導(dǎo)數(shù)難題(含答案)

1、、單項(xiàng)選擇題1. 可導(dǎo)函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù)為f' x , f 02022，假設(shè)對(duì)任意的x R，都有f x f' x ,那么不等式f x 2022ex的解集為11A. 0,B. 2,C. ,D. ,0ee2. 定義在R上的偶函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù)為f x，且當(dāng)x 0,xf x 2f x 0.那么丨f e f 2f e f 3f e f 2A.2B. 9f3 f 1C.2D.24e9e4e3.fx為定義在0,上的可導(dǎo)函數(shù)，且f xxf' x恒成立，2 1那么不等式x f -f x 0x的解集為【: A. 1,B.,1C. 2,D.,2、解答題4 .函數(shù)f xax2 Inx a R

2、1討論f x的單調(diào)性;2假設(shè)存在x 1,f x a，求a的取值范圍5 設(shè)函數(shù) f xx2 ax 2 x2 x lnx 1當(dāng) a 2時(shí)，討論函數(shù) f x 的單調(diào)性；2假設(shè)x 0, 時(shí)，f x 0恒成立，求整數(shù)a的最小值.1 a6.函數(shù) f x x alnx, g xa R .x假設(shè)a 1，求函數(shù)f x的極值；設(shè)函數(shù)h x f x g x，求函數(shù)h x的單調(diào)區(qū)間；假設(shè)在區(qū)間1,e e 2.71828 上不存在x°，使得f怡 g x0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍7函數(shù) f x 1當(dāng) a 0時(shí)， 2假設(shè)函數(shù) fx a lnx,a R .求函數(shù) f x 的極小值；x在0, 上為增函數(shù)，求a的取值范

3、圍8函數(shù) f x2xx ax a e 1討論f x的單調(diào)性;求m的取值2假設(shè)a 0,2 ,對(duì)于任意捲必 4,0 ,都有f X!f x24e 2 mea恒成立,范圍參考答1. A【解析】令g x因此 f x2022ex0,g 020222022g x -,g 0x 0，選 A.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造構(gòu)造f x輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法那么進(jìn)行：如fx f x構(gòu)造g x ， f x f x 0構(gòu)造exf xg x e f x ， xf x f x 構(gòu)造 g x， xf x f x 0 構(gòu)造 g x xf x 等x2. D【解析】根據(jù)題意，設(shè)

4、g X=x2f X，其導(dǎo)數(shù) g'x=x2 丨f x+x2?fx=2xf x+x2?fx=x2fx+xfx, 又由當(dāng) x > 0 時(shí)，有 2fx+xfx<0 成立，那么數(shù) g'x=x2f x+xf x<0 ,那么函數(shù)g乂在0 , +上為減函數(shù)，假設(shè) gx=x2fx，且 fx為偶函數(shù)，貝V g-x=-x2f-x=x2fx=gxf e f 2即g x為偶函數(shù)，所以g e g 2 即廠 因?yàn)閒 x為偶函數(shù)，所以f 2 f 24 ef e f 2所以4 e2應(yīng)選D點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)gx并分析g x的

5、單調(diào)性與奇偶性.3. Af xxf x f x【解析】令g x，那么gx2xxf xxf xxfx f xxf xf x0，即 卩 g x0在0,上恒成立xg x在0,上單調(diào)遞減2 1 x ff x0x上1fxf x剛1，即 g - gx1xx 1 x，即 x 1 x應(yīng)選A點(diǎn)睛：此題首先需結(jié)合條件構(gòu)造函數(shù)，然后考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性和 函數(shù)值的大小關(guān)系，判斷自變量的大小關(guān)系1 14. 1f x在0-上遞增，在， 上遞減 ；2屆屆【解析】試題分析:對(duì)函數(shù)f x求導(dǎo)，再根據(jù) a分類討論，即可求出f x的單調(diào)性；2丨將f x a化簡(jiǎn)得Inx0 ,再根據(jù)定義域x 1,，對(duì)a分類

6、討論，a 0時(shí)，滿足題意,a 0時(shí)，構(gòu)造gInx，求出g x的單調(diào)性，可得 g x的最大值，即可求出 a的取值范圍試題解析：1f2a1 2ax20時(shí),所以fx在0,上遞增,0時(shí)，令f x_1_2a0，得x1°，亦；令f x10 ,得 x一:J2a所以102a1上遞增，在亠辰'2得a x21 Inx 0 ,因?yàn)閤1, ，所以 Inx 0,x21 0 ,0時(shí),1 Inx0滿足題意,1當(dāng)a 時(shí)，設(shè)g x22a x 1 Inx(x 1), g x2 ax2 1x所以g x在1,上遞增，所以g xg 10，不合題意,11當(dāng)0 a 時(shí)，令g x 0,得x2V2a1，令 g x 0,得 1

7、,V2a所以gmaxg 10，那么 x 1,g x 0 ,綜上，a的取值范圍是點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原那么一般涉及求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，比擬容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對(duì)于恒成立問題一般要?jiǎng)e離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對(duì)于含有不等式的函數(shù) 問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比擬多，需要多加體會(huì)5. (1) fX遞增區(qū)間為0,1， 1 , +X，遞減區(qū)間為丄，1；(2)1.2 2【解析】試題分析：1求出函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

