全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題與詳細解答

1、2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1函數(shù)在上的最小值是 （ ）A0 B1 C2 D32設(shè)，若，則實數(shù)的取值范圍為 （ ）A B C D3甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)的期望為 （ ）A B C D4若三個棱長均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個正方體的體積之和為 （ ）A764 cm3或586 cm3 B764 cm3 C586 cm3或564 cm3 D586 c

2、m35方程組的有理數(shù)解的個數(shù)為 （ ）A1 B2 C3 D46設(shè)的內(nèi)角所對的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是（ ）A B C D二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7設(shè)，其中為實數(shù)，若，則 .8設(shè)的最小值為，則 9將24個志愿者名額分配給3個學(xué)校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有 種10設(shè)數(shù)列的前項和滿足：，則通項= 11設(shè)是定義在上的函數(shù)，若 ，且對任意，滿足 ，則= 12一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13已知函數(shù)的圖像與直線 有且僅有三個交點，

3、交點的橫坐標的最大值為，求證： 答13圖14解不等式15如題15圖，是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值題15圖參考答案1C 解 當時，因此，當且僅當時上式取等號而此方程有解，因此在上的最小值為22D 解 因有兩個實根 ，故等價于且，即且，解之得200902173B 解法一 依題意知，的所有可能值為2，4，6設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為 若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響從而有，故解法二 依題意知，的所有可能值為2，4，6.令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝由獨立性與互不相容性

4、得， ， ， 故4A 解 設(shè)這三個正方體的棱長分別為，則有，不妨設(shè)，從而，故只能取9，8，7，6若，則，易知，得一組解若，則，但，從而或5若，則無解，若，則無解此時無解若，則，有唯一解，若，則，此時，故，但，故，此時無解綜上，共有兩組解或 體積為cm3或cm35B 解 若，則解得或若，則由得 由得 將代入得 由得，代入化簡得.易知無有理數(shù)根，故，由得，由得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或6C 解 設(shè)的公比為，則，而 因此，只需求的取值范圍因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且即有不等式組即解得從而，因此所求的取值范圍是75 解 由題意知，由得，因此，8 解 ，

5、(1) 時，當時取最小值；(2) 時，當時取最小值1；(3) 時，當時取最小值又或時，的最小值不能為，故，解得，(舍去)9222 解法一 用4條棍子間的空隙代表3個學(xué)校，而用表示名額如表示第一、二、三個學(xué)校分別有4，18，2個名額若把每個“”與每個“”都視為一個位置，由于左右兩端必須是“”，故不同的分配方法相當于個位置（兩端不在內(nèi)）被2個“”占領(lǐng)的一種“占位法”“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個“”之間的23個空隙中選出2個空隙插入“”，故有種又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種解法二設(shè)分配給

6、3個學(xué)校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個名額的分法數(shù)為不定方程的正整數(shù)解的個數(shù)，即方程的非負整數(shù)解的個數(shù)，它等于3個不同元素中取21個元素的可重組合：又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種10解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以11解法一 由題設(shè)條件知 ，因此有，故 解法二 令，則 ，即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以12解 如答12圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為，作平面/平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心因，故，從而記此時小球與面的切點為，

7、連接，則考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2記正四面體的棱長為，過作于答12圖2 因，有，故小三角形的邊長小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖 2中陰影部分） 又，所以由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為13證 的圖象與直線 的三個交點如答13圖所示，且在內(nèi)相切，其切點為，5分 由于，所以，即 10分因此 15分 20分14解法一 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于即 5分分組分解 ， 10分所以， 15分所以，即或故原不等式解集為 20分解法二 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于5分即， ， 10分令，則不等式為， 顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價于 ， 15分即，解得(舍去)，故