結(jié)構(gòu)動力分析-2

1、Nanjing University of Technology第十章結(jié)構(gòu)動力學基礎(chǔ)第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁ty 鋼筋混凝土樓板自由振動試驗曲線鋼筋混凝土樓板自由振動試驗曲線 因為在振幅位置結(jié)構(gòu)的變形速度為零（動能因為在振幅位置結(jié)構(gòu)的變形速度為零（動能=0），），故在振幅位置的變形勢能就代表體系全部機械能。振幅故在振幅位置的變形勢能就代表體系全部機械能。振幅隨時間減小，變形隨時間減小，應變能（全部機械能）隨時間減小，變形隨時間減小，應變能（全部機械能）隨時間減小。這表明在振動過程中能量在損耗。隨時間減小。這表明在振動過程中能量在損耗。 振動過程中引起能量損耗的因素稱為阻尼。振動過程中引

2、起能量損耗的因素稱為阻尼。振幅位置的應變能（全部機械能）在減小振幅位置的應變能（全部機械能）在減小10-4 10-4 阻尼對振動的影響阻尼對振動的影響第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁忽略阻尼影響時所得結(jié)果忽略阻尼影響時所得結(jié)果 能不能能不能 反映實際結(jié)構(gòu)的振動規(guī)律。反映實際結(jié)構(gòu)的振動規(guī)律。大體大體上上忽略阻尼的振動規(guī)律忽略阻尼的振動規(guī)律考慮阻尼的振動規(guī)律考慮阻尼的振動規(guī)律結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，阻尼對頻率影響很小。結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，阻尼對頻率影響很小。簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動的振幅永不衰減。自由振動的振幅永不衰減。自由振動的振幅

3、逐漸衰減。自由振動的振幅逐漸衰減。共振時的振幅趨于無窮大。共振時的振幅趨于無窮大。共振時的振幅較大但為有限值。共振時的振幅較大但為有限值。產(chǎn)生阻尼的原因：產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi)結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi) 摩擦；周圍介質(zhì)的阻力。摩擦；周圍介質(zhì)的阻力。阻尼力的確定：阻尼力的確定：總與質(zhì)點速度反向總與質(zhì)點速度反向;大小與質(zhì)點速度有如下關(guān)系：大小與質(zhì)點速度有如下關(guān)系： 與質(zhì)點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼力）。與質(zhì)點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼力）。 與質(zhì)點速度平方成正比（如質(zhì)點在流體中運動受到的阻力）。與質(zhì)點速度平方成正比（如質(zhì)點在流體中運動受到的阻

4、力）。 與質(zhì)點速度無關(guān)（如摩擦力）。與質(zhì)點速度無關(guān)（如摩擦力）。粘滯阻尼力粘滯阻尼力的分析比較簡單，的分析比較簡單，(因為因為 Fc(t)=c y ).其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。單自由度體系的強迫振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁考慮阻尼的振動模型考慮阻尼的振動模型kyFP(t )動平衡方程：動平衡方程：1. 1. 有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動2cm( 阻尼比阻尼比damping ratio ）設(shè)解為：設(shè)解為：特征方程為：特征方程為：(characteristic equation)1（低阻尼）情況（低阻尼）情況2rr1i 其中tCt

5、Ceyrrtsincos21000rrrrecossinesinttvyyyttat220yyyP( )mycykyF tmy .kmkFP(t )ymcycy ( )ety tC22202(1) 引入初始條件確定積分常數(shù)后為：引入初始條件確定積分常數(shù)后為：0mycyky單自由度體系的強迫振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁r220002r0r00esin()()tantyatvyayyvyae-tty低阻尼低阻尼y- t曲線曲線無阻尼無阻尼y- t曲線曲線阻尼對自振頻率的影響阻尼對自振頻率的影響. .2r1,隨而當當0.2，則，則0.96r/1在工程結(jié)構(gòu)問題中，在工程結(jié)構(gòu)問題中，0.011（

6、強阻尼）情況（強阻尼）情況特征方程的特征值為：特征方程的特征值為：體系不出現(xiàn)振動現(xiàn)象，實際問題中很少遇到，不討論。體系不出現(xiàn)振動現(xiàn)象，實際問題中很少遇到，不討論。2cmr22cmmk單自由度體系的強迫振動EI=m例例10：圖示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量：圖示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m均集中在橫梁處。在均集中在橫梁處。在 FP=9.8kN作用作用下下，測得側(cè)移，測得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動。再測得周期振動。再測得周期T=1.5s 及一個周期后的側(cè)移及一個周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求。求結(jié)構(gòu)的阻尼比結(jié)構(gòu)的阻尼比和阻尼系數(shù)和阻尼系數(shù)c。9.8kN解解：1110.

