固定收益證券講義(4債券數(shù)學(xué))

1、1主講人：主講人：23v現(xiàn)金流C0的時(shí)間價(jià)值1期：C1= C0 (1+ r )vr為利率，通常以年為單位。 N期：Cn = C0(1+ r )nv更一般的，現(xiàn)金P以 r年利率投資，每年支付次n利息 ，投資T年，回報(bào)為(1)nTrPnlim(1)nTrTnrPPenr變成了連續(xù)復(fù)利4v債券現(xiàn)值的計(jì)算步驟：找出債券的現(xiàn)金流現(xiàn)金流折現(xiàn)111(1)1TTttCCPrrr1(1)TtttCPr111(1)111TTTTttcFFcFFPrrrrr當(dāng)現(xiàn)金流都一樣時(shí)（被稱為年金）， 付息債券的價(jià)值（ F 是債券面值） 注意，當(dāng)r =c時(shí)， P=F5v當(dāng)期數(shù)趨向于無(wú)窮時(shí) (如永續(xù)年金)1111TTTcFFcF

2、Prrrr 000, 2$05.100P 例： 每年支付$ 100的永續(xù)年金值多少錢(qián)？ 假設(shè)折現(xiàn)率為5% 答案：6到期收益率 (YTM)v該收益率使得債券的現(xiàn)值等于債券價(jià)格。v若交割日恰好是付息日，則1(1)TtttCPYTM YTM 是基于內(nèi)部收益率(IRR)計(jì)算的。 YTM可通過(guò)試錯(cuò)法（ trial-and-error）計(jì)算 YTM是半年為單位的利率(息票通常是半年支付一次) 現(xiàn)金流用同樣的收益率折現(xiàn) 隱含了收益率曲線是平坦的假設(shè)7到期收益率 (YTM)v假定假定持有至償還期持有至償還期無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)再投資收益率等于到期收益率本身再投資收益率等于到期收益率本身無(wú)回購(gòu)條款無(wú)回購(gòu)條款8債

3、券等價(jià)收益率v債券等價(jià)收益率(BEY)：將YTM轉(zhuǎn)換為年利率（華爾街規(guī)則）y = 2 YTM，則11/2(1/2)(1/2)(1/2)TntttnttCFcFPyyyv若交割日恰好是付息日，vP = 全價(jià) = 凈價(jià) = 報(bào)價(jià)9債券報(bào)價(jià)v到期日為2021 年11 月15 日，息票利率為8.00 % 的美國(guó)國(guó)債，1992 年1 月9 日交割的報(bào)價(jià)如下：v價(jià)格標(biāo)出的是面值的百分?jǐn)?shù)。整數(shù) + n/32ths (國(guó)庫(kù)券) or + n/8ths (公司債券)例：106.30 = 106 30/32 = 112.9375%報(bào)價(jià)日出價(jià)要價(jià)收益率1992-01-09106.30107.007.4110非付息日

4、的全價(jià)與凈價(jià)非付息日的全價(jià)與凈價(jià)v如果交割日不是付息日，全價(jià)應(yīng)如何計(jì)算？如果交割日不是付息日，全價(jià)應(yīng)如何計(jì)算？110/ 2(1/ 2)(1/ 2)Tt WTWtFcFPyy 按照按照“華爾街規(guī)則華爾街規(guī)則”的計(jì)算方法是的計(jì)算方法是上一個(gè)息票支付日(LCD)下一個(gè)息票支付日(NCD)交割日(SD)zWx其中：11應(yīng)計(jì)利息v債券的報(bào)價(jià)(市場(chǎng)價(jià)格)通常是凈價(jià)v凈價(jià) = 全價(jià) - 應(yīng)計(jì)利息（ait）/ 2txzaiFcx12全價(jià)與凈價(jià)全價(jià)與凈價(jià)v例例US treasury note, 票面利率8.625%，到期日8/15/2003，交割日 9/8/2002，計(jì)算在到期收益率為3.21%時(shí)的全價(jià)與凈價(jià).