8、2問題轉(zhuǎn)化為a>x-2 x-1lnx恒成立，令g x=x-2 x-1Inx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可.試題解析:1由題意可得f x的定義域?yàn)?，+8，當(dāng) a=2 時(shí)，f x= - x2+2x+2 x2 - xInx，丄所以 f 'x= - 2x+2+22x - 1Inx+2 x2 - x？> =4x - 2Inx，由 f x> 0 可得：4x - 2Inx > 0，r4x-2<0或lnx<0£解得 x> 1 或 0 vx< '由 f x< 0 可得：4x - 2Inx < 0，r 4x-2>0

9、4x-2<0所以lLnx<0 或Lnx>0£解得: x V 1 .綜上可知：fX遞增區(qū)間為0 , 2， 1 , +8，遞減區(qū)間為2,1.2丨假設(shè)x 0 , +8時(shí)，fx 0恒成立，即 a > x - 2 x - 1lnx 恒成立,令 g x=x - 2 x - 1lnx，貝U a > g xmax因?yàn)?g'x=1 - 2Inx+ 瓦=-2lnx - 1+ x ,所以 g'x在0 , +8上是減函數(shù)，且 g' 1 0 , g' 2 0 , 故存在x0 1 , 2丨使得gx在0 , X0丨上為增函數(shù)，在X0 , + 8上是減函

10、數(shù),二 x=x 0 時(shí)，g xmax =g X00, a 0 ,又因?yàn)?a Z，所以 amin =1 .點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：1根據(jù)參變別離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；2假設(shè)f x0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為f x假設(shè)f x0恒成立，轉(zhuǎn)化為f x 0；max3假設(shè)f X g X恒成立，可轉(zhuǎn)化為fxming x max6. 1極小值為1 ; 2見解析3e2 1e 1【解析】試題分析：1先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定極值2先求導(dǎo)數(shù),導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，討論1a與零大小，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性3正難那么反，先求存在一點(diǎn)求X0

11、,使得f xog xo成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，由存在性問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，結(jié)合性可得實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取補(bǔ)集得結(jié)果2單調(diào)試題解析：解：I丨當(dāng)a 1時(shí),x x InxII當(dāng)當(dāng) hIIIx在0,1上遞減，在1h x x alnx1時(shí),1時(shí),在0,1先解區(qū)間由IIh' xh' x0,a上遞減，在當(dāng)a1時(shí),當(dāng)a1時(shí),0時(shí),hminhnin上遞增， f x的極小值為f 1x 1，列極值分布表1;h' x在0,上遞增;1 a,上遞增;1,e上存在一點(diǎn)x0,使得f X。g X。成立g x 0在1,e上有解 當(dāng)x 1,e時(shí)，h xh x在1,e上遞增，hminh x在0,1

12、a上遞減，在 1h x在1,e上遞增,hminmina,1時(shí)，h1時(shí),上遞增02 a 22 a無解x在1,e上遞減h x 在 1,12 a aln 1a：e2a上遞減,在1 a,e上遞增綜上：存在一點(diǎn)Xo,使得f Xog Xo成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為:e2 1e 12 aal n 1 a221令Fa1In 1 a，那么 F ' a20aaa1 aF a在0,e 1遞減，F(xiàn) aF e 120 ,Fa 0無解,e 1即 hmin2 a al n 1 a0無解；所以不存在一點(diǎn)Xo，使得f x0g x0成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問題，即

13、轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的 問題有解，恒成立，無解等，而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞縿e離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù) 最值問題.7. 112ef ' x 0，解出x的值，利用導(dǎo)【解析】試題分析：1當(dāng)a 0時(shí)，得出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)數(shù)，令數(shù)值的正負(fù)來求其單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求得極小值;2求出f' X，由于函數(shù)f x在0, 是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為 f ' x 0對(duì)任意x 0,恒成立,分類參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù) g x xlnx x的最小值，即可求實(shí)數(shù) a的取值范圍.試題解析：1定義域?yàn)?0,當(dāng)a0 時(shí)，f xxlnx , f' x Inx 1 .令f'x 0 ,得 x1 e當(dāng)x0,1

14、 時(shí)，ef' x 0 , f x為減函數(shù)；當(dāng)x，時(shí)，f ' x 0, f x為增函數(shù)1所以函數(shù)f x的極小值是f -e2由得f' x因?yàn)楹瘮?shù)f x在0,是增函數(shù)，所以f' x 0對(duì)任意x 0,恒成立,0 得 Inx 0，即xlnx x a對(duì)任意的x0,恒成立.xlnx x，要使"xlnxx a對(duì)任意x0,恒成立，只要ag x min1因?yàn)間' x Inx 2,令g' x 0，得x冷. e1當(dāng)x 0,y時(shí)，g' x 0 , g x為減函數(shù)； e1當(dāng)x , 時(shí)，g' x 0, g x為增函數(shù).e1所以g x的最小值是g -1

15、e故函數(shù)f x在0,是增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù) a的取值范圍是點(diǎn)睛：此題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，禾U用導(dǎo) 數(shù)求解函數(shù)的極值與最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，這屬于教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題，解答中把函數(shù)f x在0,是增函數(shù)，所以f' x 0對(duì)任意x 0, 恒成立是解答的關(guān)鍵.& 1見解析；2me3【解析】試題分析：1求出f ' X ,分三種情況討論，分別令f' x0求得x的范圍，可得函數(shù)f x增區(qū)間，f' x0求得x的范圍，可得函數(shù) f x的減區(qū)間；2由1知,所以f Xmaxf2a 4 e2,f 43a+16 e4a f 0f x1 f x24e 2 mea恒成立，即a e 222a1 4e 4e me恒成立，即m立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出1的最大值，即可得結(jié)果試題解析: