2017年天津市大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽解析

1、20172017天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽- -理工類理工類1. 填空題填空題2. 選擇題選擇題3. 計(jì)計(jì)算算題題填空題填空題01,lim.sinsinbxaxxeeabbxax 、簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：00limlim1.sinsincosbxaxxxxeeebxaxx .ab 本本題題利利用用柯柯西西中中值值定定理理，存存在在介介于于 和和 之之間間的的1填空題填空題101102( )0 1( )2( ) ( ).xf xf x dxdxf x f y dy 、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 ，上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)，則則簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：交交換換積積分分次次序序111000( ) ( )( ) ( )yxIdxf

2、x f y dydyf x f y dx 100( ) ( )xIdxf x f y dy 換換元元有有1110001( ) ( )+( ) ( )2xxIdxf x f y dydxf x f y dy 則則11001( ) ( )=2.2dxf x f y dy 2填空題填空題33( )(-)( )( )( ).xxf xg xf t dtf x 、設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間，上上連連續(xù)續(xù)，且且對(duì)對(duì)任任意意給給定定的的 ，有有為為常常值值函函數(shù)數(shù)，則則的的表表達(dá)達(dá)式式為為簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：0( )3 (3 )( )gxfxf x 003 ( )(0)xff 令令有有，0(0)0f 令令有有，( )0( )

3、0.ff x 再再回回帶帶有有，即即( )0f x 填空題填空題224( )(1,1)1(0)lim.nnnnyf xxxxx 、曲曲線線，記記其其在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線與與 軸軸交交點(diǎn)點(diǎn)為為，則則簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：21222 2( )(1)(1)nnn xfxfnx ，則則1ynxn 切切線線方方程程為為1lim1.nnnnxxn 則則，即即1填空題填空題222cos05( )(0).01xxf xfxx ，、，則則，簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，采采用用泰泰勒勒公公式式有有24523222(1()224( )1()12xxo xxf xo xx 1( ).6fx 則則16 .注注：本本題題也也

4、可可以以直直接接計(jì)計(jì)算算，但但比比較較復(fù)復(fù)雜雜選擇題選擇題0000(2 )()1( )lim2( )().hf xhf xhf xxhf xx 、函函數(shù)數(shù)在在 點(diǎn)點(diǎn)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且，則則在在 點(diǎn)點(diǎn)簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：A、不不連連續(xù)續(xù)0()2Bfx 、C、連連續(xù)續(xù)，但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)D、無(wú)無(wú)法法確確定定可可導(dǎo)導(dǎo)與與連連續(xù)續(xù)已已知知條條件件無(wú)無(wú)法法判判斷斷連連續(xù)續(xù)性性，更更無(wú)無(wú)法法判判斷斷可可導(dǎo)導(dǎo)性性. .D選擇題選擇題2( )(0)lim( )( )1().xf xf xfx 、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 ，上上有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且滿滿足足，則則簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：lim( )0 xAf

5、x 、lim( )xBfx 、不不能能確確定定lim( )xCf x 、無(wú)無(wú)法法判判斷斷D、以以上上都都不不正正確確( )( )( )lim( )limlim1xxxxxxxxe f xe f xe fxf xee lim( )0.xfx 則則A選擇題選擇題22 -113(1)(2)-0(3)00(4).().nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaba b 、考考慮慮關(guān)關(guān)于于數(shù)數(shù)列列的的描描述述：對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)列列，如如果果和和都都是是收收斂斂的的，則則一一定定收收斂斂；數(shù)數(shù)列列，如如果果收收斂斂于于 ，則則收收斂斂數(shù)數(shù)列列的的極極限限為為 和和的的極極限限為為 是是等等價(jià)價(jià)的的；數(shù)

6、數(shù)列列收收斂斂，數(shù)數(shù)列列有有界界，則則數(shù)數(shù)列列是是收收斂斂的的成成立立的的結(jié)結(jié)論論有有簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：0A、個(gè)個(gè)1B、個(gè)個(gè)2C、個(gè)個(gè)3D、個(gè)個(gè)22 -1(1)11 .nnnaaa 錯(cuò)錯(cuò)，例例如如若若，發(fā)發(fā)散散B+11(2).ln .ln(1)0.nnnanaan 錯(cuò)錯(cuò) 設(shè)設(shè)則則(3).正正確確(4)1sin.nnnnabn a b 錯(cuò)錯(cuò)，例例如如若若，發(fā)發(fā)散散選擇題選擇題24()(2 )(1 0)().yf xyexyx 、已已知知函函數(shù)數(shù)，則則它它在在點(diǎn)點(diǎn) ，處處取取簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：1A、極極小小值值- -1B、極極大大值值- -C、不不取取極極值值1D、取取極極大大值值2(22)(2 )yyyff

7、exexyxexy ，(1 0)解解得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為 ，22222222(22)0(2 )21yyyyyfffeexexyxexx y ，1.顯顯然然函函數(shù)數(shù)取取得得極極小小值值- -A選擇題選擇題12tan5( )0( )().21xef xxf xxex 、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)，則則 是是函函數(shù)數(shù)的的簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：A、無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)B、跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)C、可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)D、以以上上都都不不正正確確1002tanlim( )lim()121xxxexf xxex 1002tanlim( )lim()121xxxexf xxex 0lim( )10.xf xx 則則，為為可可去去間間斷斷