7、5lnln0.0335220.4kkyy34P09.8 10196 10 N/m0.005FkA1224.189s1.5T42 0.0335 196 1033220N s/m332.2N s/cm4.18911ln,22kkycmy2222mkcm 單自由度體系的強迫振動返回返回第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁2. 2. 有阻尼受迫振動有阻尼受迫振動kyFP(t )my.kFP(t )ymcycy 動平衡方程：動平衡方程： 簡諧荷載：簡諧荷載： FP(t)=FPsint2,2ckmm設(shè)特解為：設(shè)特解為：sinyata為振幅， 為相位差。代入微分方程，整理后得：代入微分方程，整理后得：12222

8、2st221214,2 ()tan1()ay荷載幅值引起荷載幅值引起的靜力位移的靜力位移12222222st14ayPPst2FFykm單自由度體系的強迫振動2P2sinyyytFm 方程的解仍然由齊次解方程的解仍然由齊次解（具有頻率（具有頻率r的自由振動）的自由振動）和特和特解解（具有頻率（具有頻率的純強迫振動）的純強迫振動）組成。由于阻尼的作用，組成。由于阻尼的作用，頻頻率為率為r的自由振動將逐漸衰減而最后消失，只有頻率為的自由振動將逐漸衰減而最后消失，只有頻率為的的純強迫振動不衰減，這部分振動成為平穩(wěn)振動。純強迫振動不衰減，這部分振動成為平穩(wěn)振動。P( )mycykyF tPsinFt第

9、十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁stay21222222414.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0幾點討論：幾點討論：對對 的影響與的影響與 / / 有關(guān)。有關(guān)。隨隨增大增大 曲線漸趨平緩。曲線漸趨平緩。 特別是在特別是在 / / =1附近附近對對 的影響最為顯著的影響最為顯著。 即共振即共振時，時， 21 共振時共振時 忽略阻尼時忽略阻尼時 =，考慮阻，考慮阻 尼時尼時 =很大的有限值。很大的有限值。 在在0.75 / / 1.25 (共振區(qū)共振區(qū)) 內(nèi)，阻尼大大地減小了強迫內(nèi)，阻尼大大地減小了強迫 振動的位移，振動的位移，阻尼不容忽略。阻尼

10、不容忽略。 在共振區(qū)之外阻尼對在共振區(qū)之外阻尼對 的影響較小，可按無阻尼計算。的影響較小，可按無阻尼計算。1/2單自由度體系的強迫振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁當當 時時, 180。體系振動得很快體系振動得很快，F(xiàn)I很大很大，F(xiàn)I、S相對較相對較 小，小，F(xiàn)P主要由主要由FI平衡，平衡， FI與與y同向，所以同向，所以 y與與FP反向。反向。P2sin,sin(),sin(),sin(),cos().PIFFtyatSkykatFmymatRcyc at 對相位差對相位差的影響與的影響與/有關(guān)。有關(guān)。SFP(t )IFR122 ( / )tan1 ( / ) 當當 = ， 902sin(

11、90 ),sin(90 )ISkatFmat 22kmmk，共振共振S與與FI平衡，有無阻尼均如此平衡，有無阻尼均如此，cos(90 )sin2Ramtcta 222sin2sinstmtytma 2P22sin12sinmtFFmtF S與與FP平衡。平衡。由此可見：共振時（由此可見：共振時（ = ），彈性力與慣性力剛好互相平衡），彈性力與慣性力剛好互相平衡,有無阻尼均如此。動荷載恰與阻尼力平衡，故運動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)，有無阻尼均如此。動荷載恰與阻尼力平衡，故運動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)，不會出現(xiàn)位移為無窮大的情況。而在無阻尼強迫振動時，因不不會出現(xiàn)位移為無窮大的情況。而在無阻尼強迫振動時，因不存在阻尼力來平衡動荷

12、載，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。存在阻尼力來平衡動荷載，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。單自由度體系的強迫振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁 彈性動內(nèi)力幅值的計算。彈性動內(nèi)力幅值的計算。一般方法：一般方法：由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位 移達到幅值，內(nèi)力也達到幅值。將位移達到幅值時刻的移達到幅值，內(nèi)力也達到幅值。將位移達到幅值時刻的 荷載值和慣性力值加在結(jié)構(gòu)上，按一般靜力學方法求解。荷載值和慣性力值加在結(jié)構(gòu)上，按一般靜力學方法求解。 慣性力與位移同時達到幅值。荷載與位移無阻尼時同時慣性力與位移同時達到幅值。荷載與位移無阻尼時同時 達到幅值。有阻尼時位移總

13、滯后荷載一個相位角達到幅值。有阻尼時位移總滯后荷載一個相位角 。比例算法：比例算法：無阻尼單自由度體系且荷載作用在振動質(zhì)點無阻尼單自由度體系且荷載作用在振動質(zhì)點 上上 (動荷載與慣性力共線動荷載與慣性力共線)時，產(chǎn)生振幅時，產(chǎn)生振幅 a 的外力值為的外力值為:222PPPP1PFmaFmFFmF 這意味著，動內(nèi)力和動位移幅值是荷載幅值這意味著，動內(nèi)力和動位移幅值是荷載幅值FP產(chǎn)生的靜內(nèi)產(chǎn)生的靜內(nèi)力和靜位移的力和靜位移的 倍。倍。 注意：注意：位移達幅值時，速度為零，故阻尼力為零，計算時不必考慮位移達幅值時，速度為零，故阻尼力為零，計算時不必考慮 阻尼力。阻尼力。單自由度體系的強迫振動第十章 結(jié)