5、116016010184184(100 0.08625 )/2100(1 3.21%/2)(1 3.21%/2)105.56ttP13全價(jià)與凈價(jià)全價(jià)與凈價(jià)v凈價(jià)=全價(jià) - 應(yīng)計(jì)利息v =105.506-0.563=104.943/ 2100 0.08625/ 2 24/1840.563txzaiFcx14v例例： 到期日為1991 年11 月15 日，息票利率為7.75 % 的美國(guó)中期國(guó)債， 1991 年7 月18 日交割的報(bào)價(jià)如下：vc=7.75 , x=184 , z=120 , x-z= (SD-LCD)=64, v則應(yīng)計(jì)利息為 ait =7.75/2*64/184 = 1.3478v使

6、用出價(jià)，發(fā)票價(jià)格為v Pt =100+19/32+1.3478 =101.94155v使用要價(jià)，發(fā)票價(jià)格為v Pt =100+21/32+1.3478 =102.00405報(bào)價(jià)日出價(jià)要價(jià)收益率1994-07-18100.19100.215.8115國(guó)庫(kù)券國(guó)庫(kù)券（T-Bills）v交割日(SD) 和到期日(MD) 的時(shí)間軸。v貼現(xiàn)收益率(discount yield)vF 是面值，P是T-Bill的現(xiàn)值，B是一年的基本天數(shù) (360或365)。v在美國(guó)，B取360；英國(guó)、日本取365等等。FPBdFn(1)n dPFB16v例： 下面列出了1991 年5 月23 日到期的美國(guó)短期國(guó)庫(kù)券，在199

7、0年12 月14 日交割的報(bào)價(jià)。v使用買(mǎi)入貼現(xiàn)收益率，發(fā)票價(jià)格為v Pt =100*(1-160*0.0678/360) =96.98667v使用賣(mài)出貼現(xiàn)收益率，發(fā)票價(jià)格為v Pt =100*(1-160*0.0676/360) =96.99556v注意：貼現(xiàn)收益率與收益率是不同的貼現(xiàn)收益率與收益率是不同的。 why報(bào)價(jià)日買(mǎi)入貼現(xiàn)收益率賣(mài)出貼現(xiàn)收益率收益率1990-12-146.786.767.0617v在美國(guó)，T-bill同bond的收益率不能直接比較：年的天數(shù)不一樣，360 vs 365天 收益率計(jì)算不一樣，面值 vs 現(xiàn)值v為了方便比較，如何求等效收益率？為了方便比較，如何求等效收益率？

8、v債券等價(jià)收益率(bond equivalent yield，BEY)為vBm是年的基本天數(shù) (一般為365)。mBFPBEYPn1mFPnBEYBmB dBEYBdn與貼現(xiàn)收益率與貼現(xiàn)收益率d的關(guān)系：的關(guān)系：18v當(dāng)國(guó)庫(kù)券的期限超過(guò)6個(gè)月時(shí)，國(guó)庫(kù)券是不支付利息的，而中期國(guó)債和長(zhǎng)期國(guó)債都是每半年支付利息每半年支付利息的。v業(yè)內(nèi)的慣例是假設(shè)利息y在6 個(gè)月后支付，而且這個(gè)利息能進(jìn)行再投資，即365/ 2(1)(1)1002365ynPy解出y ，得出期限大于182 天的短期國(guó)庫(kù)券的BEY為19v例：下面是1992 年4 月9 日到期的美國(guó)國(guó)庫(kù)券，在1991 年4 月18日交割的報(bào)價(jià)。vn=357

