二重積分的概念與性質教案

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上7.1二重積分的基本概念（教案）主講人：孫杰華教學目的：理解二重積分的概念、性質教學重難點：二重積分的概念、二重積分的幾何意義.教學方法：講授為主教學內容：一、二重積分的概念1曲頂柱體的體積設有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側面是以的邊界曲線為準線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面，稱這種立體為曲頂柱體.與求曲邊梯形的面積的方法類似，我們可以這樣來求曲頂柱體的體積:(1)用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個小區(qū)域，以這些小區(qū)域的邊界曲線為準線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個小曲頂柱體，.（假設所對應的小曲頂柱體為,這里既代表第個小區(qū)域,又表

2、示它的面積值, 既代表第個小曲頂柱體,又代表它的體積值.)，從而圖7.1 (2)由于連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是. (3)整個曲頂柱體的體積近似值為.(4)為得到的精確值,只需讓這個小區(qū)域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點收縮為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者.所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零.設個小區(qū)域直徑中的最大者為,則.2二重積分的定義設是閉區(qū)域上的有界函數(shù), 將區(qū)域分成個小區(qū)域其中,既表示第個小區(qū)域,也表示它的面積, 表示它的直徑.，作乘積，作和式 ，若極限存在,

3、則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分,記作.即其中:稱之為被積函數(shù),稱之為被積表達式,稱之為面積元素,稱之為積分變量,稱之為積分區(qū)域.3對二重積分定義的說明：(1)極限的存在與區(qū)域D的劃分及點的選取無關。 (2)中的面積元素象征著積分和式中的.圖7.2由于二重積分的定義中對區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標軸的直線來劃分區(qū)域,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可以將記作(并稱為直角坐標系下的面積元素),二重積分也可表示成為 .(3)二重積分的存在定理若在閉區(qū)域上連續(xù),則在上的二重積分存在.注 在以后的討論中,我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在.(4)若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體的體積.練習：利用二重積分的幾何意義求。二、二重積分的性質二重積分與定積分有相類似的性質性質1（線性性）,其中: 是常數(shù)性質2（對區(qū)域的可加性）若區(qū)域分為兩個部分區(qū)域,則。性質3 若在上, 為區(qū)域的面積,則.幾何意義:高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積練習：求。性質 若在上,則有不等式.特別地,由于，有.練習：P119，1性質（估值不等式）設與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值,是的面積,則.練習：P119，3性質（二重積分的中值定理）設函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 是的面積,則在上至少存在一點,