14、構(gòu)動力計算下一頁上一頁例例11：圖示機器與基礎(chǔ)總重量：圖示機器與基礎(chǔ)總重量W=60kN，基礎(chǔ)下土壤的抗壓，基礎(chǔ)下土壤的抗壓 剛度系數(shù)為剛度系數(shù)為cz=0.6N/cm3=0.6103kN/m3，基礎(chǔ)底面積，基礎(chǔ)底面積 A=20m2。試求機器連同基礎(chǔ)作豎向振動時。試求機器連同基礎(chǔ)作豎向振動時 自振頻率。自振頻率。 機器運轉(zhuǎn)產(chǎn)生機器運轉(zhuǎn)產(chǎn)生FPsin t, ,FP=20kN，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為400r/min。 求振幅及地基最大壓力。求振幅及地基最大壓力。 如考慮阻尼，阻尼比如考慮阻尼，阻尼比=0.15，求振幅及地基最大壓力。，求振幅及地基最大壓力。解解: : 讓振動質(zhì)量向下發(fā)生單位位移讓振動質(zhì)量向下發(fā)

15、生單位位移 需施加的力為：需施加的力為： k= czA= 0.6103 20 =12103kN/m3112 109.844.27s60kkgmW單自由度體系的強迫振動WPsinFt第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁求荷載頻率求荷載頻率12240041.89s6060n求動力系數(shù)求動力系數(shù)59. 927.4489.411111222st3209.590.0159m12 10ayPmin60209.5612.56kPa2020FWpAA 豎向振動振幅豎向振動振幅地基最大壓力地基最大壓力求動力系數(shù)求動力系數(shù)22222211413.332共振：豎向振動振幅豎向振動振幅st3203.310.0055m12

16、 10ay地基最大壓力地基最大壓力Pmin60203.316.31kPa2020FWpAA 22222213.3141.8941.8914 0.1544.2744.27 單自由度體系的強迫振動共振區(qū)，阻尼的影響不容忽視！共振區(qū)，阻尼的影響不容忽視！第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁 有阻尼時的杜哈梅積分有阻尼時的杜哈梅積分（1）FP(t)tFP在在t=0時瞬時沖量時瞬時沖量dS=FPdt=v0m引起的振動可視為由初始條引起的振動可視為由初始條 件件v0=FPdt/m， y0=0引起的自由振動：引起的自由振動：dt rrd( )esintSy ttmtttrr( )esintSy ttm()rrd

17、esintStm在在t=時有瞬時沖量作用。時有瞬時沖量作用。000cossintrrrvyyeytt將荷載將荷載FP (t)的加載過程的加載過程 看作一系列瞬時沖量，看作一系列瞬時沖量， dS=FP () d引起的引起的 動力反應為：動力反應為：()Prr( )ddesin()tFytm總反應：總反應：()Pr0r( )( )esin()dttFy ttm有阻尼的杜哈梅積分在計算地震作用的動力反應時有用。有阻尼的杜哈梅積分在計算地震作用的動力反應時有用。單自由度體系的強迫振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁 突加荷載突加荷載FP00rr2r( )1 ecossintFy tttmP低阻尼低阻尼

18、y- t曲線曲線無阻尼無阻尼y- t曲線曲線ysty(t)t02345y(t)t02345靜靜力力平平衡衡位位置置具有阻尼的體系在具有阻尼的體系在突加荷載作用下，突加荷載作用下，最初所引起的最大最初所引起的最大位移接近于靜位移位移接近于靜位移yst=FP0/m2的的2倍倍,然后逐漸衰減，最然后逐漸衰減，最后停留在靜力平衡后停留在靜力平衡位置。位置。單自由度體系的強迫振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁 兩個自由度體系是兩個自由度體系是最簡單的多自由度體系最簡單的多自由度體系.但能清楚地反映多自由但能清楚地反映多自由度體系動力特征的計算特點。度體系動力特征的計算特點。 建立多自由度體系運動方程的

19、方法有：建立多自由度體系運動方程的方法有：剛度法：剛度法：建立力的平衡方程。建立力的平衡方程。柔度法：柔度法：建立位移協(xié)調(diào)方程。建立位移協(xié)調(diào)方程。 實際工程中，很多問題可以簡化為單自由度體系計算，實際工程中，很多問題可以簡化為單自由度體系計算，也有很多結(jié)構(gòu)的振動問題不能按單自由度體系計算。如多層也有很多結(jié)構(gòu)的振動問題不能按單自由度體系計算。如多層房屋的側(cè)向振動，不等高排架的振動，柔性較大的高聳結(jié)構(gòu)房屋的側(cè)向振動，不等高排架的振動，柔性較大的高聳結(jié)構(gòu)在地震作用下的振動等，在地震作用下的振動等，都應按多自由度體系計算。都應按多自由度體系計算。10-5 10-5 兩個自由度體系的自由振動兩個自由度體