9、 天，使用賣(mài)出貼現(xiàn)收益率計(jì)算價(jià)格v Pt =100*(1-357*0.0592/360) =94.1293v計(jì)算BEY得：BEY=6.2802%報(bào)價(jià)日買(mǎi)入貼現(xiàn)收益率賣(mài)出貼現(xiàn)收益率收益率1991-04-185.945.926.2920v債券的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)是指由于市場(chǎng)中利率利率的變化所引起的價(jià)格變化。(即利率風(fēng)險(xiǎn))定義：價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)為 其中，負(fù)號(hào)代表隨著收益率的遞增，價(jià)格遞減。21價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)一般地，價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)用百分?jǐn)?shù)來(lái)度量，以反映收益率一般地，價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)用百分?jǐn)?shù)來(lái)度量，以反映收益率的變化引起的的變化引起的價(jià)格的百分比變化價(jià)格的百分比變化。因此，。因此，22在較低的收益率水平下價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)較高，隨著收益率的增加，價(jià)格

10、風(fēng)險(xiǎn)逐漸下降。當(dāng)N 趨于時(shí)，有23基點(diǎn)價(jià)值基點(diǎn)價(jià)值（Price Value of a Basis Point）v定義：定義：基點(diǎn)價(jià)值是收益率變動(dòng)一個(gè)基點(diǎn)時(shí)，債基點(diǎn)價(jià)值是收益率變動(dòng)一個(gè)基點(diǎn)時(shí)，債券價(jià)格的變化值。券價(jià)格的變化值。(通常的面值為100)v PVBP=P/ (y X 10,000)vPVBP 也稱為0.01 的美元價(jià)值，DV01(dollar value of an 01) 。v若PVBP*以每百萬(wàn)美元為面值，則vPVBP* = PVBP X(10 000 00/100) v = P/ (y X 10 000) X(10 000)v = P/ y = (-P/ y )/100 X 10

11、0v =P X 10024v例：年息票為C = 10美元，半年支付的債券，剩余80 個(gè)息票支付區(qū)間(N=80) 。對(duì)于這個(gè)40 年期債券，收益率為9%(y=0.09) 時(shí)的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)為:P = 11. 86 ,vPVBP (每百萬(wàn)美元面值) = 11. 86 X 100= 1 186美元(每百萬(wàn)美元)25久期v久期被廣泛的用于度量風(fēng)險(xiǎn)。v麥考利久期(Macaulay duration) 表示了由收益率的百分比變化導(dǎo)致的價(jià)格的百分比變化，即利率的價(jià)格彈性。以時(shí)間為權(quán)重的貼現(xiàn)現(xiàn)金流1111(1)(1)11(1)nnttttttntttCt CdPPydyyCdPyDtPydyP nnttt1t1pw

12、1P 26Pt(期限期限)pnp3p2p1P0D1nntt1ntt11DptPPDpt 27 名稱(1)至支付的時(shí)間/年(2)支付/美元(3)半年5%折現(xiàn)支付/美元(4)權(quán)重(5)(1)(4)債券A8債券 0.5 40 38.095 0.0395 0.0198 1.0 40 36.281 0.0376 0.0376 1.5 40 34.553 0.0358 0.0537 2.0 1040 855.611 0.8871 1.7742總計(jì) 964.540 1.0000 1.8853債券B零息票債券 0.51.5 0 0 0 0 2.0 1000 822.70 1.0 2總計(jì) 822.70 1.0

13、2久期計(jì)算28修正久期(modified duration)11dPydPdyDDdyPPy 11DdPdPMDMDdyydy PP 29息票對(duì)久期的影響30mii 1PP miii 1DD 組合的久期組合的久期31 itiytitt 0PCe miii 1DD itiyttiit01DCetP ty ttt 0PC e itmmiytiti 1i 1 t 0PCe ittmiy tyttti 1C eCe itmiyttt 0 i 1Ce 32miii 1DD ty ttt01DC etP ittmiy tyttti 1C eCe itmiytitii1 t01PCetPP itmiytit

14、ii1t01CetP miii 1DD itmiyttt0 i11CetP 33債券價(jià)格收益率面值市值久期10% 5年100.0010%4百萬(wàn)4,000,0003.8618% 15年184.627510%5百萬(wàn)4,231,3758.04714% 30年137.858610%1百萬(wàn)1,378,5869.1681231234,000,000 / 9,609,9610.4164,231,375 / 9,609,9610.4401,378,586 / 9,609,9610.1443.861,8.047,9.1680.416*3.8610.440*8.0470.144*9.1686.47wwwDDDD3

