人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題復(fù)習(xí)講義：14.1整式的乘法

1、整式的乘法教學(xué)目標(biāo)1、掌握單項式與單項式相乘的算理。2、掌握積的乘方、哥的乘方等單項式乘法公式。3、靈活運用公式，簡化計算。知識梳理1、單項式乘以單項式法則：單項式與單項式相乘，利用乘法交換律和結(jié)合律，把它們的系數(shù)、相同字母的哥分別相乘，其 余的字母連同它的指數(shù)不變，一起作為積的因式注：單項式乘以單項式，實際上是運用了乘法結(jié)合律和同底數(shù)的哥的運算法則完成的。2、單項式乘以多項式的運算法則單項式與多項式相乘，就是根據(jù)乘法分配律用單項式去乘多項式的每一項，轉(zhuǎn)化為單項式與單 項式的乘法，然后再把所得的積相加.3、多項式乘以多項式法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，

2、再把所得的 積相加.方法總結(jié)：在探究多項式乘以多項式時，是把某一個多項式看成一個整體，利用分配律進(jìn)行計 算，這里再一次說明了整體性思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。4、哥的運算法則:同底數(shù)的哥相乘,底數(shù)不變，指數(shù)相加。=am+n（ m、n為正整數(shù)）a哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即：m mmn n _ amn（m、n為正整數(shù)）a a積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的哥相乘。即：（a，b）n=an，bn（n 為正整數(shù)）同底數(shù)的哥相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。_ m cn _ cm-n （m>n, m、n 為正整數(shù)）a a - a5、乘法的運算律：乘法的結(jié)合律：（a>b） >c=ax

3、 （bxc）乘法的分配律：a （b+c） =ab+ac典型例題1、單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，利用乘法交換律和結(jié)合律，把它們的系數(shù)、相同字母的哥分別相乘，其余的字母連同它的指數(shù)不變，一起作為積的因式注：單項式乘以單項式，實際上是運用了乘法結(jié)合律和同底數(shù)的哥的運算法則完成的?！纠?】計算：(1) ( 2xy2) ( Ixy)3(2) ( 2a2b3) (3a);(3) (4X105) (5X104);解：(1) (2xy2) (1xy) = (2X1) ，(xx) (y2 y) = x2 y3;333(2) (2a2b3) (3a) =(2) -(3)1 ( a2a) b3=6a3b3;

4、(3) (4M05) -( 5X104) = (4X5) ( 105X104) =20 X109=2X1010；注意：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值.這時容易出現(xiàn)的錯誤是,將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆，如2a3 3a2=6a5,而不要認(rèn)為是6a6或5a5.相同字母的哥相乘，運用同底數(shù)哥的乘法運算性質(zhì)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式練 1、( 3a2b3) 2 .( a3b2) 5；答案：(3a2b3) 2.(-a3b2) 5=(3)2 (a2)2-(b3)2 ( 1)

5、5 (a3)5<b2)5=(9a4b6) (a15b10)=-9 (a4 a15) , (b6 b10)=9a19b16;練 2、( a2bc3) ( 3c5) , ( 1 ab2c).343答案：(2a2bc3) ( 2 c5) (1 ab2c)343= (-)x( 3)x( 1)1Ya2 a) ( b b2) ( c3 c5 c) 343=1 a3b3c9 6【例2】一種電子計算機(jī)每秒可做 4X109次運算，它工作 5X102秒，可做多少次運算？解：(4X109) X (5X102)._一9 一2、=(4X5) X (10 M0 )答：工作5X102秒，可做2X1012次運算.B.

6、2a2 3a2=6a2D. 3a34a4=12a12練4、下列計算正確的是()A. 3a2 2a2=5a2C. 3a2 4b2=12a2b2練5、下列計算正確的是()A . 5y 4yx2=9x3y3B. (-2x3ynz) (-4xn+1yn-3)=8xn+4y2n-3C. (-xn-2y2) (-xym) 2二-xny2m+2D . (-7a2b3) ( 5ab2c) = -2a2b6c練 6、若(anbabm) 5=a10b15 貝U 3m (n+1)的值為(A . 15B. 8答案：C D CC. 12D. 102、單項式乘以多項式【例3】計算：(1) 2ab (5ab2+3a2b);

7、(3) 6x (x3y);解：(1) 2ab (5ab2+3a2b)(2)(2ab22ab) ab;32(4) 2a2(ab+b2)2=2ab (5ab2) +2ab(3a2b)乘法分配律=10a2b3+6a3b2單項式與單項式相乘(2)(Zab22ab) ab(2ab2) - ab+ ( 2ab) -ab乘法分配律322=1 a2b3-a2b2單項式與單項式相乘 3(3) 6x (x 3y)=(-6x) x+ ( 6x) , ( 3y)乘法分配律=6x2+18xy單項式與單項式相乘(4) 2a2(1ab+b2)2=2a2 ( 2ab) + ( 2a2) b2乘法分配律2=a3b 2a2b2

8、單項式與單項式相乘21練 7、計算：-3x +2x-6 I xy,6練 8、計算：(3a2b -4ab2 )M2ab答案：1x3y2 -1x2y2 xy236a3b2 -48a2b32 3【例 4】計算：6mn2 (21mn4) + (mn3) 2. 32分析：在混合運算中，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項解：原式=6mn2x2+6mn2 ( 1 mn4) + 1 m2n63 4=12mn2 2m2n6+ 1 m2n6 4=12mn2 7 m2n6 4m -2 m 22:：m練9、計算a +a a +3 a3練 10、計算(x2 ) +x <x2-x5 )答案：am+4a2 m

9、 x3【例5】已知ab2=6,求一ab (a2b5-ab3-b)的值.分析：求一ab (a2b5ab3b)的值，根據(jù)題的已知條件需將ab2的值整體代入.因此需靈活運用哥的運算性質(zhì)及單項式與多項式的乘法.解：-ab (a2b5 ab3 b)=(ab) (a2b5) + (ab) (ab3) + (ab) (b)=a3b6+a2b4+ab2= (ab2) 3+ (ab2) 2+ab2當(dāng)ab2= 6時原式=(-ab2) 3+ (ab2) 2+ab2=-(-6) 3+ ( 6) 2+ ( 6)=216+36-6二246練 11、若(am+1bn+2) (a2n-1 b2m) = a5 b3則 m+n

10、的值為()A. 1B.2C. 3D.-3分析：先算等式的左邊，再根據(jù)題意得m, n的方程組，將方程組整理后相加得出m+n的值.解：由(am+1bn+2) - (a2n-1 b2m)二a5b3得a m+2n b2m+n+2 =a5 b?匯,'m+2n = 5 於口所以+得3m+3n=6、2m + n+2=3即 m+n=2故選B3、多項式乘以多項式解： （ 1）（1 x）（0.6 x）= （ 0.6 x）x（ 0.6 x）=0.6 x 0.6x+x 22 =0.6 1.6x+x或 （ 1 x）（0.6 x）=1 X0.6 1 xx 0.6x+x x-2=0.6 x 0.6x+x2 =0.6

11、 1.6x+x（ 3）（x y） 2=（ x y）（x y）=x（ x y）y（ x y）=x2 xy xy+y 2=x2 2xy+y 2（ 4）（2x+3） 2= （2x+3）（2x+3）= 2x（2x+3） +3（2x+3）= xy+3x+2y+6 xy+2x y+26】 計算：（ 1 ）（1x）（0.6x）（2）（2x+y）（xy）（3）（xy）2（4）（2x+3）2（5）（x+2）（y+3）（x+1 ）（y2）.分析： 在做題的過程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法則進(jìn)行運算，而要利用乘法分配律將多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化為單項式與多項式相乘.（ 2）（ 2x+y）（ x y）=

12、 2x（ x y） +y（ x y）= 2x2 2xy+xy y2= 2x2 xy y2或 （ 2x+y）（x y）2=2x x 2x y+xy y= 2x2 xy y2或（x y） 2=（ x y）（x y）=x x x y x y+y y=x2 2xy+y 2（ 5）（x+2）（y+3）（x+1）（y 2）= （ xy+3x+2y+6 ）（xy 2x+y 2）= 4x2 6x 6x+9= 5x+y+8= 4x2 12x+9評注：（3）（4）題利用乘方運算的意義化成多項式與多項式的乘法運算5）整式的混合運算，一定要注意運算順序2）（2n+5）（n 3） ;練 12、 計算：（1）（m+2n）

13、（m 2n） ;3）（x+2y） 24）（ax+b）（cx+d）解：（1）（m+2n）（m 2n）2）（2n+5）（ n 3）=m m m 2n+2n m 2n 2n=m 2 2mn+2mn 4n2=m2 4n2（ 3）（x+2y） 2= （ x+2y）（x+2y）= x 2+2xy+2xy+4y 2= x 2+4xy+4y 2=2n n 3 2n+5n 5 ><3= 2n2 6n+5n 152= 2n n 154）（ax+b）（cx+d）=ax cx+ax d+b cx+bd= acx2+adx+bcx+bd想一想：由計算得到 27X23=621,發(fā)現(xiàn)積的末兩位上的數(shù)21=7X3

14、,前面的數(shù)6=2X （2+1）.換兩個數(shù)84X86=7224同樣具有這一特點，于是我們猜想：十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10的兩位數(shù)的積是否也有這樣的規(guī)律？分析： 根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)這樣的兩位數(shù)除了十位數(shù)字相同外，個位數(shù)字是補數(shù)，即個位數(shù)字的和是10.因此，我們設(shè)這樣的兩位數(shù)分別為10a+b和10a+c （a, b, c都是正整數(shù)，并且 b+c=10）根據(jù)多項式與多項式的乘法，通過對結(jié)果變形，就可說明.解：設(shè)這樣的兩位數(shù)分別為10a+b和10a+c (a、b、c都是正整數(shù)，并且 b+c=10).根據(jù)多項式與多項式相乘的運算法則可知，這兩個數(shù)的乘積為(10a+b) 1 10a+c)=100a2+

