第二型曲線積分

1、§2 第二型曲線積分教學(xué)目的與要求：掌握第二型曲線積分的定義和計算公式.教學(xué)重點：第二型曲線積分的定義和計算.教學(xué)難點：第二型曲線積分的計算公式.教學(xué)過程一、第二型曲線積分的定義:（一）、力場沿平面曲線從點A到點B所作的功:一質(zhì)點受變力F(x,y)的作用沿平面曲線運動,當質(zhì)點從之一端點A移動到另一端B時,求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果質(zhì)點受常力 F的作用沿直線運動, 位移為s.那末這個常力所做功為 W=|F|s|cos, 其中|F|.|s|分別表示向量(矢量)的長度,為F與S的夾角.現(xiàn)在問題的難度是質(zhì)點所受的力隨處改變，而所走路線又是彎彎曲曲.怎么辦呢?還是用折線逼近曲線和

2、局部一常代變的方法來解決它(微分分析法).為此,我們對有向曲線作分割,即在AB內(nèi)插入n-1個分點與A=一起把曲線分成n個有向小曲線段(i=1,2,n),以記為小曲線段的弧長.設(shè)力F(x,y)在x軸和y軸方向上的投影分別為 P(x,y)與Q(x,y),即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,由于 記和=()從而力F(x,y)在小曲線段上所作的功=P()+Q (),其中()為小曲線段上任一點,于是力F沿C(AB)所作的功可近似=當時,右端積分和式的極限就是所求的功,這種類型和式極限計算上述形式的和式上極限,得 , 即 .（二）、穩(wěn)流場通過曲線 ( 從一側(cè)到另一

3、側(cè) ) 的流量: 解釋穩(wěn)流場. ( 以磁場為例 ).設(shè)有流速場. 求在單位時間內(nèi)通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的流量E . 通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為.（三）、第二型曲線積分的定義:設(shè)P,Q為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線C上的函數(shù),對任一分割T,它把C分成n個小弧段,I=1,2,3,n;記,弧長為, ,I=1,2,3,n.又設(shè) (),若極限lim+lim存在且與分割T與界點()的取法無關(guān),則稱此極限為函數(shù)P,Q有線段C上的第二類曲線積分,記為或,也可以記為或.注:(1)若記f(x,y)=(P(x,y),Q(x,y) ,ds=(dx,dy)則上述記號可寫成向量形式:(2)倘若C為光滑或分

4、段光滑的空間有向連續(xù)曲線,P,Q,R為定義在C上的函數(shù),則可按上述辦法定義沿有向曲線C的第二類曲線積分,并記為.按這一定義 , 有力場沿平面曲線從點A到點B所作的功為.流速場在單位時間內(nèi)通過曲線AB從左側(cè)到右側(cè)的總流量E為.第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性 . 對二型曲線積分有,因此, 定積分是第二型曲線積分中當曲線為X軸上的線段時的特例.可類似地考慮空間力場沿空間曲線AB所作的功. 導(dǎo)出空間曲線上的第二型曲線積分.（四）、第二型曲線積分的性質(zhì): 第二型曲線積分可概括地理解為向量值函數(shù)的積累問題 . 與我們以前討論過的積分相比, 除多了一層方向性的考慮外, 其余與以前的積累問題是一樣的,

5、 還是用Riemma的思想建立的積分 . 因此 , 第二型曲線積分具有(R )積分的共性 , 如線性、關(guān)于函數(shù)或積分曲線的可加性 . 但第二型曲線積分一般不具有關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性 , 這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較大小, 另一方面向量值函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關(guān).(1)線性性 設(shè)C為有向曲線,存在, 則則存在,且.(2)可加性:設(shè)存在,存在,且.注: (1)平面上光滑閉曲線如何規(guī)定方向呢?此時無所謂”起點”終點”,若為封閉有向線段,則記為(2) 設(shè)C是C的反向曲線(即C和C方向相反),則=-即是說第二類曲線積分與曲線的方向有關(guān)(注意第一類曲線積分表達示是函數(shù)f與弧

6、長的乘機,它與曲線C的方向無關(guān)),這是兩種類型曲線積分的一個重要差別.二、第二型曲線積分的計算:曲線的自然方向: 設(shè)曲線L由參數(shù)式給出. 稱參數(shù)增大時曲線相應(yīng)的方向為自然方向.設(shè)L為光滑或按段光滑曲線 , L : .A, B; 函數(shù)和在L上連續(xù), 則沿L的自然方向( 即從點A到點B的方向)有. (證略)注：起點參數(shù)值作下限，終點參數(shù)值作上限例1計算,其中分別沿以下路線從點到點,）直線；）拋物線：；）三角形周界解 ）直線:，故=）拋物線：，=）三角形周界：=+=+=注：這里沿不同路徑積分值不同，而沿封閉曲線的值不為0例2計算，這里：）沿拋物線從到：I） 沿拋物線；）沿直線段：；）沿封閉曲線解）沿拋物線從到：=）沿直線段：，=注：這里不同路徑積分值相同）沿封閉曲線：=+=注：由于這里不同路徑積分值相同，造成沿封閉曲線的值為0。空間曲線時有：設(shè)有空間光滑曲線：起點為，終點為則有：=注：仍為起點參數(shù)作下