15、4基于久期的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖v原理：使得債券組合的價(jià)值對(duì)利率變化不敏感利率變化不敏感記組合的價(jià)值為P記對(duì)沖工具的價(jià)值為Hv對(duì)沖工具：Bond Swap Future Optionv假定收益率曲線是平坦的。35v組合的價(jià)值變化久期對(duì)沖0)( )( dyyPyqHqdHdP( )( )PHP MDP yqH yHMD dyyPdP)( dyyHdH)( 對(duì)沖工具價(jià)值變化 策略：持有 q 單位的對(duì)沖工具，使得 解36v例例: T時(shí)刻, 投資組合 P 的價(jià)值為$328635, 收益率5.143%和久期 7.108 年對(duì)沖工具, 某債券的價(jià)值為 $118.786, 收益率 4.779% 和久期 5.748 年v

16、對(duì)沖的數(shù)量：vq = -(328635x7.108)/(118.786x5.748) = - 3421v結(jié)論：v如果持有組合 P, 必須賣(mài)空 3421 單位的債券（對(duì)沖工具）37例：v考慮1 個(gè)組合，其中，有1 億美元面值的到期日為2002 年8 月15 日的剝離證券。用兩種證券組合(1997 年8 月15日和2012 年8 月1 5 日到期的)來(lái)替換這個(gè)證券，使得并沒(méi)有現(xiàn)金支出而且PVBP 保持一致，這可能嗎?38v代入數(shù)據(jù)求解得，nl=44.20， n3 =78.7939收益率變化40案例：價(jià)差交易30年期長(zhǎng)期國(guó)債，息票利率為8.75% ， 到期日2020 年5 月15 日出價(jià)要價(jià)收益率(

17、%)交割日應(yīng)計(jì)利息PVBP108.8405108.84057.961991-12-020.4086541200.643109.8076109.87017.881991-12-040.4567311218.2462 年期中期國(guó)債，息票利率為5.50% ，到期日1993 年11 月30 日出價(jià)要價(jià)收益率( %) 交割日應(yīng)計(jì)利息PVBP100.3735100.43605.301991-12-020.03022187.3642100.5967100.65925.181991-12-040.06044187.4086v交易數(shù)據(jù)顯示， 30 年期長(zhǎng)期國(guó)債和2 年期中期國(guó)債的收益率差為266 個(gè)基點(diǎn)。v交易

18、商預(yù)計(jì)預(yù)計(jì)這個(gè)價(jià)差在幾天之內(nèi)會(huì)明顯增大。即，收益率曲線會(huì)變得更為陡峭。v交易商如何建立交易策略?41交易策略v1、必須對(duì)沖利率風(fēng)險(xiǎn)v n2X PVBP2 = n30 X PVBP30v如果n30 =100(百萬(wàn)美元面值)，v n2=100*1200.6435/187.3642=641v即交易商做多641百萬(wàn)美元面值的2 年期中期國(guó)債，同時(shí)，做空100百萬(wàn)美元面值的30 年期長(zhǎng)期國(guó)債。v2、交易商將2 年期國(guó)債抵押以5% 的回購(gòu)利率借入現(xiàn)金(忽略差額)。同時(shí)，交易商將借入并賣(mài)出30 年期國(guó)債，并以4.9% 的回購(gòu)利率抵押現(xiàn)金(忽略差額) 。4243價(jià)差交易的交易行為總結(jié)日期交易現(xiàn)金流12/ 2/