15、10a (b+c) +bc=100a2+100a+bc=100a (a+1) +bc結(jié)論：這個式子告訴我們：求十位數(shù)相同，個位數(shù)字之和等于10的兩個兩位數(shù)的積，可以用十位上的數(shù)a去乘比它大1的數(shù)(a+1),然后在乘積的后面添上兩位數(shù)，在這兩個數(shù)位上寫上個位數(shù) 字的乘積，所得的結(jié)果就是原來這兩位數(shù)的乘積【例 7】計算：(1) 32X38(2) 54X56(3) 73X77解：(1) 3X (3+1) =12, 2X8=16(2) 5X (5+1) =30, 4>=24 .32X38=121654X56=3024(3) 7X (7+1) =56, 3X7=2173X77=56214、綜合應(yīng)用

16、【例8】規(guī)律探索題(1)研究下列等式： 1X3+1=4=22； 2X4+1=9=32； 3X5+1=16=42； 4X6+1=25=52 你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，找出表示第n個等式的公式并證明(2)計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？(x 1) ( x+1 )=(x - 1) ( x2+x+1 ) =.(x 1 ) x x3+x2+x+1 ) =.(x 1 ) ( x4+x3+x2+x+1 ) =. (x1) ( xn+xn1+T x+1) =.答案：(1) n (n+2) +1= (n+1) 2,證明略(2) x2- 1, x3 - 1 , x4 - 1, x5- 1,xn+1 1(3

17、)已知 A=987654321X 123456789,B=987654322< 123456788.試比較A、B的大小.分析：這么復(fù)雜的數(shù)字通過計算比較它們的大小，非常繁雜.我們觀察就可發(fā)現(xiàn) A和B的因數(shù)是有關(guān)系的，如果借助于這種關(guān)系，用字母表示數(shù)的方法，會給解決問題帶來方便解：設(shè) a=987654321,則 a+1=987654322; b=123456788 , b+1=123456789 ,則 A=a (b+1) =ab+a; B= (a+1) b=ab+b.而根據(jù)假設(shè)可知 a>b所以A>B.當(dāng)堂檢測（A）（-3a2b'（-2ab2 ）=6a3b21 .下列各式

18、計算正確的是()（B）（-2父102卜（6父103 ）=-1.2父1052(D)(_ab23=.a3b6(C)-2a2 1ab -b2 i= -a3b -2a2b<212 . 若 x，mj xm«y2。42 =x9y9,則 3m _4n 的值為()(A) 3(B) 4(C) 5(D) 63 . 若(x +3 (x +m ) = x2 +kx 15，則 k + m 的值為()(A) _7(B) 5(C) .2(D) 24 .化簡(3x 2次3) 3(x2 + 2即結(jié)果是()(A) iix(B)-11x(C)6x2-8x + 12(D)x2 -15 .如圖是長10cm,寬6cm的長

19、方形，在四個角剪去4個邊長為xcm的小正方形，按折痕做一個有底無蓋的長方體盒子，這個盒子的容積是()L-L.U6 T：10(A)(6-2x(10-2x)(B) x(6 - x 110 - x)(C)x(6-2x110-2x)(D) x(6-2x(10-x)6 .若(axb)(3x+4) =bx2 +cx+72,則(a+b)父 Jc)的值為(A) 36(B) 72(C) 108(D) 7207 .已知a2 +a -3 = 0，那么a2 (a +41勺值是()(A) 9 (B) -12(C) -15(D) -182）所示.根據(jù)這兩個圖形的面積8 .將（1）中的梯形沿虛線剪開，拼成一個缺角的正方形，

20、如圖（關(guān)系，下列式子成立的是（）（A）（a+b ja-b ）= a2-b2（B）a2+2ab+b2 =（a+b f（C）a2-2ab+b2 =（a-b j （D）（a-b f =a2 -b2家庭作業(yè)9 .若單項式_6X2ym與lXny3是同類項，那么這兩個單項式的積是 10 . 已知 ab2 =-3，貝U -ab（a2b5 -ab3 b）=11 .若 a2+a+1=2,則（5a6+a）=12 .觀察下列等式：1黑（1 +2 ）=12 + 2父1，2父（2 + 2）=22 +2X2，3黑（3+2）=32 +2黑 3, 則第n個等式可以表示為.13 . 一個多項式除以2X2 -1 ?商式為X-2，余式為X-1則這個多項式是 .14 .已知（X2 + pX +8及2 -3X十q爾開后不含X2與X3的項，則P =，q =.15 .數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對（a,b世人其中時，會得到一個新的數(shù)：（a-1Kb 2,現(xiàn)將數(shù)對（m,1注入其中得到數(shù)n,再將數(shù)對（n,m）放入其中后，得到的數(shù)是 .16 .已知1