8、點(diǎn)點(diǎn)C計(jì)算題計(jì)算題2221()6(0)(0)1().ffzf xyxyyxxfyyf xy 、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)， ，求求函函數(shù)數(shù)，簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：22263( )ffxxg yxx 由由知知2(0)(0)3( )( )yfyxg yg yyx ，23fxyx 則則3()( )f xyxxyh y 從從而而，22(0)1( )1fyyh yy 由由，知知32()1.f xyxxyy 即即，計(jì)算題計(jì)算題201720170111121(1)1.2017232017xdxx 、證證明明：簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：12017(1)2017xtxt 令令，則則201702017201701111(1)(1)( 1)201720

9、172017(1)xdxtdtxt 2017112201600(1)(1)(1)tdttttdtt 1111.232017 計(jì)算題計(jì)算題23( )( ).() .( )Df xabDaxbf xaybdxdybaf y 、設(shè)設(shè)為為 ，上上取取正正值值連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)， 為為，證證明明簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：利利用用二二重重積積分分的的輪輪換換性性可可知知( )( )1( )( )()( )( )2( )( )DDDDf xf yf xf ydxdydxdydxdydxdyf yf xf yf x 21( )( )1()2() .2( )( )2DDf xf ydxdydxdybaf yf x 計(jì)算題計(jì)算題

10、4sin004()()01(0)0(0)8lim().1tttxtf xyxffdxf xy dye 、函函數(shù)數(shù)，在在，上上連連續(xù)續(xù)，在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，求求極極限限簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：44sin0000011lim()lim()1tttytxttdxf xy dydyf xy dyte 233000011( )lim()lim44ttttf uf xt dxduttt 224300012()lim( )lim416ttttf tf u dutt 22200()2()limlim1.816ttf ttfttt 計(jì)算題計(jì)算題35( )( )( )0max( ).( )() .12baxabf xab

11、f af bMMfxf x dxba ，、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 ，上上有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且，求求證證：簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：( )( ) ()( )()( )()bbbbaaaaf x dxf x d xaf xxafxxa dx ( )()( )() ()bbaafxxa dxfxxa d xb ( )()()()( )()( )bbaafxxaxbxbfxxafx dx ()( )()()( )bbaaxbfxxa dxxb fx dx ()( )()( )()( )bbbaaaxbfxxa dxf xxbf x dx ()()( )( )bbaaxaxb fx dxf x dx 1(

12、 )()()( )2bbaaf x dxxaxb fx dx 則則01()()()22u x abb aaMM xaxb dxu uab dx 3() .12Mba 計(jì)算題計(jì)算題計(jì)算題計(jì)算題22222222206():11()0.lim1.Df xyDxyxyf xyffxyxydxdyDyxy 、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)，在在上上有有連連續(xù)續(xù)的的的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在邊邊界界上上滿滿足足，求求極極限限，其其中中為為為為簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：cossinfffrxy 選選用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系cossinfffffrrrxyrxyxy 則則計(jì)算題計(jì)算題2222000limlimqDfffxyrxyrdxdydrd

13、rxyr 200lim(cossin )( cossin )ffd ，200lim( cossin )fd ，2(0 0).f ，計(jì)算題計(jì)算題337( )0(0)22( )( )(0)0( )0.f xfxf xff x 、設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間 ， 上上連連續(xù)續(xù)，在在 ， 上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且在在該該區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足以以及及，求求證證簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：3( )0( )04f xf aa 設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間 ， 上上的的最最大大值值為為，假假設(shè)設(shè)3( )=( )(0) =( )( )( )( )4f af afafafaf af a ( )=0f a則則3 304 2則則在在， 上上最最大大值值也也為為計(jì)

14、算題計(jì)算題3( )0( )002f xf bb 設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間 ， 上上的的最最小小值值為為，假假設(shè)設(shè)3( )=( )(0) =( )( )(b)( )2f bf bfbfbfbff a ( )0( )=0f bf b 若若，則則上上述述不不等等式式不不成成立立，則則( )0.f x 綜綜上上所所述述，計(jì)算題計(jì)算題22222228()231.Cxy dxyx dyIxyCxy 、計(jì)計(jì)算算曲曲線線積積分分，其其中中 為為正正向向曲曲線線簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：22222222()()xyyxPQxyxy 設(shè)設(shè)，PQyx 通通過(guò)過(guò)計(jì)計(jì)算算可可知知即即積積分分與與積積分分路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)cossinlxy 取

15、取 為為，的的正正向向曲曲線線，其其中中 充充分分小小，利利用用格格林林公公式式有有22222222222241()()Cllxy dxyx dyxy dxyx dyIxy dxyx dyxyxy 2422401( cossinsinsincoscos )d 20cossin0.d 計(jì)算題計(jì)算題2222()22219()10,().xyzxyzef xyzxyzxyztIf xyz dS ，、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)， ，為為曲曲面面計(jì)計(jì)算算， ，簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：21()22211xyzIedSxyz ，其其中中為為 切切球球面面所所得得的的曲曲面面2221103txyzdI 若若 與與球球無(wú)無(wú)交交點(diǎn)點(diǎn)，即即時(shí)時(shí)，13td 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)計(jì)算題計(jì)算題221()D=3xyxyztIedS edxdy 2221:xyxyzDzxyzt ，消消去去 有有2222()()32:112(1)(1)2333xytytyxDtt xyD 的的面面積積為為2(1)33tA 22223(1)(1).333ttttIee 則則計(jì)算題計(jì)算題11221001 2 3.1nnnaanaa 、， ， ， 討討論論的的收收斂斂性性簡(jiǎn)答：簡(jiǎn)答：11021111.nnnnnaaaaa 顯顯然然，且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，22( )01f xxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)，224( )0(1)xfxx 則則1()nnaf a