19、 87借入現(xiàn)金并支付2 年期中期國(guó)債支付2 年期中期國(guó)債作為抵押(100.436 0+0.030 22) X 10 000 X 641 =-643 988 470借入30 年期長(zhǎng)期國(guó)債，然后賣(mài)掉。支付現(xiàn)金作為抵押(108.840 5+0. 408 654) X 10 000 X 100 =+109 249 15444價(jià)差交易的交易行為總結(jié)日期交易現(xiàn)金流12/ 4/ 87（1）（2）（3）（4）賣(mài)出2 年期中期國(guó)債，每641 百萬(wàn)美元面值變?yōu)?100.5967+0.0604) X10 000X641 =645 212 011返還所借數(shù)目和回購(gòu)利息每641 百萬(wàn)美元面值變?yōu)?43988470 X

20、(1 + 0.05 X 2 /360)=-644 167 356得到現(xiàn)金和利息109249 154 X ( 1 +0. 049 X 2 /360) =+109 278 894買(mǎi)入30 年期長(zhǎng)期國(guó)債，以填平賣(mài)空頭寸(109.870 1 +0.456 7) X 10 000 X 100 =-110 326 800利潤(rùn)(損失): (1)+ (2)+ (3)+ (4)-3 251為什么會(huì)虧？為什么會(huì)虧？45價(jià)差交易影響因素v買(mǎi)賣(mài)價(jià)差買(mǎi)賣(mài)價(jià)差。交易商在賣(mài)出價(jià)買(mǎi)入，在買(mǎi)入價(jià)賣(mài)出。買(mǎi)賣(mài)價(jià)差越大，交易就越不具有有利可圖性。v回購(gòu)利率回購(gòu)利率。如果回購(gòu)利率很低，交易商將支付很少的成本借入，但是，他在現(xiàn)金抵押上獲

21、得的也比較少。v特定回購(gòu)利率特定回購(gòu)利率。如果證券的多頭方比較特殊(，那么，交易商將獲得更多的現(xiàn)金，因?yàn)槔玫盅浩房梢愿阋说亟枞氍F(xiàn)金。v差額差額。交易商將支付一些差額，這樣也會(huì)減少有利可圖性。46v久期對(duì)沖非常簡(jiǎn)單應(yīng)用假設(shè)條件比較嚴(yán)格v假設(shè) 1: 收益率變化小投資組合的價(jià)值僅僅是Taylor 展開(kāi)的一階近似，因此，對(duì)沖頭寸必須經(jīng)常調(diào)整v假設(shè) 2: 收益曲線是平坦的 假設(shè)所有的債券都有同樣的收益率換句話說(shuō)，利率風(fēng)險(xiǎn)僅被簡(jiǎn)單的看成是一種平均利率水平上的風(fēng)險(xiǎn)v假設(shè) 3: 收益率曲線僅做平移運(yùn)動(dòng)久期對(duì)沖的局限性4748 nttt 1CPy1y 221PPyyPyyoy2 定義凸性為定義凸性為49v考

22、慮一個(gè)10年期平價(jià)債券，6%的息票，修改久期為 7.36v考慮下面兩種情況：情況 1: yield increases from 6% to 6.01% (small increase)情況 2: yield increases from 6% to 8% (large increase)v情況 1: 新收益率6.01%下的未來(lái)現(xiàn)金流折現(xiàn)價(jià)值為$99.267 絕對(duì)變化 : - 0.733 = (99.267-100)用修正久期，價(jià)值變化為: -100 x7.36x0.001= - $0.736誤差很小。v情況 2: 新收益率8%下的未來(lái)現(xiàn)金流折現(xiàn)價(jià)值為$86.58 絕對(duì)變化 : - 13.42 = (86.58 -100)用修正久期，價(jià)值變化為: -100 x7.36x0.02= - $14.72誤差很大收益率變化大時(shí)，久期對(duì)沖的誤差50v10年期債券的凸性為6974 v情況 2: 收益率從 6% 變化為 8%二階近似的價(jià)值為 -14.72 + (6974(0.02)/2) = -$13.33 精確解為-$13.42 一階近似為-$14.72久期+凸性對(duì)沖 51v凸性0v給定到期日和收益率，息票越小，凸性越大v給定息票和收益率，到期日越長(zhǎng)，凸性越大v給定到期日和息票，收益率越小，