20、系的自由振動m2mmmm各有其適用范圍。各有其適用范圍。第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁11122200m yrm yry1(t)y2(t)1. 剛度法剛度法r2r1y1(t)y2(t)r2r1質(zhì)點動平衡方程質(zhì)點動平衡方程22m y 11m y 由由質(zhì)點動平衡方程質(zhì)點動平衡方程建立建立自由振動微分方程。自由振動微分方程。11111222211222( )( )( )( )rk y tk y trk y tk y t兩個自由度體系的自由振動乘 y1(t)k11k21乘 y2(t)k12k2211=+1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tkyt

21、m ytky tkyt第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁解質(zhì)點動平衡方程解質(zhì)點動平衡方程 )sin()(),sin()(2211tYtytYty兩個自由度體系的自由振動1111112222211222( )( )( )0,( )( )( )0m y tk y tkytm ytky tkyt設(shè)：設(shè)：1122( )sin()( )sin()y tYty tYt0222221121211mkkkmkD展開是展開是2的二次方程，的二次方程，解得解得2 兩個根為：兩個根為：2211221122112212211,21212121122kkkkk kk kmmmmm m這兩個根這兩個根都是正根都是正根111

22、1112222211( )222( )( )( )0( )( )0tm y tk y tkytm ytkykyt0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk為了得到為了得到Y(jié)1、Y2的非零解，的非零解，應使系數(shù)行列式等于零。應使系數(shù)行列式等于零。頻率方程頻率方程兩個自由度體系有兩個自振頻率。兩個自由度體系有兩個自振頻率。特點特點:兩質(zhì)點具有相同的頻率和相同的相位角。兩質(zhì)點具有相同的頻率和相同的相位角。 兩質(zhì)點的位移隨時間變化，但兩者的比值始終保兩質(zhì)點的位移隨時間變化，但兩者的比值始終保 持不變持不變y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常數(shù)。這種結(jié)構(gòu)位移形狀常數(shù)。這種結(jié)構(gòu)位移

23、形狀 保持不變的振動形式稱為保持不變的振動形式稱為主振型主振型或或振型振型。證明第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁幾點注意：幾點注意： 自振頻率個數(shù)自振頻率個數(shù)=自由度數(shù)自由度數(shù). 每個自振頻率相應一個主每個自振頻率相應一個主 振型。主振型是多自由度振型。主振型是多自由度 體系能夠按單自由度體系體系能夠按單自由度體系 振動時所具有的特定形式振動時所具有的特定形式. 自振頻率和主振型是體系自振頻率和主振型是體系 本身的固有特性。只與體本身的固有特性。只與體 系本身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量分布情形有關(guān)。系本身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量分布情形有關(guān)。位移幅位移幅值方程值方程0)(0)(222221212121121

24、1YmkYkYkYmk兩個自由度體系的自由振動求主振型：求主振型：因為因為D=0，不能，不能 求出求出Y1和和Y2的值只能求出其的值只能求出其 比值（即比值（即主振型主振型）。）。12122221121YkYkm 11122211111YkYkm 與與1相應相應第一振型第一振型與與2相應相應第二振型第二振型振型階數(shù)振型階數(shù)振動方向振動方向第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk0212121122222111mmkkmkmk故矩陣故矩陣k為正定矩陣。矩陣為正定矩陣。矩陣k為正定矩陣的充分必要為正定矩陣的充分必要 條件是

25、：它的行列式的順序主子式全部大于零。條件是：它的行列式的順序主子式全部大于零。 因此有因此有 所以所以 于是得到于是得到2 的兩個根均為的兩個根均為正根正根。兩個自由度體系的自由振動將根號內(nèi)的式子變形成將根號內(nèi)的式子變形成 所以所以2 的兩個根均為的兩個根均為 實根實根。 1 12 212111121221212220y ry ry yy yrkkyrkky112212210k kk k2112211221221112212121211022kkk kk kkkmmm mmm返回返回第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁22221,221 21 2222kkkkkkmmmmmk11例例1212：質(zhì)量

26、集中在樓層上質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為層間側(cè)移剛度為k1、k2。 求剛架水平振動時的自振頻率和振型。求剛架水平振動時的自振頻率和振型。m2m1k2k1k211解：解：求剛度系數(shù)求剛度系數(shù)：k22k121當當 m1=m2=m, k1=k2=k， 120.61803/,1.61803/k mk m2211221122112212211,21212121122kkkkk kk kmmmmm m1,220.382 /352.618 /2k mkk mm兩個自由度體系的自由振動計算頻率計算頻率1112212,kkkkk 222122,.kkkk 第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁求主振型求

27、主振型618. 1138197. 02kkk第一主振型：第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型第一主振型122.618030.618kkk 第二主振型：第二主振型：第二主振型第二主振型Y22=0.618Y11=112122221121YkYkm 11122211111YkYkm Yij 為正時表為正時表示質(zhì)量示質(zhì)量mi的運動的運動方向與計算剛度方向與計算剛度系數(shù)時置于其上系數(shù)時置于其上的單位位移方向的單位位移方向相同，為負時，相同，為負時，表示與單位位移表示與單位位移方向相反。方向相反。兩個自由度體系的自由振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁2211221122112212211,

