33、證明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA說明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對項角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯角等相等的關(guān)系。例2 如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED 分析：把已知條件標注在圖上，需構(gòu)造和AEC全等的三角形，因此過D點作DFAC交BE于F點，證明AECFED即可。證明：過D點作DFAC交BE于F點 ABC為等邊三角形 BFD

34、為等邊三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中， AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形對應(yīng)邊相等）題型展示：例1 如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，構(gòu)造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需證DEBE問題便可以解決證明：在AB上截取AEAC，連結(jié)DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一

35、種是截長法（即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AEAC是利用了角平分線是角的對稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補短法（即延長一條短線段等于長線段，再證明延長的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，實際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點考查的內(nèi)容【實戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（B）有兩邊對應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個等腰三角形全等（C）有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（D）有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角

36、形全等2. 已知：如圖，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CD交于點O，且AO平分BAC求證：OBOC3. 如圖，已知C為線段AB上的一點，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：DCEF是等邊三角形。4.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線求證：AD<(AB+AC) 5. 如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點，AECD于E，BFCD交CD的延長線于F，CHAB于H點，交AE于G求證：BDCG【試題答案】1. D2.證明： AO平分ODB，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CE交于點O， ODOE，ODB

37、OEC90°, BODCOE。 BODCOE（ASA）OBOC3. 分析 由ÐACM=ÐBCN=60°，知ÐECF=60°，欲證DCEF是等邊三角形，只要證明DCEF是等腰三角形。先證DCANDMCB，得Ð1=Ð2.再證DCFNDCEB，即可推得DCEF是等邊三角形的結(jié)論。證明：在DCAN和DMCB，AC=MC，CN=CB，ÐCAN=ÐMCB=120°，DACNDMCB中， ÐFCB和DCEB中，ÐFCN=ÐECB=60°，Ð1=

38、08;2，CN=CB，DCFNDCEB，CF=CE，又ÐECF=60°， DCEF是等邊三角形.4. 分析： 關(guān)于線段不等的問題，一般利用在同一個三角形中三邊關(guān)系來討論，由于AB、AC、AD不在同一個三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個三角形中，也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來完成，注意AD是BC邊上的中線，延長AD至E，使DEAD，即可得到ACDEBD證明：延長AD到E，使DEAD，連結(jié)BE在DACD與DEBD中 DACDDEBD（SAS） ACEB（全等三角形對應(yīng)邊相等）在DABE中，ABEBAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD（等

39、量代換） 說明：一般在有中點的條件時，考慮延長中線來構(gòu)造全等三角形。5.分析：由于BD與CG分別在兩個三角形中，欲證BD與CG相等，設(shè)法證CGEBDF。由于全等條件不充分，可先證AECCFB證明：在RtAEC與RtCFB中，ACCB，AECD于E，BFC交CD的延長線于FAECCFB90°又ACB90° CAE90°ACEBCF RtAECRtCFBCEBF在RtBFD與RtCEG中，F(xiàn)GEC90°，CEBF，由FBD90°FDB90°CDHECG， RtBFDRtCEG BDCG3、等腰三角形【知識精讀】（）等腰三角形的性質(zhì) 1.

40、有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個角相等以及

41、兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。） 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點。 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、

42、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時需要作頂角的平分線，有時則需要作高或中線，這要視具體情況來定?！痉诸惤馕觥?例1. 如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。 分析：欲證M是BE的中點，已知DMBC，所以想到連結(jié)BD，證BDED。因為ABC是等邊三角形，DBEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從

43、而問題得證。 證明：因為三角形ABC是等邊三角形，D是AC的中點 所以1ABC 又因為CECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點 （等腰三角形三線合一定理）例2. 如圖，已知：中，D是BC上一點，且，求的度數(shù)。 分析：題中所要求的在中，但僅靠是無法求出來的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時圖形中三個等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來求。 解：因為，所以 因為，所以； 因為，所以（等邊對等角） 而 所以 所以 又因為 即 所以 即求得 說明1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的

44、重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點在后邊的解題中將進一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對等角”是對同一個三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。 例3. 已知：如圖，中，于D。求證：。 分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。 證明：過點A作于E， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因為 又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 說明： 1. 作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線

45、合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2. 對線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長補短”或“倍長中線”等輔助線的添加方法，對角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型： 1.如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個 分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個，故選擇C。 2.）已知：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點，DEAB

46、，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 證明：因為，所以 又因為 所以 又D是BC的中點，所以 所以 所以，所以 說明：證法二：連結(jié)AD，通過 證明即可5、題形展示： 例1. 如圖，中，BD平分。求證：。 分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計算可以得出。 證明一：在BC上截取，連結(jié)DE、DF 在和中， 又 而 即分析二：如圖，可以考慮延長BD到E，使DEAD，這樣BDAD=BD+DE=BE，只需證明BEBC，由于，只需證明易證，故作的角平分線，則有，進而證明，從而可證出。 證明二：延長BD到E，使DEAD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。 由證明一知： 則有 DF平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中，