相似三角形題型講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形題型講解 相似三角形是初中幾何的重要內(nèi)容，包括相似三角形的性質(zhì)、判定定理及其應用，是中考必考內(nèi)容，以相似三角形為背景的綜合題是常見的熱點題型，所以掌握好相似三角形的基礎知識至關重要，本講就如何判定三角形相似，以及應用相似三角形的判定、性質(zhì)來解決與比例線段有關的計算和證明的問題進行探索。一、如何證明三角形相似例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點E、F，則AGD 。分析：關鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應結合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由BCAD可得1

2、=2，所以AGDEGC。再1=2（對頂角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。評注：（1）證明三角形相似的首選方法是“兩個角對應相等的兩個三角形相似”。（2）找到兩個三角形中有兩對角對應相等，便可按對應頂點的順序準確地把這一對相似三角形記下來。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36°，BD是角平分線，求證：ABCBCD 分析：證明相似三角形應先找相等的角，顯然C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明：A=36°，ABC是等腰三角形，ABC=C=72°又BD平分ABC，則DBC=36°在ABC和BCD中，

3、C為公共角，A=DBC=36°ABCBCD例3：已知，如圖，D為ABC內(nèi)一點連結ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求證：DBEABC分析： 由已知條件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要證的DBE和ABC，有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應成比例。從已知條件中可看到CBEABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即：=在DBE和ABC中CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=AB

4、C且=DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點，連結AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結論。分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與ECA解：設AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF與ECA

5、中，AEF為公共角，且所以EAFECA（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）注：以上兩例中都用了相似三角形的判定定理2，該定理的靈活應用是教學上的難點所在，應注重加強訓練。二、如何應用相似三角形證明比例式和乘積式例1、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線的性質(zhì)進行證明：證明：過D點作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DFAC=BCFE例

6、2：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點，DMBC于點E，交BA的延長線于點D。求證：（1）MA2=MDME；（2）證明：（1）BAC=900，M是BC的中點，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，評注：（1）通過一對相似三角形來證明比例線段，是證比例線段的一種基本方法。本例第（1）小題證明MA2=MDME，經(jīng)常可以把其中的MA看作一對相似三角形的公共邊，再去尋覓與確定需證相似的三角形。（2）本例的關鍵是證明MAEMDA，這種具有特殊關系（有一個公共角和一條公共邊）的三角形的相似，在解題中應用很多

7、，應從下面兩個方面深刻理解：命題1 如圖，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命題2 如圖，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例3：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構造相似形。怎樣作？觀察要證明的結論，緊緊扣住結論中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。與結論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過D點作DGAB交FC于G則AEFDEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似

8、） （1）D為BC的中點，且DGBFG為FC的中點則DG為CBF的中位線， （2）將（2）代入（1）得：評注：（1）為了得到比例式，通常用過一點作某一直線的平行線的方法，在作平行線時必須注意緊扣與結論有關的線段。（2）在探索證題思路的過程中，我們可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即構造相似形，寫出比例式時要始終注意待證結論中的有關線段，并及時與待證結論中的有關線段進行比較，以便確定下一步需要解決什么問題。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例1：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且。求證：AEF=FBD分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相

9、似三角形，等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關鍵是構造相似三角形，證明：作FGBD，垂足為G。設AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=ADB=450，F(xiàn)GD=900DFG=450DG=FG=BG=又A=FGB=900AEFGBF AEF=FBD評注：本例是通過構造一對相似三角形，而證明兩個角相等，而證明兩個三角形相似又運用了代數(shù)法，設參數(shù)，計算邊長，從而證明兩個三角形的對應邊成比例。運用代數(shù)法解幾何題一般在遇到正方形和正三角形的

10、條件時效果很好，同學們可以試試看。例2、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線， 求證：SQAB，RPBC分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關鍵的一點就是要明確目標，選擇適當?shù)谋壤€段。要證明SQAB，只需證明AR：AS=BR：DS。 證明：在ADS和ARB中。 DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，則，SQAB，同理可證，RPBC例3、已知A、C、E和B、F、D分別是O的兩邊上的點，且ABED，BCFE，求證：AFCD分析：要證明AF

11、CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進行正確的選擇。其實要證明AFCD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關的比例式再稍加處理即可成功。證明：ABED，BCFE， 兩式相乘可得： 例4、直角三角形ABC中，ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)GAC交AB于G，求證：FC=FG 分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關的比例線段，圖中與FC、FG相關的比例式較多，則應選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成證明。 證明： FGACBE，ABEAGF 則有而FCDE AEDAFC則有 又BE=DE（正方形的邊長相等），即GF=CF。例5、RtABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF證明：CO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。