28、21212121122kkkkk kk kmmmmm m當當m1=nm2 , k1=nk2，k11=(1+n)k2，k12=k2， k22=k2求頻率：求頻率：求振型：求振型：如如n=90時時1101121YY191222YY當上部質(zhì)量和剛度很小時，頂部位移很大。（鞭梢效應）當上部質(zhì)量和剛度很小時，頂部位移很大。（鞭梢效應）2192112YY第一振型：第一振型：第二振型：第二振型：221,222114122knnnm222111221122(1)1111(1)()4422YkmnknmYkknnnn 建筑物頂部的小閣樓、女兒墻、建筑物立面有較大的收進或建筑物頂部的小閣樓、女兒墻、建筑物立面有較

29、大的收進或為了加大建筑空間而在頂部減少剪力墻等為了加大建筑空間而在頂部減少剪力墻等, ,都可能使結(jié)構(gòu)少數(shù)都可能使結(jié)構(gòu)少數(shù)層剛度和質(zhì)量突然變小，加劇地震作用下的鞭稍效應。層剛度和質(zhì)量突然變小，加劇地震作用下的鞭稍效應。兩個自由度體系的自由振動222111124knnnm第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁例例1313：試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率；如初始條件為試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率；如初始條件為 Y10=0.02m, Y20=0.00473m，初速為零，體系作何種振動。，初速為零，體系作何種振動。11330EIkl211236EIkkl 2236EIkl322321 , 258. 442.31663023

30、6236mlEImlEI12332.14,5.61EIEImlml求剛度系數(shù)求剛度系數(shù)代入頻率代入頻率 計算公式計算公式1136EIl312EIl312EIl36EIl11k21k22k12k2211221122112212211,21212121122kkkkk kk kmmmmm m兩個自由度體系的自由振動m2=m2第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁1112221111161304.584.2367YkYkm 12122221121613031.420.2367YkYkm 10200.0210.004730.2367YY)sin(00473. 0),sin(02. 0222221tyty12

31、22020.02cos()090tyt 1222220.02sin(90 )0.02cos(),0.00473sin(90 )0.00473cos()yttytt 體系按第二振型振動體系按第二振型振動求主振型求主振型初始條件為初始條件為 Y10=0.02m, Y20=0.00473m,初速為零，初速為零， 體系的振動情況。體系的振動情況。兩個自由度體系的自由振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁 根據(jù)根據(jù)質(zhì)點的動位移等于各質(zhì)點的動位移等于各質(zhì)點慣性力質(zhì)點慣性力共同作用下共同作用下產(chǎn)生的產(chǎn)生的靜位移，靜位移，建立建立自由振動微分方程。自由振動微分方程。11( )m y t1111122122112

32、12222( )( )( )( )( )( )y tm y tm y ty tm y tm y t 12. 2. 柔度法柔度法122( )m y t結(jié)構(gòu)的柔度系結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)數(shù)ij 物理意物理意義是：在第義是：在第 j 個位移方向加個位移方向加單位力時產(chǎn)生單位力時產(chǎn)生的第的第 i 個方向個方向上的位移。上的位移。兩個自由度體系的自由振動y2(t)y1(t)11212212質(zhì)點位移方程質(zhì)點位移方程第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁111112212211212222( )( )( )( )( )( )y tm y tm y ty tm y tm y t 代入微代入微分方程分方程 質(zhì)點質(zhì)點 慣性力慣

33、性力2111 122222( )sin()( )sin()m y tmYtm y tm Yt幅值幅值221 122,mYm Y其中：其中：=1/2兩個自由度體系的自由振動解質(zhì)點位移方程解質(zhì)點位移方程 設(shè)設(shè))sin()(),sin()(2211tYtytYty特點特點:兩質(zhì)點具有相同的頻率和相同的相位角兩質(zhì)點具有相同的頻率和相同的相位角. 兩質(zhì)點的位移隨時間變化，但兩者的比值始終保兩質(zhì)點的位移隨時間變化，但兩者的比值始終保 持不變持不變y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常數(shù)。這種結(jié)構(gòu)位移形狀常數(shù)。這種結(jié)構(gòu)位移形狀 保持不變的振動形式稱為保持不變的振動形式稱為主振型主振型或或振型振型 22111

34、11221222211212222YmYmYYmYmY主振型的位移幅值是體系由此主主振型的位移幅值是體系由此主振型慣性力幅值振型慣性力幅值所引起的靜力位移。所引起的靜力位移。),(222112YmYmY11Y2121221Ym11121YmY12Y2222222Ym12122Ym位移幅位移幅 值方程值方程1 111122 2211 1222200mYmYmYmY第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁0222211122111mmmmD為一關(guān)于為一關(guān)于的二次方程。的二次方程。解出解出的兩個根：的兩個根：頻率方程頻率方程 1221112221112221122122112()()4()2mmmmmm 2

35、2111,1頻率頻率頻率數(shù)目頻率數(shù)目=自由度數(shù)目自由度數(shù)目11121221mmYY位移幅位移幅 值方程值方程1 111122 2211 1222200mYmYmYmY其中：其中：=1/2Y1 ，Y2不能全為零。不能全為零。求主振型：求主振型：因為因為D=0，不能求出，不能求出Y1和和Y2的值只能求出其的值只能求出其 比值（即比值（即主振型主振型）。）。第一主振型第一主振型 11122211111YmYm 第二主振型第二主振型 12122221112YmYm 主振型的數(shù)目主振型的數(shù)目=自由度數(shù)目。自由度數(shù)目。第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁因固有振動的特解是簡因固有振動的特解是簡諧振動，所以位移

36、和慣諧振動，所以位移和慣性力同時達到幅值。主性力同時達到幅值。主振型恰好為相應慣性力振型恰好為相應慣性力幅值產(chǎn)生的靜力位移。幅值產(chǎn)生的靜力位移。應用功的互等定理：應用功的互等定理：2212222211 111221121 122211222()()()()mYm YYYYYYmm Y0)(22212121112221YYmYYm1 11 12221 220mY Ym Y Y因為因為12第一正交關(guān)系第一正交關(guān)系3. 3. 主振型的正交性主振型的正交性(orthogonality of normal modes)m1m2Y11Y2121221Ym11121Ymm1m2Y12Y22222 22mY2

37、21 12mY211 11 12221220mY Ym Y Y2211 11122122120mm YYYY221 11 12221220mY Ym Y Y2221 12222111220mm YYYY在振動過程中，某一主振型的慣性力不會在其他主振型上做在振動過程中，某一主振型的慣性力不會在其他主振型上做功。即它的能量不會轉(zhuǎn)移到其他主振型上，也不會引起其他功。即它的能量不會轉(zhuǎn)移到其他主振型上，也不會引起其他主振型的振動。故各個主振型能單獨存在而不互相干擾。主振型的振動。故各個主振型能單獨存在而不互相干擾。兩個自由度體系的自由振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁3111122 21 2 22 2

38、42 3 93 92 3 93 9243lllllllEIEI312112 2/3222 272222 3 93 969 99 99 99 9468l llllll llll llEIEI 例例14：求簡支梁的自振：求簡支梁的自振 頻率和主振型。頻率和主振型。解解：求柔度系數(shù)求柔度系數(shù)EIl243432211EIl4867321122)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmm2)(4)2(222122112111112mmmmm121112mm121112EImlmm31211148615EImlmm3121124861322311221,69. 51mlEI

39、mlEI求得頻率：求得頻率：主振型：主振型：11122211111718151YmYm 1212222111271811YmYm l/3l/3l/3 1 129l29lmm兩個自由度體系的自由振動1M2M第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁例例14：求簡支梁的自振：求簡支梁的自振 頻率和主振型。頻率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解另解：如果結(jié)構(gòu)本身：如果結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是和質(zhì)量分布都是對稱對稱的，則主振型不是的，則主振型不是對對稱就是反對稱稱就是反對稱。故可。故可取半邊結(jié)構(gòu)計算取半邊結(jié)構(gòu)計算 ：1對稱情況：對稱情況：EIl1625311131115.69EImmll/91反對稱情況：

40、反對稱情況：EIl4863222322122EImml對稱主振型：對稱主振型：112111YY122211YY反對稱主振型：反對稱主振型：比較兩個頻率，較小比較兩個頻率，較小的為第一頻率。的為第一頻率。1 11 12221 22(1) (1)1 ( 1)0mY Ym Y Ymm 驗證主振型正交性：驗證主振型正交性：兩個自由度體系的自由振動1M2M第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁1221112221112221122122112()()4()2mmmmmm 例例15：計算體系的自振頻率和振型。：計算體系的自振頻率和振型。 并驗證主振型的正交性。并驗證主振型的正交性。llmEIEI 1 12Ml1

41、MlEIlllEI343133311EIlllEI221322112EIl3322求柔度系數(shù)求柔度系數(shù)EImlEImlEIml32312232, 11262. 0,5404.頻率計算公式求頻率代頻率計算公式求頻率3223118147. 21,8057. 01mlEImlEI兩個自由度體系的自由振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁代振型公式求振型代振型公式求振型121222211120.514/30.12622.414YmYm 4141. 015404. 13/45 . 011112122111mmYY10.414第一振型第一振型第二振型第二振型12.414 Yij為正

42、時為正時表示質(zhì)量表示質(zhì)量mi的的運動方向與計運動方向與計算柔度系數(shù)時算柔度系數(shù)時置于其上的單置于其上的單位力方向相同，位力方向相同，為負時，表示為負時，表示與單位力方向與單位力方向相反。相反。1 11 12221 221 10.414 ( 2.414)0mY Ym Y Ymm 驗證主振型正交性驗證主振型正交性兩個自由度體系的自由振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁例例16：求圖示集中質(zhì)量體系的自求圖示集中質(zhì)量體系的自振頻率振頻率(各桿各桿EI為常數(shù)為常數(shù)) 。 mlll2M1 1l/2l/2l311232212211222 2 3 2612222 2 3 22320l lllEIEIl lll

43、llEIEI211112222112221/01/mmmm代入頻率方程代入頻率方程12332221111216,EIEImmmlml解解：求柔度系數(shù)求柔度系數(shù) 1l/21M第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁l mll m/2l33lEI23160.5EImml m/2l EI/233333 0.5lllEIEIEI13120.5EImmll對稱振型對稱振型反對稱振型反對稱振型 11M2M例例16：求圖示集中質(zhì)量體系的自振頻率求圖示集中質(zhì)量體系的自振頻率(各桿各桿EI為常數(shù)為常數(shù)) 。另解另解：利用對稱性。：利用對稱性。 1 第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁1. 1. 柔度法柔度法11111221

44、212112122222()()sin()()sinPPym ym ytym ym yt 10-6 10-6 兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 建立振動微分方程建立振動微分方程11 112212111121222222sinsinPPm ym yytm ym yyt 因為荷載頻率在共振區(qū)之外時，阻尼影響很?。辉诠舱褚驗楹奢d頻率在共振區(qū)之外時，阻尼影響很小；在共振區(qū)之內(nèi)時，計不計阻尼，都能反映共振現(xiàn)象。故區(qū)之內(nèi)時，計不計阻尼，都能反映共振現(xiàn)象。故忽略阻尼。忽略阻尼。并設(shè)并設(shè)各簡諧荷載的頻率相同、相位相同。各簡諧荷載的頻率相同、相位相同。iP荷載幅值產(chǎn)生的質(zhì)

45、點荷載幅值產(chǎn)生的質(zhì)點i靜位移靜位移22m y11m ym1m2tFP siny1y21112112212FP2P1P通解通解= =齊次解齊次解( ( ) )特解特解( )( )r自由振動強迫振動 動位移的解答及討論動位移的解答及討論由于阻尼平穩(wěn)振動平穩(wěn)振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁tYtytYtysin)(,sin)(221122111212022121222(1)(1)mmDmm 21212212222(1)PPmDm 21111221212(1)PPmDm 022011DDYDDY解得振幅：0112201,PPDDD 相當于靜荷載產(chǎn)生當時，的位移。42201212,0,0,DDDYY

46、 當時，來不及反應。12012120,DDDY Y 當或時，不全為零時共振。n個自由度體系，存在個自由度體系，存在 n 個可能的共振點。個可能的共振點。 純強迫振動解答設(shè)為：純強迫振動解答設(shè)為：代入：代入：tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm 對振幅解答的討論對振幅解答的討論 兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動?2222=0第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁 動內(nèi)力幅值的計算動內(nèi)力幅值的計算 荷載、位移、慣性力同頻荷載、位移、慣性力同頻率、同相位、同時達到最大。率、

47、同相位、同時達到最大。位移達到最大值時，內(nèi)力也達位移達到最大值時，內(nèi)力也達到最大值。于是，可將動荷載到最大值。于是，可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求解。用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求解。或：或：由由Y1 ，Y2值可求得位移和慣性力。值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：慣性力的幅值為：22221211,YmIYmI由位移幅值方程由位移幅值方程2211112122122121 122222(1)0(1)0PPmYmYmYmY 得到求慣性力得到求慣性力幅值的方程幅值的方程（直接求慣性力幅值）（直接求慣性力幅值）11112212121 12222221()01

48、()0PPIImIIm兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動1122( )sin( )siny tYty tYt位移位移2111122222sinsinm ymYtm ymYt慣性力慣性力PP( )sinF tFt荷載荷載第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁1221112221112221122122112()()4()2mmmmmm 例例1717：簡支梁簡支梁EI=常數(shù)常數(shù),=0.751。求動位移和動彎矩幅值。求動位移和動彎矩幅值。解：解：求柔度系數(shù)求柔度系數(shù)EIlEIl7687,25633211232211EImlEImlm4876816)(3312111EImlEImlm3847682)(33

49、1211231193. 61mlEI232119.60EIml311975. 575. 0mlEI33PP1P112P2137,256768PPF lF lFFEIEI163Pl兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動MP圖，求圖，求1P ,2PtFPsinl/4l/4l/2mm 1163l1M 1163l2MFPPM第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁31122312213,2567,768lEIlEI35.1975EIml3P13P23,2567,768pPF lEIF lEI4065. 0) 1() 1(22222121122211210mmmmD32P12122122220.01025(1)P

50、PF lmDmEI 32P1111221212(1)0.00911PPF lmDmEI 331P2P12000.0252,0.0224DF lDF lYYDEIDEI解得振幅：322P111P3322P222P35.19750.02520.68085.19750.02240.6052F lEIImYFlEIF lEIImYFlEI計算位移幅值計算位移幅值計算慣性力幅值計算慣性力幅值兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁 1163l1M 1163l2MFPPM計算動內(nèi)力計算動內(nèi)力I1=0.6808FPFP I2=0.6051FP1.4119FP 0.2689FP0.

51、8740FPFQd 圖圖0.3530FPl0.2180FPlMd 圖圖1d11 11221PP0.353MM IM IMF l2d21 12222PP0.218MM IM IMF l163Pl1212121P2P1d2d1st2st2567680.02522.150,0.02242.4583716160.35301.883,0.21803.48831YYMMYYMMMM比較動力系數(shù)比較動力系數(shù)33PP1P2P37,256768F lF lEIEI33PP120.0252,0.0224F lF lYYEIEI 因此，多自由度體系因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。兩個自由度

52、體系在簡諧荷載下的受迫振動1.4119FP1.6808FP0.6051FP0.8740FP1.4119FP第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁111P1222P2sin,sinm yrFtm yrFt11111222211222( )( )( )( )rk y tk y trk y tk y t2. 2. 剛度法剛度法平穩(wěn)階段質(zhì)點作簡諧振動平穩(wěn)階段質(zhì)點作簡諧振動:1122( )sin,( )siny tYty tYtP222222121P121211211)()(FYmkYkFYkYmk2222211212110mkkkmkD)(2222P212P11mkFkFD11111122P12221122

53、2P2sinsinm yk yk yFtm yk yk yFtP221P112112FkFmkD110220/YD DYDDFP2(t)FP1(t)FP2(t)FP1(t)兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動乘 y1(t)k11k21乘 y2(t)k12k2211+求得位移幅值求得位移幅值Y1、Y2，再求慣再求慣性力幅值性力幅值將慣性力幅值連同荷載幅值加將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力法計算。在體系上，按靜力法計算。 ,ImYImY2211122212012120,DDDY Y 當或時，0時共振。2=02第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁例例1818：求樓面處的側(cè)移、慣性力和柱底截面彎

54、矩幅值。求樓面處的側(cè)移、慣性力和柱底截面彎矩幅值。1 k11k211 k12k22解：解： 求剛度系數(shù)求剛度系數(shù)113482 ,EIkkh34EImh求位移幅值求位移幅值h FPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh 312EIl312EIl312EIl312EIl22324EIkkh2112324,EIkkkh 312EIl312EIl兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動203320EIDh1P324EIDFh2P332EIDFh22211112203321222(48 16)2432024(24 16)EIEIkmkDkkmhh P11221P33PP2222024248()EIE

55、IFkDFFFkmhh2111P123P21P232 024km FEIDF hkF331P2P12000.075,0.1DF hDF hYYDEIDEI 第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁0.45FPh0.45FPh0.15FPh0.15FPh求慣性力幅值求慣性力幅值P2P32222P2P312116 . 1) 1 . 0(162 . 1)075. 0(16FEIhFmhEImYmIFEIhFmhEImYmI0.10.075EIhF3P位移幅值位移幅值FP1.6 FP 1.2 FP 0.9 FP0.9 FPA里邊受拉）(45. 05 . 09 . 0PPhFhFMA位移與荷載反向？位移與荷載反

56、向？10.61803/k m3324442440.816524EIEImhmhkkmm11,31P1032P200.0750.1DF hYDEIDF hYDEI 兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動位移與荷載反向位移與荷載反向求內(nèi)力幅值求內(nèi)力幅值M說明第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁22221,221 21 2222kkkkkkmmmmmk11質(zhì)量集中在樓層上質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度為層間側(cè)移剛度為k、k。求剛架水平振。求剛架水平振動時的自振頻率和振型。動時的自振頻率和振型。mmk k k211解：解：求剛度系數(shù)求剛度系數(shù)：k22k121120.61803/,1.61803/k mk m

57、1,220.382 /352.618 /2k mkk mm兩個自由度體系的自由振動計算頻率計算頻率112212,kkkk 2212,.kk kk 返回返回第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁例例19：質(zhì)量集中在樓層上質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為，層間側(cè)移剛度為k1、k2，畫出橫梁振幅畫出橫梁振幅Y1、Y2與荷載頻率之間的關(guān)系曲線。與荷載頻率之間的關(guān)系曲線。解解 ： 荷載幅值：荷載幅值：FP1=FP，F(xiàn)P2=0 求剛度系數(shù)求剛度系數(shù) m2m1k2k1tFsinPFP/k兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動1112212,kkkkk 222122,kkkk 求位移幅值求位移幅值21P22

58、100(),DF kmYDD2P2200DF kYDD2220121222()()Dkkmkmk2222111120121222221222()()kmkDkkm kmkkkmP11221P12222P2222()FkDFkmFkm2111P1221P121P2,km FDk FkF當當m1=m2=m, k1=k2=k2P10,F kmYD22202212(1)(1)DkP20,F kYD2122222P12(1)(1)YkmFk212222P121,/(1)(1)Ym kFk22222P121/(1)(1)YFkFP/k是荷載是荷載幅值產(chǎn)生的幅值產(chǎn)生的靜位移。靜位移。推導第十章 結(jié)構(gòu)動力計算下一頁上一頁22222122213mkmk22420230kkDmmm當當m1=m2=m, k1=k2=k22202212(1)(1)Dk222012122222224222242224222221212222221222222